数学II 第3章三角関数 — 三角関数の加法定理とその応用

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ここでは、三角関数の加法定理を学ぶ。また、加法定理から導かれる重要な等式、倍角・半角の公式、三角関数の合成について学ぶ。

三角関数の加法定理

正弦と余弦の加法定理

2つの角の和や差の三角関数は，それぞれの角の三角関数で表すことができる．まずはじめに

$cos(α-β)=cosβ+sinβ$ $①$

となることを証明してみよう．

【証明】

図のように，点 $P(cosα, sinα)$ と点 $Q(cosβ, sinβ)$ をとると， 2点間の距離の公式より

$PQ²=(cosβ-cosα)²+(sinβ-sinα)² =2-2(cosβ+sinβ)$

である．

次に，図のように，2点 $， P，Q$ を原点を中心に $- β$ だけ回転させた図形を考える．このとき，動径 $OP$ のなす角は $α - β$ となり，点 $Q$ は $(1, 0)$ に移る．回転移動によって $PQ$ の長さは変わらないので，2点間の距離の公式より

$PQ²=(1-cos(α-β))²+sin²(α-β) =2-2cos(α-β)$

よって

$2-2(cosβ+sinβ) =2-2cos(α-β) \Leftrightarrow cos(α-β)=cosβ+sinβ$

座標平面上の単位円上に、動径OPの表す角がα-βである点P(cos(α-β), sin(α-β))がとられている。x軸上の点Q(1, 0)および原点Oを結ぶ三角形OPQが描かれている。

暗記1正弦と余弦の加法定理の導出

上の $①$ を利用して，次の等式を証明せよ．

$cos(α+β)=cosβ-sinβ$
$sin(α-β)=sinβ-cosβ$
$sin(α+β)=sinβ+cosβ$

解答を見る

$①$ で $β$ を $- β$ におきかえると

$cos{α-(-β)}=cos(-β) +sin(-β) \Leftrightarrow cos(α+β)=cosβ-sinβ$

← $-θ$ の三角比
$①$ で $β$ を $β-π/2$ におきかえると

$cos{α-(β-π/2)} =cos(β-π/2) +sin(β-π/2) \Leftrightarrow cos{(α-β)+π/2} =cos(β-π/2) +sin(β-π/2) \Leftrightarrow -sin(α-β)=cosβ-sinβ \Leftrightarrow sin(α-β)=sinβ-cosβ$
2.で $β$ を $- β$ におきかえると

$sin{α-(-β)}=sin(-β) -cos(-β) sin(α+β)=sinβ+cosβ$

← $-θ$ の三角比

定理1正弦と余弦の加法定理

$1)sin(α+β)=sinβ+cosβ sin(α-β)=sinβ-cosβ 2)cos(α+β)=cosβ-sinβ cos(α-β)=cosβ+sinβ$

問題1正弦と余弦の加法定理

$45°-30°=15°$ であることに注意して， $sin15°$ と $cos15°$ の値を求めよ．
$π/4+π/6=(5/12)π$ であることに注意して $sin((5/12)π)$ と $cos((5/12)π)$ の値を求めよ．

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加法定理をもちいて

$sin15°=sin(45°-30°) =sin45°cos30°-cos45°sin30° =\sqrt2/2・\sqrt3/2-\sqrt2/2・1/2 =(\sqrt6-\sqrt2)/4 cos15°=cos(45°-30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30° =\sqrt2/2・\sqrt3/2+\sqrt2/2・1/2 =(\sqrt6+\sqrt2)/4$
加法定理をもちいて

$sin((5/12)π)=sin(π/4+π/6) =sin((π/4)cos)π/6+cos((π/4)sin)π/6 =\sqrt2/2・\sqrt3/2+\sqrt2/2・1/2 =(\sqrt6+\sqrt2)/4 cos((5/12)π)=cos(π/4+π/6) =cos((π/4)cos)π/6-sin((π/4)sin)π/6 =\sqrt2/2・\sqrt3/2-\sqrt2/2・1/2 =(\sqrt6-\sqrt2)/4$

問題2三角関数の加法定理と平面図形

図のように $X(1, 0)$ と $A(2, 1)$ があり， $∠AOX=α$ とする．

$cosα, sinα$ の値を求めよ．
$△AOX$ を $O$ を中心に $π/3$ 回転移動し， $△A'OX'$ になったとする．このとき， $X'$ ， $A'$ の座標を求めよ．

