速度と変位

$v-t$ グラフ

ある時刻（$t=0$ とする）から $10$ 秒後（$t=10$ とする）まで、一定の速度 $10~[\text{m}/\text{s}]$（$v=10$ とする）で走っている人がいるとする。右図は、横軸に時間（$t$）、縦軸に速度（$v$）を とり、この関係をグラフ（$v-t$ グラフという）にしたものである。

この人が、ある時刻から $10$ 秒の間に移動する距離は \[（速度）\times（時間）=（距離）\] であったから \[10~[\text{m}/\text{s}]\times10~[\text{s}]=100~[\text{m}]\] と計算できる。

$v-t$ グラフ

この移動する距離 $100~[\text{m}]$ は、右図の網掛け部分で示してあるように、$0\leqq{t}\leqq10$ で

「$v-t$ グラフと横軸ではさまれた部分の面積」

では次に、速度が時間とともに変化していく場合について考えてみよう。

$v-t$ グラフ

たとえば、ある時刻（$t=0$）の速度 $2~[\text{m}/\text{s}]$ から一定の割合で速度を上げ、$10$ 秒後（$t=10$）には速度 $10~[\text{m}/\text{s}]$ となる場合には、時刻 $t$ と速度 $v$ の関係は \[v=0.8t+2\] と表され、この $v-t$ グラフは右図のようになる。しかし、この場合は『速度が一定の場合』ではないので、単純に（速度）$\times$（時間）で移動距離を求めることはできない。

$v-t$ グラフ

では、どのように移動距離を求めればよいのかというと、結論を先にいってしまえば、さきほどと同じように

「$v-t$ グラフと横軸ではさまれた部分の面積」

さて、それではなぜ

「$v-t$ グラフと横軸ではさまれた部分の面積」

$v-t$ グラフ

そのためにまず、一定の割合で速度を上げる運動ではなく、段階的に速度を上げる運動を考えよう。右図は、速度 $3.6~[\text{m}/\text{s}]$ から速度 $10~[\text{m}/\text{s}]$ まで、$2~[\text{s}]$ ごとに $1.6~[\text{m}/\text{s}]$ ずつ、段階的に速度を上げた場合の $v-t$ グラフである。

このような運動ならば、部分的に速度が一定となるので、移動距離は各部分の長方形の面積を足し合わせることにより \begin{align} &\underbrace{2~[\text{s}]\times3.6~[\text{m}/\text{s}]}_{①}+\underbrace{2~[\text{s}]\times5.2~[\text{m}/\text{s}]}_{②}\\ &\qquad+\underbrace{2~[\text{s}]\times6.8~[\text{m}/\text{s}]}_{③}+\underbrace{2~[\text{s}]\times8.4~[\text{m}/\text{s}]}_{④}\\ &\qquad+\underbrace{2~[\text{s}]\times10~[\text{m}/\text{s}]}_{⑤}=68~[\text{m}] \end{align} と計算できる。

しかし、この移動距離は本来求めたい、速度が $v=0.8t+2$ で表される運動の移動距離ではない。なぜなら、速度を切り上げて一定としているので、本来の運動より移動距離が大きくなってしまうからである。

$v-t$ グラフ

そこで、精度を上げるために、より段階を細かくした運動を考えよう。右図は、速度 $2.8[\text{m}/\text{s}]$ から速度 $10[\text{m}/\text{s}]$ まで、$1[\text{s}]$ ごとに $0.8[\text{m}/\text{s}]$ ずつ、段階的に速度を上げた場合の $v-t$ グラフである。

さきほどと同じように、移動距離は各部分の長方形の面積を足し合わせることにより \begin{align} &\underbrace{1\times2.8}_{①}+\underbrace{1\times3.6}_{②}+\underbrace{1\times4.4}_{③}+\underbrace{1\times5.2}_{④}\\ &\qquad+\underbrace{1\times6}_{⑤}+\underbrace{1\times6.8}_{⑥}+\underbrace{1\times7.6}_{⑦}+\underbrace{1\times8.4}_{⑧}\\ &\qquad+\underbrace{1\times9.2}_{⑨}+\underbrace{1\times10}_{⑩}=-64[\text{m}] \end{align} とわかる。

この値も本来求めたい移動距離とは異なるのだが、段階を細かくすることにより、より本来の運動に近づいたと考えられる（下図も参照）。

$v-t$ グラフの変化

このように、段階を細かくすることによってより正しい値に近づくのであれば、もっと上手工夫して計算したい。それを次に考えてみよう。

$v=0.8t+2$ から、速度は $1[\text{s}]$ ごとに $0.8[\text{m}/\text{s}]$ ずつ増加するのがわかる。まず、下図のように、時刻 $0[\text{s}]$ から $10[\text{s}]$ までを位置を $n$ 等分する。そして、一区間である $\dfrac{10}{n}[\text{s}]$ ごとに、$0.8\times\dfrac{10}{n}=\dfrac{8}{n}[\text{m}/\text{s}]$ ずつ段階的に速度を上げる $v-t$ グラフを考える。

$v-t$ グラフ

このとき，移動距離は各長方形の面積を足し合わせることにより \begin{align} &\underbrace{\dfrac{10}{n}\times\left(2+\dfrac{8}{n}\right)}_{(1)}+\underbrace{\dfrac{10}{n}\times\left(2+2\cdot\dfrac{8}{n}\right)}_{(2)}\\ &\qquad+\underbrace{\dfrac{10}{n}\times\left(2+3\cdot\dfrac{8}{n}\right)}_{(3)}+\cdots\\ &\qquad\cdots+\underbrace{\dfrac{10}{n}\times\left(2+k\cdot\dfrac{8}{n}\right)}_{(k)}\\ &\qquad+\cdots+\underbrace{\dfrac{10}{n}\times\left(2+n\cdot\dfrac{8}{n}\right)}_{(n)} \end{align} これを $\sum$ 記号で表すと、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{\dfrac{10}{n}\times\left(2+k\cdot\dfrac{8}{n}\right)\right\}$ となる。以下、これを計算すると \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}\left\{\dfrac{10}{n}\times\left(2+k\cdot\dfrac{8}{n}\right)\right\}\\ &=\dfrac{10}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(2+k\cdot\dfrac{8}{n}\right)\\ &=\dfrac{10}{n}\sum_{k=1}^{n}2+\dfrac{80}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\\ &=\dfrac{10}{n}\cdot{2n}+\dfrac{80}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}\\ &=20+\dfrac{40(n+1)}{n} \end{align} となる。この式の $n$ に $5$ や $10$ を代入すれば、さきほど求めた $68[\text{m}]$ や $64[\text{m}]$ になる。

さて、段階をどんどん細かくしていくということは、「$n$ 等分」である $n$ の値をどんどん大きくしていくということに他ならない。つまり、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{20+\dfrac{40(n+1)}{n}\right\}$ という極限値が求めるべき値である。これを計算すると \begin{align} &\lim_{n\to\infty}\left\{20+\dfrac{40(n+1)}{n}\right\}\\ =&\lim_{n\to\infty}\left\{20+40\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\right\}=60[\text{m}] \end{align} となる。この値は、『速度が変化する場合の $v-t$ グラフと移動距離』で台形の面積として求めた移動距離と一致していることを確認しよう。