数学I

数と式

いろいろな数

「数とは何か？」この質問に答えるのは難しい。私達は普段から数を使い、（試験以外では）何不自由無く暮らしている。では、昔から人々が「数」をやすやすと利用してきたかというと、そうではない。「数」は有史以来、発見されつづけ、作られつづけたものなのである。この節では、中学までに学んださまざまな「数」を簡単に整理し、「数」を図で表す方法（数直線）を確認する。

式の計算

この章で学ぶことは、大きく分けて2つある。1つは、式をつぎつぎに掛けていって細かい式の和で表すこと（展開）であり、もう1つは、細かい式の和を大きな式の積で表すこと（因数分解）である。どちらも一見複雑な式を見通しよく扱うために大切な方法である。

関数と方程式・不等式

関数

2つの変数$x$と$y$が，互いに関係なくばらばらに動くのではなく，$x$の値に応じて$y$の値が決まるとき，$y$は$x$の関数であるという．以下では，関数の考え方を確認し，関数にまつわる基本的な用語について学んでいく．

1次関数とそのグラフ

ここでは、1次関数のグラフの描き方について復習していこう。中学で学習済みの内容ではあるが、2次関数のグラフを書くために必要な視点から、まとめておく。

1次方程式と1次関数

ここでは、1次方程式$ax+b=0$と1次関数$y=ax+b$のグラフとの間の関係について考えていこう。また、3つの文字の連立1次方程式についても学ぶ。

1次不等式と1次関数

ある数とある数が等しいことは等号$=$を使った等式で表すことができる。同様に、ある数がある数より大きいことや小さいことは、不等号$\gt$や$\lt$を使った式で表すことができる。以下では、数の大小関係を不等号で表した式、不等式について見ていこう。

たとえば、2次関数$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+3x-1$について、$y=f(x)$のグラフを描くには、 $x$の値をいろいろとり、$y=\dfrac{1}{2}x^2+3x-1$を満たす$x$、$y$の値を座標上の点$(x,~y)$として$xy$平面に打っていけばよい。しかし、そのような点は無数にあり、現実的な描き方とはいえない。2次関数のグラフには「頂点」という大きな特徴がある。以下では、この頂点をうまくとらえて2次関数のグラフを描く方法について学んでいこう。

2次関数のグラフ

2次関数の定義

$y=ax^2$ のグラフ

$y=ax^2+c$ のグラフ

$y=a(x-p)^2$ のグラフ

$y=a(x-p)^2+q$ のグラフ

$y=ax^2+bx+c$ のグラフ

グラフの移動

2次関数の平行移動

2次関数の対称移動

2次関数の決定

軸や頂点に関する条件が与えられた場合

グラフ上の3点が与えられた場合

2次関数の最大・最小

定義域が限定された2次関数の最大・最小

文字定数を含む2次関数の最大・最小

2次関数の最大・最小の応用

放物線と$x$軸の位置関係-判別式D

2次方程式と2次関数

2次関数$y=ax^2+bx+c$が与えられたとき、このグラフと2次方程式$ax^2+bx+c=0$の間には密接な関係がある。ここではまず2次方程式の解法について復習し、その解が2次関数とどのような関係にあるか考えていく。

2次方程式とは

2次方程式の解法

因数分解を利用した解法

2次方程式の解の公式による解法

$x$の係数が偶数の場合の解の公式

2次方程式の解の個数

2次方程式の解と因数分解

2次方程式と2次関数の関係

2次関数から2次方程式を考える

2次方程式から2次関数を考える

連立方程式と関数

曲線の交点

2次不等式と2次関数

2次式で表された不等式「2次不等式」について学ぶ。1次不等式がそうであったように、2次不等式も2次関数や2次方程式と深い関係がある。2次不等式の場合は、むしろ、2次関数と2次方程式を用いて解くことになる。

2次不等式とは

2次不等式の解法

2次関数をもちいて2次不等式を解く

絶対値を含む関数・方程式

集合の基礎

集合と要素

犬やサルや鳥は、これらをひとまとめにして「動物」と表すことができる。このように、ものを寄せ集め、ひとくくりにしたものを集合という。ここでは、集合という考え方に対する注意や、集合に関する用語について学ぶ。