座標平面上に、原点O、x軸上の点X、x座標が2でy座標が1の点Aを結んだ△AOXが描かれている。∠AOXの角度はαと表示されている。

解答を見る

$OA=\sqrt5$ より，

$cosα=2/\sqrt5, sinα=1/\sqrt5$ ．
図のように書くことができ，

$X'(cos(π/3), sin(π/3))$ なので $X'(12, \sqrt3/2)$ ．

$A'(\sqrt5cos(α+π/3), \sqrt5sin(α+π/3))$ であり，

$cos(α+π/3)=cos(π/3)-sin(π/3) =2/\sqrt5・12 - 1/\sqrt5・\sqrt3/2 =(2-\sqrt3)/2\sqrt5 sin(α+π/3)=sin(π/3)+cos(π/3) =1/\sqrt5・12 + 2/\sqrt5・\sqrt3/2 =(1+2\sqrt3)/2\sqrt5$

←正弦と余弦の加法定理

より， $A'((2-\sqrt3)/2, (1+2\sqrt3)/2)$ ．

← $cos(α+π/3), sin(α+π/3)$ をそれぞれ $\sqrt5$ 倍した

正接の加法定理

正弦と余弦の加法定理から，次のような正接の加法定理を導くことができる．

$tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanβ)$ $②$

【証明】

$tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β) =(sinβ+cosβ)/(cosβ-sinβ) =(sinα/cosα+sinβ/cosβ)/(1-sinα/cosα\dotsinβ/cosβ)$

←分母と分子を $cosβ$ で割った

$=(tanα+tanβ)/(1-tanβ)$

暗記2正接の加法定理の導出

上の $②$ を利用して，次の等式を証明せよ．

$tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)$

解答を見る

$②$ の $β$ を $- β$ におきかえると

$tan{α+(-β)}=(tanα+tan(-β))/(1-tan(-β)) \Leftrightarrow tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)$

← $-θ$ の三角比

定理2正接の加法定理

$tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)$

問題3正接の加法定理

$0<α<π/2, 0<β<π/2$ で， $tanα=5, tanβ=3/2$ のとき，次の問いに答えよ．

$tan(α+β), tan(α-β)$ の値を求めよ．
$α+β$ の値を求めよ．

解答を見る

正接の加法定理より

$tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanβ) =(5+3/2)/(1-5・3/2)=-1 tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ) =(5-3/2)/(1+5・3/2)=7/17$
$0<α+β<π$ および， $tan(α+β)=-1$ より， $α+β=(3/4)π$ である．

2直線のなす角

正接の加法定理を利用すると，2直線のなす角の正接の値を求めることができる．そのことを次の例題で確認しよう．

問題42直線のなす角〜その1〜

直線 $l:y=2x-1,m:y=(1/3)x+1/3$ について，以下の問いに答えよ．

直線 $l,m$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $α,β$ とするとき， $tanα,tanβ$ の値を求めよ．ただし，角は反時計回りを正の向きとする．
2直線 $l,m$ のなす鋭角を $θ$ とする．正接の加法定理を利用し $θ$ の値を求めよ．

解答を見る

直線 $l$ と $m$ の傾きはそれぞれ， $2,1/3$ なので，

$tanα=2,tanβ=1/3$ である．
$θ = α - β$ なので

$tanθ =tan(α-β) =(tanα-tanβ)/(1+tanβ) =(2-1/3)/(1+2・1/3) =1$

$0≦θ≦π/2$ より， $θ=π/4$ となる．

座標平面上に2直線 y=2x-1 と y=1/3 x+1/3 があり、各直線がx軸の正の向きとなす角がそれぞれα、βと表されている。また、2直線の交わる部分に、そのなす角θが示されている。以下では，交わる2直線 $y=m1x+n1,y=m2x+n2$ のなす鋭角 $θ$ について，一般的に考えてみよう．

座標平面上に交わる2直線 y=m1 x+n1 と y=m2 x+n2、およびそれらを原点を通るように平行移動した直線 y=m1 x と y=m2 x があり、どちらの2直線のなす鋭角も θ と示されている。

図のように，直線を平行移動しても2直線のなす角は変わらないので， $y=m1x,y=m2x$ の場合について考えてゆけばよい．

直線 $y=m1 x, y=m2 x$ が $x$ 軸の正の向きとなす，正の角をそれぞれ $α,β (α>β)$ とする．

正接の値は直線の傾きを表していたので， $tanα=m1, tanβ=m2$ である．

いま，正接の加法定理から

$tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)=(m1-m2)/(1+m1m2)$

と計算できる．

座標平面上に原点を通る2直線 y=m1 x と y=m2 x があり、x軸の正の向きとなす角がそれぞれ α、β と表されている。2直線のなす角は θ と示されている。

$(m1-m2)/(1+m1m2)>0$ ,すなわち $0<α-β <π/2$ のとき

$tanθ=tan(α-β)=(m1-m2)/(1+m1m2) (>0)$
$(m1-m2)/(1+m1m2)<0$ ,すなわち $π/2<α-β<π$ のとき

$tanθ=tan{π-(α-β)} =-tan(α-β) =-(m1-m2)/(1+m1m2) (>0)$

いずれにしても， $tanθ > 0$ なので，次のようにまとめられる．

定理32直線のなす角

直交しない2直線

$y=m1x+n1 y=m2x+n2$

のなす鋭角を $θ$ とすると

$tanθ=|(m1-m2)/(1+m1m2)|$

と表すことができる．

座標平面上に、右上がりの2直線 y=m_1 x+n_1 と y=m_2 x+n_2 が描かれている。第1象限で2直線が交わっており、そのなす鋭角がθと示されている。

