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複2次式の因数分解について

複2次式の因数分解について

簡単のため、複2次式 ax4+bx2+ca(x4+bax2+ca) と変形し、ba=Aca=B とおいた x4+Ax2+B という複2次式の因数分解について考える

  1. x2=X とおく方法で因数分解できる条件 x4+Ax2+B=X2+AX+B=(X+A2)2A24+B=(X+A2)2A24B4 より、A24B ならば {\bigcirc}^2-{\triangle}^2 タイプの因数分解が可能となる。
  2. x^4B に着目する方法で因数分解できる条件 \begin{align} &x^4+Ax^2+B\\ =&x^4+B+Ax^2 \end{align} ここで、B\gt0 ならば \begin{align} =&\left(x^2+\sqrt{B}\right)^2-2\sqrt{B}x^2+Ax^2\\ =&\left(x^2+\sqrt{B}\right)^2-\left(2\sqrt{B}-A\right)x^2 \end{align} また、2\sqrt{B}-A\gt0 となるのは \begin{align} &2\sqrt{B}{\gt}A\\ \Leftrightarrow&(A\lt0)または(A\geqq0かつ4B{\gt}A^2)\\ \Leftrightarrow&(A\lt0かつ(A^2-4B\geqq0\\ &\qquadまたはA^2-4B\lt0))\\ &\qquadまたは(A\geqq0かつA^2-4B\lt0) \end{align} のときであるから、条件を整理すると \begin{align} &(B\gt0かつA\lt0かつ(A^2-4B\geqq0\\ &\qquadまたはA^2-4B\lt0)) \end{align} または (B\gt0かつA\geqq0かつA^2-4B\lt0) のときである。
以上 i、ii を因数分解の手法として覚えやすくまとめると

A^2-4B\geqq0 のときは、x^2=X とおくことにより因数分解でき、A^2-4B\lt0 のときは x^4B に着目して変形することにより因数分解できる。特に、A^2-4B\geqq0 かつ A\lt0 かつ B\geqq0 のときには、どちらの方法でも因数分解できる。

となる。