集合と要素の表し方

集合の表し方

要素の表し方

集合と集合の関係

先程学んだように、集合とはものの集まりであった。2つの集合があるとき、この2つの集合が全く別の集まりを表すこともあれば、要素を共有することもある。ここでは、2つの集合の間の関係について考えてみよう。

部分集合

部分集合について

集合の相等

真部分集合

共通部分と和集合

共通部分

和集合

補集合

共通部分と補集合

集合の直積

直積とは何か

写像

自動販売機にお金を入れボタンを押すと、商品がでてくる。自動販売機は内部の仕組みはわからなくても、「お金を入れボタンを押す」ことと「飲み物がでてくる」ことは何らかの規則で対応しているのはわかる。このように、途中の仕組みを無視して、何かと何かの対応のみに着目することが便利な場合もある。数学ではこの対応のことを写像と呼ぶ。

写像について

写像とは何か

いろいろな写像

1対1の写像（単射）

上への写像（全射）

上への1対1の写像（全単射）

集合の要素の個数

集合の表し方より、有限集合の要素の個数は数えることができる。ここでは、集合の要素の個数の表し方や、集合の要素の個数についてに成り立つ関係式を見ていこう。

集合の要素の個数の表し方

直積の要素の個数

和集合の要素の個数（包含と排除の原理）

補集合の要素の個数

“着目しないもの”に着目する

補集合の要素の個数について

論理と集合

命題

ものごとの価値を決める尺度には、楽しさ、美しさ、善さなど、いろいろなものがある。数学では、正しさに最大の関心を払う。絶対に正しいといい切れるものを、証明という手段で徐々に積み上げて、数学は構築されている。ここでは、正しさを扱うための基本単位となる命題めいだいについて学んでいこう。

命題と真・偽

“正しい”ということ“正しくない”ということ

命題と真・偽について

命題の結合

一見複雑な命題も、よくみると小さな命題が組み合わさってできている。正しさに着目する限り、その組み合せ方は「かつ」、「または」、「～ない」、「ならば」の4通りを考えれば十分である。以下では、その組み合わさり方のパターンをみていく。

命題の「かつ」と「または」

命題の「かつ」

命題の「または」

命題の否定

命題の否定について

命題の「ならば」

命題の「ならば」について

同値とは何か

逆・裏・対偶

条件と真理集合

「$1$ は $2$ より小さい」(真)のような、単発の命題ではなく、「$x$ は$2$ より小さい」のように、$x$ の値が決まって初めて真か偽かが決まる、いわば“穴の空いた命題”をここでは考える。

条件と真理集合について

条件とは何か

真理集合とは何か

条件の結合

前のセクションでは、ある条件 $p(x)$ を真とする $x$ の集まり、真理集合を学んだ。命題が組み合わされて命題が作れたように、条件の場合にも条件の組み合わせによって、新たに条件を作ることができる。この新たに作られた条件の真理集合は、集合の基礎で学んだ集合と対応させて理解することができる。

条件の「かつ」と「または」

「かつ」の真理集合

「または」の真理集合

条件の否定

否定の真理集合

条件の「ならば」

「ならば」の真理集合

必要条件と十分条件

いろいろな証明法

今までみてきた論理をもとに、ここでは有名な論法である「対偶法」と「背理法」についてみていこう。

対偶法

対偶法とは何か

背理法

背理法とは何か

「$p{\Rightarrow}q$」の形をした背理法

三角比

鋭角の三角比

この節ではまず、直角三角形について考え、$90^\circ$より小さな角(鋭角)について三角比の基礎を学ぶ。どのような多角形も、対角線を引くことによっていくつかの三角形に分割できる。逆にいえば、適当な三角形を組み合せていくことにより、任意の多角形を作ることができる。そのため、三角形は多角形の中でも最も基本的な図形であるといえる。ここではまず、三角形の分析のための基礎となる、直角三角形について考えてみる。