問題52直線のなす鋭角〜その2〜

2直線 $y=2x-1, y=-x+3$ なす角を $θ$ とするとき， $tanθ$ の値を求めよ．
直線 $y=2x+3$ とのなす角が $π/4$ である直線の傾き $m$ を求めよ．

解答を見る

それぞれ傾きは $2, -1$ なので

$tanθ =|(2 -(-1))/(1+2・ (-1))| =|-3| =3$
傾きは $2, m$ である2直線のなす角が $π/4$ なので

$tan(π/4)=|(2 -m)/(1+2・ m)| \Leftrightarrow 1=|(2-m)/(2m+1)|$

よって， $2m+1=2-m$ または $2m+1=m-2$ であればよいので， $m=1/3, -3$ ．

2倍角・半角の公式

2倍角の公式

三角関数の加法定理において， $β = α$ とすると，次の2倍角の公式(formula of double angle)が得られる．

定理42倍角の公式

$sin2α=2sinα$
$cos2α=cos²α-sin²α$

$=1-2sin²α$

$=2cos²α-1$
$tan2α=2tanα/(1-tan²α)$

証明

正弦の加法定理 $sin(α+β)=sinβ+cosβ$ において， $β = α$ とすると

$sin2α=sinα+cosα=2sinα$

また，正接の加法定理 $tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanβ)$ において， $β = α$ とすると

$tan2α=(tanα+tanα)/(1-tanα)=2tanα/(1-tan²α)$

∎

暗記32倍角の公式の導出

余弦の2倍角の公式

$cos2α=cos²α-sin²α =1-2sin²α=2cos²α-1$

を証明せよ．

解答を見る

余弦の加法定理 $cos(α+β)=cosβ-sinβ$ において， $β = α$ とすると

$cos2α=cosα-sinα =cos²α-sin²α$

$sin²α+cos²α=1$ より， $cos²α=1-sin²α$ だから

$cos2α=(1-sin²α)-sin²α =1-2sin²α$

$sin²α+cos²α=1$ より， $sin²α=1-cos²α$ だから

$cos2α=cos²α-(1-cos²α) =2cos²α-1$

半角の公式

2倍角の公式から，次の半角の公式(formula of half angle)を得る．

定理5半角の公式

$sin²α/2=(1-cosα)/2$
$cos²α/2=(1+cosα)/2$
$tan²α/2=(1-cosα)/(1+cosα)$

暗記4半角の公式の導出

次の『半角の公式』を証明せよ．

$sin²α/2=(1-cosα)/2$
$cos²α/2=(1+cosα)/2$
$tan²α/2=(1-cosα)/(1+cosα)$

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余弦の倍角の公式 $cos2α = 1 - 2sin²α$ より

$sin²α=(1-cos2α)/2$ $①$

ここで， $α$ を $α/2$ とおきかえて

$sin²α/2=(1-cosα)/2$
余弦の倍角の公式 $cos2α = 2cos²α - 1$ より

$cos²α=(1+cos2α)/2$ $②$

ここで， $α$ を $α/2$ とおきかえて

$cos²α/2=(1+cosα)/2$
$tanα=sinα/cosα$ より

$tan²α=sin²α/cos²α =(1-cos2α)/2・2/(1+cos2α) =(1-cos2α)/(1+cos2α)$

← $①$ ， $②$ を使った

ここで， $α$ を $α/2$ とおきかえて

$tan²α/2=(1-cosα)/(1+cosα)$

問題6半角の公式の利用

$t=tan(x/2)$ とするとき， $cosx, sinx, tanx$ を $t$ の式で表せ．

解答を見る

$t²=tan²x/2 =(1-cosx)/(1+cosx)$ より

$(1+cosx) t² =1-cosx \Leftrightarrow (t² +1)cosx =1-t² \Leftrightarrow cosx=(1-t²)/(1+t²)$

また，倍角の公式より

$tanx=2tan(x/2)/(1-tan²x/2)=2t/(1-t²)$

なので

$sinx=cosx tanx =(1-t²)/(1+t²)・ 2t/(1-t²)=2t/(1+t²)$

三角関数の合成

三角関数の合成について

$asinθ + bcosθ$ の形をしている式は，加法定理をもちいてより簡単な形に直すことができる．

図のように， $sinθ$ の係数を $x$ 座標とし， $cosθ$ の係数を $y$ 座標とする点 $P(a, b)$ をとり，線分 $OP$ が $x$ 軸の正の向きとなす，正の向きの角を $α$ とすると

