空間ベクトルの定義

空間内の有向線分$\text{AB}$ から，その“位置”を無視して“向き”と“大きさ”だけに着目したものを (空間) ベクトルといい，$\overrightarrow{\text{AB}}$ で表すことにする．

「平面上のベクトルの相等」と同じように，空間内でも2 つのベクトル$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\overrightarrow{\text{CD}}$ の“向き”と“大きさ”が等しいとき

と書くことにし，このとき$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\overrightarrow{\text{CD}}$ は等しいということにする．

空間ベクトルの場合にも，「ベクトルの大きさの表し方」と同様に，$\overrightarrow{\text{AB}}$ や$\vec{a}$ の大きさを，それぞれ

と表す．ここで，$\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|$ は，(有向) 線分$\text{AB}$ の長さに等しい．

無題

「平面ベクトルを成分で表す」と同じように，今度は座標空間内にあるベクトル の成分を用いた表し方についてみていこう．

右図のように，座標空間内に2 点

があるとき，$\overrightarrow{\text{AB}}$ を

• $x$ の増分: $b_x − a_x$
• $y$ の増分: $b_y − a_y$
• $z$ の増分: $b_z – a_z$

を用いて，$\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} b_x − a_x\\ b_y − a_y\\ b_z – a_z\\ \end{array} \right) $と表すことにする．

$b_x – a_x$ の値を$\boldsymbol{x}$ 成分(x-component) ，$b_y – a_y$ の値を$\boldsymbol{y}$ 成分(y-component) ，$b_z – a_z$ の値を$\boldsymbol{z}$ 成分(z-component) という．

「成分表示された平面ベクトルの相等」は，空間ベクトルの場合にも拡張される．

一般に，2 つの$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ の相等に関して

が成り立つ．

無題

空間ベクトル$\overrightarrow{\text{OP}} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ の大きさは，線分$\text{OP}$の長さである．いま，この線分の長さを求めてみよう．

点$\text{P}$ から，$xy$ 平面に下ろした垂線の足を$\text{H}$とすると，$\text{H}$の座標は$(x, y, 0)$であるから，三平方の定理より

である．また，$\triangle \text{POH}$ は$\text{H}$ を直角とする直角三角形であるから，再び三平方の定理より

となり

と計算できる．

これより，2 点，$\text{A}(a_x, a_y, a_z)，\text{B}(b_x, b_y, b_z)$ 間の距離は， $\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} b_x − a_x\\ b_y − a_y\\ b_z − a_z\\ \end{array} \right)$ を用いて

と計算できる．