数学A 第3章図形の性質 — 空間図形

直線と平面

2つの直線の位置関係

異なる2直線 $l,m$ の位置関係には次の3つの場合がある。

2直線 l, m の位置関係として、同じ平面上にある「1) 平行である」と「2) 1点で交わる」、平面上の直線 m と平面を突き抜ける直線 l からなる「3) ねじれの位置にある」の3つが並べて描かれている。

1)、2)の場合は2直線は同じ平面上にあり、3)の場合は同じ平面上にない。

2)、3)の場合、次の図のように、任意の1点 $O$ を通り $l,m$ にそれぞれ平行な直線 $l',m'$ をひくと、点 $O$ のとり方に関係なく、2つの角 $θ,$ が決まる。 $θ+=180°$ となるので、片方の角度が決まればもう片方の角度も決まる。この2つの角のうち大きくないほう、すなわち $θ≦$ のときの $θ$ を2直線 $l,m$ のなす角という。2)の場合は、2直線の交点を $O$ とみればよい。

2)、3)の場合において、特に $l,m$ のなす角が直角であるとき、 $l$ と $m$ は垂直であるといい、 $lm$ と書く。さらに、垂直である2直線が交わるとき、直交するという。

灰色の平面を突き抜ける直線 l' と、平面上の直線 m' が点Oで交わっており、2直線のなす角として隣り合う2つの角 θ と φ が示されている。

直線と平面との位置関係

直線 $l$ と平面 $α$ の位置関係には、次の3つの場合がある。

直線lと平面αの位置関係として、lとαが交わらない「1) 平行である」、lがαを突き抜ける「2) 1点で交わる」、lがαに含まれる「3) lはα上にある」の3つの様子が並んでいる。

次の図のように、直線 $l$ が平面 $α$ 上のすべての直線と垂直であるとき、 $l$ と $α$ は垂直である、または直交するといい、 $lα$ と表す。また、このとき、 $l$ を平面 $α$ の垂線という。

実は、直線 $l$ が平面 $α$ 上の交わる2直線と垂直であれば、 $l$ は $α$ 上のすべての直線と垂直となって、 $lα$ となる。

平面 $α$ 上にない点 $A$ を通る $α$ の垂線が、平面 $α$ と交わる点 $H$ を、点 $A$ から平面 $α$ におろした垂線の足という。

平面 α 上で交わる2直線があり、その交点を通る直線 l が平面 α を突き抜けています。直線 l は、平面 α 上の2直線それぞれと垂直に交わっています。

2つの平面の位置関係

異なる2平面 $α,β$ の位置関係には、次の2つの場合がある。

1)平行であるでは上下に並んで重ならない平面αとβ、「2)交わる」では斜めに交差して1つの直線を共有する平面αとβが示されている。

1)のように、2平面 $α,β$ が共有点をもたないとき、この2平面は平行であるといい、 $α∥β$ とかく。

また、2)のように、2つの平面 $α,β$ が共有点をもつとき、この2平面はその共有点を含むある1つの直線を共有する。このとき、この2平面は交わるといい、この直線を $α$ と $β$ の交線という。

交わる2平面 $α,β$ の交線上の点 $P$ から交線に垂直な直線 $PA,PB$ をそれぞれ $α,β$ 上に引くと、 $P$ のとり方に関係なく $∠APB$ の大きさは一定となる。この角を2平面 $α,β$ のなす角という。特に、 $∠APB=90°$ のとき、 $α$ と $β$ は直交する、または垂直であるといい、 $α⊥β$ と書く。

交わる2つの平面αとβがある。交線上の点Pから、平面α上に線分PA、平面β上に線分PBがそれぞれ交線と直交するように引かれ、角APBが示されている。

三垂線の定理

定理1三垂線の定理

平面 $α$ とその上の直線 $l$ がある。このとき、 $α$ 上にない点 $A,α$ 上にあるが $l$ 上にない点 $O,$ および $l$ 上の点 $B,$ について、次の三垂線の定理が成り立つ。