$cosα=a/\sqrt(a²+b²) , sinα=b/\sqrt(a²+b²)$ $①$

だから

$asinθ + bcosθ$ $=\sqrt(a²+b²)((a/\sqrt(a²+b²))sinθ.$ $.+(b/\sqrt(a²+b²))cosθ)$

← $\sqrt(a²+b²)$ で式全体をくくった

$=\sqrt(a²+b²)(cosθ+sinθ)$

← $①$ を使った

$=\sqrt(a²+b²)sin(θ+α)$

←加法定理を使った

この変形のことを，三角関数の合成(combination of trigonometric function)という．

座標平面上に原点Oと点(a, b)を結ぶ線分が描かれている。線分の長さは√(a^2+b^2)で、x軸の正の部分となす角の大きさはαである。

定理6三角関数の合成

$asinθ + bcosθ$ は

$cosα=a/\sqrt(a²+b²) , sinα=b/\sqrt(a²+b²)$

を満たす $α$ をもちいて

$asinθ+bcosθ=\sqrt(a²+b²)sin(θ+α)$

と変形できる．

座標平面上に原点Oと点(a, b)を結ぶ線分があり、その長さは√(a^2+b^2)と記されている。この線分とx軸の正の部分とのなす角がαである。

問題7三角関数の合成

次の三角関数を合成して， $Asin(θ+α)$ の形に変形せよ． $α$ の値が求められるときには求めよ(ただし， $0≦α<2π$ とする)．

$sinθ +cosθ$
$-sinθ +\sqrt3cosθ$
$3sinθ -4cosθ$

解答を見る

$sinθ+cosθ =\sqrt(1²+1²)((1/\sqrt2)sinθ+(1/\sqrt2)cosθ) =\sqrt2(cos((π/4)sin)θ+sin((π/4)cos)θ) =\sqrt2sin(θ+π/4)$
$-sinθ+\sqrt3cosθ =\sqrt((-1)²+\sqrt3²)(((-1)/2)sinθ+(\sqrt3/2)cosθ) =2(cos((2π/3)sin)θ+sin((2π/3)cos)θ) =2sin(θ+2π/3)$
$3sinθ-4cosθ =\sqrt(3²+(-4)²)((3/5)sinθ-(4/5)cosθ) =5(cosθ+sinθ) =5sin(θ +α )$

ただし， $α$ は図のような角度である．

三角関数を含む関数・方程式・不等式

三角関数を含む関数・方程式・不等式について

問題8三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜

関数 $y=cos² θ -2sinθ +1 (0≦ θ <2π)$ の最大値・最小値を求めよ．
$0≦ θ <2π$ のとき，方程式 $sin² θ =cos θ+1$ を解きなさい．
$0≦ θ <2π$ のとき，不等式 $2cos² θ +sin θ >2$ を解きなさい．

解答を見る

$y=cos²θ-2sinθ+1 =(1-sin²θ)-2sinθ+1$

←拡張された三角関数の相互関係を用いて $sinθ$ にそろえた

$sinθ = t$ とおく． $0≦θ<2π$ より $-1≦t≦1$ なので

$y=-t²-2t+2 =-(t+1)²+3 (-1≦ t ≦ 1)$

← $t$ についての2次関数の最大・最小の問題になった

上に凸の放物線 y=-t^2-2t+2 のうち、tが-1から1までの範囲が実線、その外側が破線で描かれている。t=-1で最大値3、t=1で最小値-1をとる点に黒丸が付いている。

図より， $y$ は

$t = - 1$ のとき最大値 $3$ , $t = 1$ のとき最小値 $- 1$

をとる． $t =sinθ$ なので

原点Oを中心とする単位円に、t=sinθ=1 となる上端の点と t=sinθ=-1 となる下端の点が示されている。x軸の正の向きから各点の動径までの回転が矢印で描かれている。

$θ=(3/2)π$ のとき最大値 $3$

$θ=π/2$ のとき最小値 $-1$

$sin²θ=cosθ+1 \Leftrightarrow 1-cos²θ=cosθ+1 \Leftrightarrow cos²θ+cosθ=0 \Leftrightarrow cosθ(cosθ+1)=0 \Leftrightarrow cosθ=0, -1$

原点Oを中心とする単位円に、cosθ=0 となるy軸上の2点と cosθ=-1 となる左端の点が示され、x軸の正の向きから各点の動径までの回転が矢印で描かれている。

