数列の増加と減少

たとえば，数列 $\{a_n\}$ の一般項が

\[a_n=n\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{6}\right)\tag{1}\label{suretunozoukatogensyo}\]

で与えられるとき，この数列の増加や減少の様子はどうなるだろうか．

試しに， $\eqref{suretunozoukatogensyo}$ の $n$ に $n=1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots$ を代入し，計算してみると

\begin{align} a_1&=1\left(\frac{5}{6}\right)^0\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}\fallingdotseq\boldsymbol{0.167}\\ a_2&=2\left(\frac{5}{6}\right)^1\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{18}\fallingdotseq\boldsymbol{0.278}\\ a_3&=3\left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{25}{72}\fallingdotseq\boldsymbol{0.347}\\ a_4&=4\left(\frac{5}{6}\right)^3\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{125}{324}\fallingdotseq\boldsymbol{0.386}\\ a_5&=5\left(\frac{5}{6}\right)^4\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{3125}{7776}\fallingdotseq\boldsymbol{0.402}\\ a_6&=6\left(\frac{5}{6}\right)^5\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{3125}{7776}\fallingdotseq\boldsymbol{0.402}\\ a_7&=7\left(\frac{5}{6}\right)^6\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{109375}{279936}\fallingdotseq\boldsymbol{0.391}\\ a_8&=8\left(\frac{5}{6}\right)^7\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{78125}{209952}\fallingdotseq\boldsymbol{0.372}\\ \vdots \end{align}

となるので，数列 $\{a_n\}$ は $n$ が1から5までは増加し，6から先では減少するのがわかる．

しかし，このような方法では，すべての自然数 $n$ について調べるのは不可能である．

そこで， $a_{n+1}-a_n$ という漸化式をつくってみよう．

\begin{align} &\qquad a_{n+1}-a_n\\ &=(n+1)\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{1}{6}\right)-n\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{6}\right)\\ &=(n+1)\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{1}{6}\right)\\ &\qquad-n\cdot\frac{6}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{1}{6}\right)\\ &=\frac{1}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{1}{6}\right)\{5(n+1)-6n\}\\ &=\underbrace{\frac{1}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{1}{6}\right)}_{正}\underbrace{(5-n)}_{A} \end{align}

この式の $A$ の部分に着目すると

1. $n=1,2,3,4$ のときは， $a_{n+1}-a_n$ が正，つまり $a_n\lt a_{n+1}$ となるから
\[a_1\lt a_2\lt a_3\lt a_4\lt a_5\]

がわかる．

2. $n=5$ のときは， $a_{n+1}-a_n$ が0，つまり $a_n=a_{n+1}$ となるから
\[a_5=a_6\]

がわかる．

3. $n=6,7,8,\cdots$ のときは， $a_{n+1}-a_n$ が負，つまり $a_n\gt a_{n+1}$ となるから
\[a_6\gt a_7\gt a_8\gt\cdots\]

がわかる．

以上， 1.～3. より

\begin{align} &a_1\lt a_2\lt a_3\lt\cdots\lt a_5\\ &\qquad=a_6\gt a_7\gt a_8\gt\cdots \end{align}

となるのがわかる．

以上，まとめておこう．