数学B 第1章数列の一般項と和 — 数列の増加と減少

数列の増加と減少

たとえば、数列 ${an}$ の一般項が

$an=n(5/6)^n-1(1/6) ①$

で与えられるとき、この数列の増加や減少の様子はどうなるだろうか。

試しに、 $①$ の $n$ に $n=1,2,3,4,5,6,7,8,\dots$ を代入し、計算してみると

$a1=1(5/6)⁰(1/6)=(1/6)≒0.167 a2=2(5/6)¹(1/6)=(5/18)≒0.278 a3=3(5/6)²(1/6)=(25/72)≒0.347 a4=4(5/6)³(1/6)=(125/324)≒0.386 a5=5(5/6)⁴(1/6)=(3125/7776)≒0.402 a6=6(5/6)⁵(1/6)=(3125/7776)≒0.402 a7=7(5/6)⁶(1/6)=(109375/279936)≒0.391 a8=8(5/6)⁷(1/6)=(78125/209952)≒0.372 ⋮$

となるので、数列 ${an}$ は $n$ が1から5までは増加し、6から先では減少するのがわかる。

しかし、このような方法では、すべての自然数 $n$ について調べるのは不可能である。

そこで、 $an+1-an$ という差をつくってみよう。

$正an+1-an =(n+1)(5/6)^n(1/6)-n(5/6)^n-1(1/6) =(n+1)(5/6)^n(1/6) -n・6/5(5/6)^n(1/6) =1/5(5/6)^n(1/6){5(n+1)-6n} =1/5(5/6)^n(1/6)正(5-n)A$

この式の $A$ の部分に着目すると

$n=1,2,3,4$ のときは、 $an+1-an$ が正、つまり $an< an+1$ となるから

$a1< a2< a3< a4< a5$

がわかる。
$n=5$ のときは、 $an+1-an$ が0、つまり $an=an+1$ となるから

$a5=a6$

がわかる。
$n=6,7,8,\dots$ のときは、 $an+1-an$ が負、つまり $an> an+1$ となるから

$a6> a7> a8>\dots$

がわかる。

以上、 1.～3. より

$a1< a2< a3<\dots< a5 =a6> a7> a8>\dots$

となるのがわかる。

以上、まとめておこう。

定理1数列の増加・減少を調べる方法

一般項 $an$ から、となりあう項の差

$an+1-an$

をつくり、この値の正、負、0を調べることにより、数列 ${an}$ の増減がわかる。

問題1数列の増減

$an=n(3/4)^n-1(1/4)$ の増減を調べよ

解答を見る

$an+1-an$ という差をつくると

$正an+1-an =(n+1)(3/4)^n1/4-n(3/4)^n-11/4 =(3/4)^n-11/4{3/4(n+1)-n} =(3/4)^n-11/4正(-(1/4)n+3/4)A$

この式の $A$ の部分に着目すると

$an+1-an>0$ を満たす $n$ は、 $n<3$ 、すなわち $n=1,2$
$an+1-an=0$ を満たす $n$ は、 $n=3$
$an+1-an<0$ を満たす $n$ は、 $n>3$ 、すなわち $n=4,5,6,\dots$

すなわち、 $a1< a2< a3 =a4> a5> a6> a7>\dots$ となる。

最終更新: 2026-09-03

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