$0≦θ<2π$ の範囲で $cosθ=0, -1$ を満たす $θ$ は，図より $θ=π/2, π, (3/2)π$ ．

$2cos²θ+sinθ>2$ $\Leftrightarrow 2(1-sin²θ)+sinθ>2$

←拡張された三角関数の相互関係を用いて $cosθ$ にそろえた．

$\Leftrightarrow -2sin²θ+sinθ>0$ $\Leftrightarrow sinθ(2sinθ-1)<0$

← $sin²θ$ の係数を正にするため，両辺を $- 1$ で割ってから因数分解した

$\Leftrightarrow 0<sinθ<1/2$

原点Oを中心とする単位円で、y座標が0から1/2までの帯が網掛けされている。0<sinθ<1/2 を満たす弧が左右2か所に太線で描かれ、その端の点はすべて白丸である。

$0≦θ<2π$ の範囲で上の不等式を満たす $θ$ の範囲は，図の太線部分である．すなわち

$0<θ<π/6, (5/6)π<θ<π$

問題9三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜

関数 $y=-cos 2θ -2sinθ (0≦ θ <2π)$ の最大値・最小値を求めよ．
$0≦ θ <2π$ のとき，方程式 $sin 2θ =cos θ$ を解きなさい．
$0≦ θ <2π$ のとき，方程式 $tan² θ/2 =1-cos θ$ を解きなさい．
$0≦ θ <2π$ のとき，不等式 $cos 2θ -cos θ ≧ 0$ を解きなさい．
$0≦ θ <2π$ のとき，不等式 $cos² θ/2 θ+1$ を解きなさい．

解答を見る

$y==-cos2θ-2sinθ =-(1-2sin²θ)-2sinθ$

←2倍角の公式を用いて $sinθ$ にそろえた．

$sinθ=t$ とおく． $0≦θ<2π$ より $-1≦t≦1$ なので

$y=2t²-2t-1 =2(t-1/2)²-3/2$

下に凸の放物線 y=2t^2-2t-1 のうち、tが-1から1までの範囲が実線、その外側が破線で描かれている。t=-1で最大値3、t=1/2で最小値-3/2をとる。

図より， $y$ は

$t = - 1$ のとき最大値 $3$ , $t=1/2$ のとき最小値 $-3/2$

をとる． $t = sinθ$ なので

原点Oを中心とする単位円に、t=sinθ=1/2 となる2点と t=sinθ=-1 となる下端の点へ動径が引かれ、x軸の正の向きからの回転が矢印で示されている。

$θ=(3/2)π$ のとき最大値 $3$

$θ=π/6, (5/6)π$ のとき最小値 $-3/2$

$sin2θ=cosθ \Leftrightarrow 2sinθ=cosθ \Leftrightarrow cosθ(2sinθ-1)=0 \Leftrightarrow cosθ=0, sinθ=1/2$

←2倍角の公式を用いて共通因数を作った．

原点Oを中心とする単位円に、sinθ=1/2 となる2点と cosθ=0 となるy軸上の2点へ動径が引かれ、x軸の正の向きからの回転が矢印で示されている。

$0≦θ<2π$ の範囲で $cosθ=0$ , $sinθ=1/2$ を満たす $θ$ は，図より

$． θ=π/6, π/2, (5/6)π, (3/2)π．$

$tan²θ/2=1-cosθ \Leftrightarrow (1-cosθ)/(1+cosθ)=1-cosθ \Leftrightarrow 1-cosθ=(1-cosθ)(1+cosθ) \Leftrightarrow cos²θ-cosθ=0 \Leftrightarrow cosθ(cosθ-1)=0 \Leftrightarrow cosθ=0, cosθ=1$

←半角の公式を用いて $cosθ$ にそろえた．

原点Oを中心とする単位円に、cosθ=0 となるy軸上の2点と cosθ=1 となる右端の点が示され、x軸の正の向きから各点の動径までの回転が矢印で描かれている。

$0≦θ<2π$ の範囲で $cosθ=0$ , $cosθ=1$ を満たす $θ$ は，図より

$． θ=0, π/2, (3/2)π．$

$cos2θ-cosθ≧0 \Leftrightarrow (2cos²θ-1)-cosθ≧0 \Leftrightarrow (2cosθ+1)(cosθ-1)≧0 \Leftrightarrow cosθ≦-1/2, 1≦cosθ$

←2倍角の公式を用いて $cosθ$ でそろえた

原点Oを中心とする単位円で、x座標が-1/2以下の左側と1以上の右側が網掛けされている。cosθ≦-1/2 を満たす左の弧が太線で描かれ、cosθ=1 となる右端の点にも黒丸がある。

$0≦θ<2π$ の範囲で上の不等式を満たす $θ$ の範囲は，図の網掛け部分である．すなわち

$θ=0, (2/3)π≦θ≦(4/3)π$

$cos²θ/2θ+1 \Leftrightarrow (1+cosθ)/2θ+1 \Leftrightarrow 1+cosθ≧2cosθ+2 \Leftrightarrow cosθ≦-1$

