等差数列の一般項
等差数列の定義
数列とは何かでとりあげた貯金の例のように，初項 $a$ に順次，一定の数 $d$ (公差(common difference)という)を加えて得られる数列のことを等差数列(arithmetic sequence)という．
具体的に数列を書き表すと
となる．
また，等差数列は漸化式を用いて
\begin{cases} a_1=a\\ a_{n+1}=a_n+d\quad(n=1,2,3,\cdots) \tag{1}\label{tousasuretunoteigi} \end{cases}と表すこともできる．
試しに，この漸化式 $\eqref{tousasuretunoteigi}$ の $n$ に $1,2,3$ を代入すると，確かに $a+d,a+2d,a+3d$ が作られるのがわかる．
等差数列の一般項
この等差数列の第 $N$ 項つまり一般項 $a_N$ は
「第 $N$ 項は初項 $a$ に $d$ を $N−1$ 個加えたもの」
と考えて
\[a_N=a+(N−1)d\]となるのはすぐにわかるだろう．
また，漸化式 $(1)$ から一般項 $a_N$ を求める方法もみておこう．
STEP1
漸化式を $a_{n+1}−a_n=d$ と変形し， $n$ に $1,2,3,\cdots,N−2,N−1$ を代入し，得られる式を縦に並べておく．
\begin{array}{rlclcl} a_2&-&a_1&=&d\\ a_3&-&a_2&=&d\\ &&\vdots&&\\ a_{N-1}&-&a_{N-2}&=&d\\ a_N&-&a_{N-1}&=&d \end{array}STEP2
すべての式の辺々を加え合わせる．
\begin{array}{rlclcl}&a_2&-&a_1&=&d\\&a_3&-&a_2&=&d\\&&&\vdots&&\\&a_{N-1}&-&a_{N-2}&=&d\\+)&a_N&-&a_{N-1}&=&d\\\hline&a_N&-&a_1&=&(N-1)d\end{array}よって， $a_1=a$ であることに注意して，次式を得る．
\[a_N=a+(N-1)d\]$n$と$N$を混合してもちいる
さきほどSTEP1で使った文字 $N$ は「ある $N$ 番目」という意味で用いた．ただし慣例では $“N”$ ではなく $“n”$ を使うので，今後このテキストでもこの慣例に従い，特別 $N$ を使用せずに $n$ を使うものとする．
しかし，こうするとSTEP1で「 $n$ に $1,2,3,\cdots,n-2,n-1$ を代入」と表現されることになり「 $n$ に $n-1$ を代入する？」と誤解を招きやすい．
最初の $n$ は $1,2,3,\cdots$ を代入するための変数であり，後の $n-2,n-1$ に含まれる $n$ は定数として用いられており，同じ $n$ でも別物として取り扱うことに注意しよう．
等差数列の漸化式と一般項
初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の漸化式は
\begin{cases} a_1=a\\ a_{n+1}=a_n+d\quad(n=1,2,3,\cdots) \end{cases}初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の一般項 $a_n$ は
\[a_n=a+(n-1)d\quad(n=1,2,3,\cdots)\]等差数列の一般項～その１～
次の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．また，第10項を求めよ．
- $2,5,8,11,14,\cdots$
- $100,98,96,94,92,\cdots$
- 初項が2，公差が3の等差数列であり，第 $n$ 項(一般項)は初項 $a_1$ に公差 $d$ を $n-1$ 回加えることによって求められるので
- 初項が100，公差が-2の等差数列だから
\[a_n=2+(n-1)3=\boldsymbol{3n-1}\]
また，第10項は $a_{10}=3\cdot10-1=\boldsymbol{29}$ である．
\[a_n=100+(n-1)\cdot(-2)=\boldsymbol{-2n+102}\]
また，第10項は $a_{10}=-2\cdot10+102=\boldsymbol{82}$ である．
等差数列の一般項～その２～
次の条件を満たす等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
- 初項が $13$ ，第4項が $22$
- 第3項が $1$ ，第10項が $-13$
- 等差数列は公差が一定であるので，条件からまず公差を求めよう．初項から第4項までは，公差が3回足されるので，公差を $d$ とすると
- 第3項から第10項までは，公差が7回足されるので，公差を $d$ とすると \begin{align} 7d&=a_{10}−a_3=-13-1=-14\\ \therefore\ d&=-2\\ \blacktriangleleft\ d&=\frac{a_{10}-a_3}{10-3} \end{align}
\begin{align}
3d&=a_4−a_1=22-13=9\\
\therefore\ d&=3\\
\blacktriangleleft\ d&=\frac{a_4-a_1}{4-1}
\end{align}
よって， $a_n=13+(n-1)\cdot3=\boldsymbol{3n-10}$ となる．
【別解】
等差数列の一般項は $a_n=a_1+(n-1)d$ として与えられるので，問題の条件から $a_1$ と $d$ の連立方程式を立てることができる．初項を $a$ ，公差を $d$ とすると
\begin{align} a_1&=a=13\\ a_4&=a+3d=22 \end{align}となる．これらを連立させて解くと
\[a=13,d=3\]よって， $a_n=13+(n-1)\cdot3=\boldsymbol{3n-10}$ となる．
第10項から第 $n$ 項までは，公差が $n-10$ 回足されるので
\begin{align} a_n&=a_{10}+(n-10)d\\ &=-13+(n-10)\cdot(-2)\\ &=\boldsymbol{-2n+7} \end{align}【別解】
初項を $a$ ，公差を $d$ とすると
初項が3であるから $\qquad a+2d=1$
第10項が−13であるから $\ a+9d=-13$
となる．これらを連立させて解くと
\[a=5,d=-2\]よって， $a_n=5+(n-1)\cdot(-2)=\boldsymbol{-2n+7}$ となる．
等差数列の一般項～その３～
第12項が $43$ ，第27項が $223$ である等差数列がある．このとき， $295$ はこの数列の第何項か．
この数列の初項を $a$ ，公差を $d$ とすると
\[a_n=a+(n-1)d\]ここで $a_{12}=43,a_{27}=223$ であるから
\begin{align} 43&=a+11d\\ 223&=a+26d \end{align}これを解いて， $a=-89,d=12$ ．
よって一般項 $a_n$ は
\[a_n=-89+(n-1)\cdot12=12n-101\]ここで $295$ が第 $n$ 項であるとすると
\[295=12n-101\]これを解いて， $n=33$ ．
したがって， $295$ はこの数列の $\boldsymbol{第33項}$ である．