$OA⊥α,OB⊥l$ ならば $AB⊥l$
$OA⊥α,AB⊥l$ ならば $OB⊥l$
$OB⊥l,AB⊥l,OA⊥OB$ ならば $OA⊥α$

証明を見る

証明

どの場合も、「平面上の交わる2直線と垂直な直線は、その平面と垂直である」ことを使う。また、点 $A$ は $α$ 上になく、点 $O,B$ は $α$ 上にあるから、3点 $O,A,B$ は一直線上になく、1つの平面を定める。この平面を平面 $OAB$ とよぶことにする。

$OA⊥α$ で、 $l$ は $α$ 上にあるから $l⊥OA$ となる。仮定より $l⊥OB$ でもある。 $OA$ と $OB$ は点 $O$ で交わる平面 $OAB$ 上の2直線だから、 $l$ は平面 $OAB$ と垂直である。 $AB$ は平面 $OAB$ 上にあるので、 $AB⊥l$ となる。
1.と同じように $l⊥OA$ であり、仮定より $l⊥AB$ である。 $OA$ と $AB$ は点 $A$ で交わる平面 $OAB$ 上の2直線だから、 $l$ は平面 $OAB$ と垂直である。 $OB$ も平面 $OAB$ 上にあるので、 $OB⊥l$ となる。
仮定より $l⊥OB,l⊥AB$ であり、 $OB$ と $AB$ は点 $B$ で交わるから、 $l$ は平面 $OAB$ と垂直である。よって $OA⊥l$ となる。ここで、点 $O$ を通り $l$ に平行な直線 $l'$ をひくと、 $l'$ は $α$ 上にあり、 $OA⊥l'$ となる。 $l'$ と $OB$ は点 $O$ で交わる $α$ 上の2直線で、 $OA$ はそのどちらとも垂直だから、 $OA⊥α$ となる。

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問題1三垂線の定理の利用

立方体 $ABCD$ - $EFGH$ において、 $EB⊥BC$ であることを三垂線の定理を使って示せ。ただし、頂点 $A,B,C,D$ の真上の頂点が、それぞれ $E,F,G,H$ であるとする。

解答を見る

面 $ABCD$ をふくむ平面を $α$ 、直線 $BC$ を $l$ とみると、頂点 $E$ は $α$ 上になく、頂点 $A$ は $α$ 上にあって $l$ 上になく、頂点 $B$ は $l$ 上にある。

立方体だから $AE⊥α$ であり、正方形 $ABCD$ において $AB⊥BC$ 、すなわち $AB⊥l$ である。

これは、三垂線の定理の1.の点 $O,A,B$ を、それぞれ頂点 $A,E,B$ と読みかえたものにあたる。よって $EB⊥l$ 、すなわち $EB⊥BC$ となる。

多面体

多面体とは何か

定義2多面体

三角錐、四角柱などのように、平面だけで囲まれた立体を多面体といい、へこみのない多面体を凸とつ多面体という。

正多面体とは何か

空間図形において、全ての面が合同な正多角形からなり、各頂点に集まる辺の数が全て等しい凸多面体のことを正多面体 regular polyhedronという。

正多面体は

正四面体
正六面体（立方体）
正八面体
正十二面体
正二十面体

の5つしかないことが知られている。

左から順に正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5つの正多面体が横一列に並んでいる線画。隠れた辺は破線で示されている。凹多面体まで許すと、正多面体は全部で9つあることが知られている。次の図は、正凹多面体の1つである。

星のように全方向へ鋭く角が突き出した正凹多面体の立体。多数の三角形の面が組み合わさり、輪郭がへこんで尖った複雑な形状をしている。

オイラーの多面体定理

定理3オイラーの多面体定理

一般に、凸多面体の頂点の数を $v$ 、辺の数を $e$ 、面の数を $f$ とすると

$v-e+f=2$

が成り立つことが知られている。これをオイラーの多面体定理という。

最終更新: 2026-09-03

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