←半角の公式を用いて $cosθ$ でそろえた

原点Oを中心とする単位円で、x座標が-1以下の左側の領域が網掛けされている。cosθ≦-1 を満たすのは左端の点(-1, 0)だけで、原点からその点へ向かう動径が太線で描かれている。

$0≦θ<2π$ の範囲で上の不等式を満たす $θ$ の範囲は，図の太線部分である．すなわち

$． θ=π．$

問題10三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜

$0≦ θ <2π$ のとき，方程式 $sin θ -\sqrt3cos θ =1$ を解きなさい．
$0≦ θ <2π$ のとき，不等式 $sinθ +cosθ <0$ を解きなさい．
関数 $y=sinθ +\sqrt3cos θ (0≦ θ <2π)$ の最大値・最小値を求めよ．

解答を見る

三角関数の合成より

$sinθ-\sqrt3cosθ=1 \Leftrightarrow 2{(1/2)sinθ +(-\sqrt3/2)cosθ}=1 \Leftrightarrow 2sin(θ-π/3)=1$

$θ-π/3=θ'$ とおくと

$． sinθ'=1/2．$

$0≦θ<2π$ より， $-π/3≦θ'<(5/3)π$ である．この範囲で $sinθ'=1/2$ を満たす $θ'$ は，図より

$． θ'=(1/6)π, (5/6)π．$

$θ=θ'+π/3$ なので

$． θ=(1/2)π, (7/6)π．$
三角関数の合成より

$sinθ+cosθ<0 \Leftrightarrow \sqrt2((\sqrt2/2)sinθ+(\sqrt2/2)cosθ)<0 \Leftrightarrow \sqrt2sin(θ+(1/4)π)<0$

$θ+(1/4)π=θ'$ とおくと

$． sinθ'<0．$

$0≦θ<2π$ より， $(1/4)π≦θ'<(9/4)π$ なので，この範囲で上の不等式を満たす $θ'$ は，図の網掛け部分である．すなわち

$． π<θ'<2π．$

$θ=θ'-(1/4)π$ なので

$． (3/4)π<θ<(7/4)π．$
三角関数の合成より

$y=sinθ+\sqrt3cos θ =2(12sinθ + (\sqrt3/2)cosθ) =2sin(θ+π/3)$

$θ'=θ+π/3$ とおくと，

この三角関数は $y = 2sinθ'$ ．

$0≦θ<2θ$ より， $π/3≦ θ' <(7/3)π$ なので，

$θ'=π/2$ のとき最大値 $2$ , $θ'=(3/2)π$ のとき最小値 $- 2$ ．

$θ=θ'-π/3$ なので

$θ=π/6$ のとき，最大値 $2$

$θ=(7/6)π$ のとき，最小値 $-2$

問題11 $＝ t＝sin x+cos x$ とおく

関数 $f(x)=sinx cosx -sinx -cosx (0≦ x ≦π)$ について以下の問いに答えよ．

$t=sinx+cosx$ とする． $f(x)$ を $t$ の式で表せ．
$t$ のとりうる値を求めよ．
$f(x)$ の最大値・最小値と，それぞれを与える $x$ の値を求めよ．

解答を見る

$t²=(sinx+cosx)²=1 +2sinxcosx$ なので

$sinxcosx=(t² -1)/2$

これを代入すれば

$f(x)=(t² -1)/2 -(sinx +cosx) =1/2 t² -t - 1/2$
三角関数の合成より

$t=sinx +cosx =\sqrt2 ((\sqrt2/2)sinx + (\sqrt2/2)cosx ) =\sqrt2sin(x + π/4)$

$0≦ x ≦ π$ より， $π/4 ≦ x+π/4 ≦ (5/4)π$ なので図より $-\sqrt2/2(x + π/4)≦ 1$ である．

つまり， $t=\sqrt2sin(x + π/4)$ のとりうる範囲は $-1 ≦ t ≦ \sqrt2$ ．
1.,2.より， $f(x)=1/2 t² -t - 1/2 (-1 ≦ t ≦ \sqrt2)$ である．これを $t$ について平方完成すると

$f(x)=1/2(t-1)²-1$

となる．図より， $f(x)$ は

$t = - 1$ のとき $1$ で最大， $t = 1$ のとき $- 1$ で最小

となる．それぞれのときの $x$ の値を求めると

$t=-1 \Leftrightarrow \sqrt2sin(x + π/4)=-1 \Leftrightarrow sin(x + π/4)=-\sqrt2/2 \Leftrightarrow x + π/4=(5/4)π \Leftrightarrow x=π t=1 \Leftrightarrow \sqrt2sin(x + π/4)=1 \Leftrightarrow sin(x + π/4)=\sqrt2/2 \Leftrightarrow x + π/4=π/4, (3/4)π \Leftrightarrow x=0, π/2$

