対数と指数の関係

対数と指数の関係について

$a^x = M$が成り立つとき，対数の定義より$\log_aM = x$である． この$x = \log_aM$を$a^x = M$に代入することにより

\begin{align} a^{\log_a{M}}=M \end{align}

が成り立つ．

この式が成り立つ理由は次のように考えられる．

まず，$\log_aM$は対数の定義から 「$a $は何乗すると$M$になるのか？」という問いの答えであった． そして，その値を実際に$a$ の指数としてもちいるのだから，それが$M$になるのは当然である．

対数と指数の関係

$a$ は$a > 0，a\neq1$を満たし，$M > 0$のとき

  • 4.$~a^{\log_a{M}}=M$

が成り立つ．

対数と指数の関係の利用

次の式を簡単にせよ．

  1. $16^{\log_23}$
  2. $25^{\log_\frac{1}{5}4}$

  1. 式を変形すると

    \[16^{\log_23}=2^{4\log_23}\] \[ =2^{\log_23^4}\] $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質 \[=3^4\] $\blacktriangleleft$ 対数と指数の関係 \[=\boldsymbol{81}\]

  2. 式を変形すると

    \[25^{\log_\frac{1}{5}4}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2\log_\frac{1}{5}4}\] \[=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\log_\frac{1}{5}4^{-2}}\] $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質 \[=4^{-2}\] $\blacktriangleleft$ 対数と指数の関係 \[=\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}\]