以上をまとめて， $f(x)$ は

$x = π$ のとき $1$ で最大

$x=0, π/2$ のとき $- 1$ で最小

3倍角の公式

暗記53倍角の公式の導出

$sin3α$ を $sinα$ だけの式で表せ．また， $cos3α$ を $cosα$ だけの式で表せ．

解答を見る

$sin3α=sin(2α +α)$ $=sin2α cosα +cos2α sinα$ ←正弦と余弦の加法定理 $=(2sinα cosα)cosα +(1-2sin²α)sinα$ ←2倍角の公式 $=2sinα cos²α +sinα -2sin³α$ $=2sinα(1-sin²α) +sinα -2sin³α$ ←拡張された三角関数の相互関係 $=3sinα -4sin³α$ $cos3α=cos(2α +α)$ $=cos2α cosα -sin2α sinα$ ←正弦と余弦の加法定理 $=(2cos²α -1)cosα -(2sinα)sinα$ ←2倍角の公式 $=2cos³α -cosα -2sin²α$ $=2cos³α -cosα -2(1-cos²α)cosα$ ←拡張された三角関数の相互関係 $=4cos³α -3cosα$

定理73倍角の公式

$sin3α=3sinα -4sin³α$
$cos3α=4cos³α -3cosα$

問題123倍角の公式の利用

$0≦ x ≦π$ のとき，不等式 $cos3x +2cosx=0$ を満たす $x$ を求めよ．

解答を見る

$cos3x =4cos³x -3cosx$ なので

$cos3x +2cosx =0 \Leftrightarrow 4cos³x -3cosx +2cosx=0 \Leftrightarrow (4cos²x -1)cosx =0 \Leftrightarrow cosx =-1/2, 1/2, 0$

$0≦ x ≦ π$ の範囲でこれを解いて，

$x =π/3, π/2, (2/3)π$

単位円上に、cos x = -1/2、cos x = 0、cos x = 1/2 を満たす3つの点が表されている。原点Oからの動径が太線で描かれ、各点を通る縦の破線が添えられている。

三角関数の和と積の公式

積和の公式

加法定理を組み合わせることにより，次のような公式が得られる．

定理8三角関数の積を和に変換する公式

$sinα cosβ=12{sin(α +β) +sin(α -β)}$
$cosα sinβ=12{sin(α +β) -sin(α -β)}$
$cosα cosβ=12{cos(α +β) +cos(α -β)}$
$sinα sinβ$ $=-12{cos(α +β) -cos(α -β)}$

証明

正弦についての加法定理

$sin(α +β)=sinα cosβ + cosα sinβ$ $①$

$sin(α -β)=sinα cosβ - cosα sinβ$ $②$

において， $①+②$ より

$sin(α +β) +sin(α -β) = 2sinα cosβ \Leftrightarrow sinα cosβ =12{sin(α +β) +sin(α -β)}$
同じく $①-②$ より

$sin(α+β)-sin(α-β) =2cosβ \Leftrightarrow cosβ =12{sin(α+β)-sin(α-β)}$

∎

暗記6積和の公式の導出

次の等式を証明せよ．

$cosβ=12{cos(α+β)+cos(α-β)}$
$sinβ$ $=-12{cos(α+β)-cos(α-β)}$

解答を見る

余弦についての加法定理

$cos(α +β)=cosβ-sinβ$ $③$

$cos(α -β)=cosβ+sinβ$ $④$

において， $③+④$ より

$cos(α+β)+cos(α-β) =2cosβ \Leftrightarrow cosβ =12{cos(α+β)+cos(α -β)}$
同じく $③-④$ より

$cos(α+β)-cos(α-β) =-2sinβ \Leftrightarrow sinβ =-12{cos(α+β)-cos(α-β)}$

和積の公式

三角関数の積を和に変換する公式について

$α+β=A$ $①$

$α-β=B$ $②$

とおくと， $(①+②)\div 2$ より $α=(A+B)/2$ ， $(①-②)\div 2$ より $β=(A-B)/2$ であるから，次の公式を得る．

定理9三角関数の和を積に変換する公式

$sinA +sinB=2sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)$
$sinA -sinB=2cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)$
$cosA +cosB=2cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)$
$cosA -cosB=-2sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)$

問題13三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜

$0≦ x < 2π$ のとき，方程式 $sin 4x +sin 3x +sin 2x +sin x=0$ を解け．
$0≦ x < 2π$ のとき，不等式 $cos x -cos 2x +cos 3x <cos 4x$ を解け．

解答を見る

$sin 4x +sin 3x +sin 2x +sin x=0$

← $4x-2x=3x-x$ に着目．

$4x+x =3x+2x$ や $4x-3x=2x-x$ に着目しても共通因数を作れるが，分数が出てきて煩雑である．

$\Leftrightarrow (sin 4x +sin 2x) +(sin 3x +sin x)=0$ $\Leftrightarrow 2sin((4x+2x)/2) cos((4x-2x)/2)$ $+2sin((3x+x)/2) cos((3x-x)/2)=0$

←三角関数の和を積に変換する公式

$\Leftrightarrow 2(sin3x cosx + sin2x cosx)=0$

←共通因数 $cos x$ ができた

$\Leftrightarrow (sin3x +sin2x)cosx=0$ $\Leftrightarrow (2sin((3x +2x)/2) cos((3x -2x)/2))cosx=0$

←三角関数の和を積に変換する公式

$\Leftrightarrow sin((5/2)x)cos(x/2) cosx=0$ $\Leftrightarrow sin((5/2)x)=0, cos(x/2)=0, cosx=0$

それぞれの方程式を解くと

$0≦ (5/2)x<5π$ より

$sin((5/2)x)=0 \Leftrightarrow (5/2)x=0, π, 2π, 3π,4π \Leftrightarrow x=0, (2/5)π, (4/5)π, (6/5)π, (8/5)π$

$0≦ x/2<π$ より

$cos(x/2)=0 \Leftrightarrow x/2=π/2 \Leftrightarrow x=π$

$0≦ x<2π$ より

$cosx=0 \Leftrightarrow x=π/2, (3/2)π$

よって， $x=0, 25π, 12π, 45π, π,$

$65π, 32π, 85π$ ．
$cos x -cos 2x +cos 3x<cos 4x$

← $3x-x=4x-2x$ に着目．

$4x+x =3x+2x$ や $4x-3x=2x-x$ に着目しても共通因数を作れるが，分数が出てきて煩雑である．

$\Leftrightarrow cos 3x +cos x <cos 4x+cos 2x$ $\Leftrightarrow 2cos((3x+x)/2) cos((3x-x)/2)$ $<2cos((4x+2x)/2) cos((4x-2x)/2)$

←三角関数の和を積に変換する公式

$\Leftrightarrow cos2x cosx <cos3x cosx$

←共通因数 $cos x$ ができた

$\Leftrightarrow (cos3x -cos2x)cosx>0$ $\Leftrightarrow (-2sin((3x +2x)/2) sin((3x -2x)/2)) cosx$ $>0$

←三角関数の和を積に変換する公式

$\Leftrightarrow sin((5/2)x) sin(x/2) cosx<0$ $①$

ここで， $0≦ x/2<π$ より $sin(x/2)≧ 0$ である．
1. $sin(x/2)=0$ ，つまり， $x=0$ のとき $①$ は不適．
2. $sin(x/2)>0$ より， $①$ は $sin((5/2)x) cosx<0$ となる．
$sin52 x>0, cos x<0$ のとき

← $sin52 x>0$ を解くと $0<52 x<π, 2π<52 x<3π,$ $4π<52 x<5π$

$0<x<25π, 45π<x<65π, 85π<x<2π 12π<x<32π$

上の式を $②$ ，下の式を $③$ とする．

なので， $45π < x<65π$ ．

$sin52 x<0, cos x>0$ のとき

← $sin52 x<0$ を解くと $π<52 x<2π, 3π<52 x<4π$

$25π<x<45π, 65π<x<85π 0<x<12π, 32π<x<2π$

上の式を $④$ ，下の式を $⑤$ とする．

なので， $25π< x< 12π, 32π< x< 85 π$ ．

以上をまとめて

$25π< x< 12π, 45π < x< 65π,$ $32π< x< 85 π$ ．

最終更新: 2026-08-13

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質問の内容

数学II 第3章 三角関数 — 三角関数の加法定理とその応用

三角関数の加法定理

正弦と余弦の加法定理

暗記1正弦と余弦の加法定理の導出

定理1正弦と余弦の加法定理

問題1正弦と余弦の加法定理

問題2三角関数の加法定理と平面図形

正接の加法定理

暗記2正接の加法定理の導出

定理2正接の加法定理

問題3正接の加法定理

2直線のなす角

問題42直線のなす角〜その1〜

定理32直線のなす角

問題52直線のなす鋭角〜その2〜

2倍角・半角の公式

2倍角の公式

定理42倍角の公式

暗記32倍角の公式の導出

半角の公式

定理5半角の公式

暗記4半角の公式の導出

問題6半角の公式の利用

三角関数の合成

三角関数の合成について

定理6三角関数の合成

問題7三角関数の合成

三角関数を含む関数・方程式・不等式

三角関数を含む関数・方程式・不等式について

問題8三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜

問題9三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜

問題10三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜

問題11＝ t＝sin x+cos xとおく

3倍角の公式

暗記53倍角の公式の導出

定理73倍角の公式

問題123倍角の公式の利用

三角関数の和と積の公式

積和の公式

定理8三角関数の積を和に変換する公式

暗記6積和の公式の導出

和積の公式

定理9三角関数の和を積に変換する公式

問題13三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜

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問題11 $＝ t＝sin x+cos x$ とおく