数学II

式と証明

等式の証明

式$2x+y$と$x+y+x$は形は違えども、$x$や$y$がどのような値をとっても式の値は等しくなる。このように式の形が異なっていても、その値は同じになるとうことを示すには、証明というステップを踏む必要がある。以下では、ある式とある式が等しいことを示す、『等式の証明』に関して考えていこう。

不等式の証明

前の章では等式の証明について考えてきたが、この章では不等式の証明について考えていく。

複素数

いままでは数といえば実数を扱ってきたが、ここではより広い数概念である、複素数を学ぶ。複素数を利用することにより、今まで表せなかったものが数式で表せるようになる。たとえば、大学の物理学の範囲ではあるが、物体の回転や振動といった運動を記述する際に活躍する。以下では、複素数の基本について学んでいこう。

多項式の除法

FTEXT数学Iでは、多項式の加法、減法、乗法について学んだ。ここでは、多項式の除法について学ぶ。多項式の除法は、普通の整数の除法(割り算)に相当するものであるが、似て非なるものなので注意して見ていこう。

高次方程式

前セクションでは、因数定理(factor theorem)を利用した因数分解を学んだ。これを利用すれば、3次以上の次数をもつ方程式(高次方程式)を解くこともできる。以下ではその方法を詳しく見ていこう。

図形と方程式

数直線と座標平面上の点

この章では座標をもちいて直線や円の性質について学んでいく。まずは準備として、数直線や座標平面上の点について考えていく。

軌跡と領域

この節では、ある条件を満たす点の集まりを、方程式や不等式で表す方法について学ぶ。

三角関数

一般角と弧度法

FTEXT数学Iで学んだ三角比によって、さまざまな図形の辺の長さや角を計算で求めることができるようになった。この章では三角比を拡張した三角関数について学んでいこう。三角関数の応用範囲は広く、たとえばモーターの回転、ばねの伸縮、波の伝播などを数式で記述することができるようになる。まずは準備として、角度について新しい単位を導入していく。

三角関数について

FTEXT数学Iの三角比で使う角度$\theta$は$0\leqq\theta\lt2\pi$だったが、ここからは、扱う角を任意の実数にまで拡張した三角関数についてみていくことにする。

三角関数のグラフ

三角関数はグラフに描くとサインカーブという独特の曲線を描く。ここでは、そのグラフについて調べていこう。

$y={\cos}x$、$y={\tan}x$のグラフとその周辺のグラフ

$y=A\cos(bx+a)$、$y=A\tan(bx+a)$ のグラフ

三角関数の加法定理とその応用

ここでは、三角関数の加法定理を学ぶ。また、加法定理から導かれる重要な等式、倍角・半角の公式、三角関数の合成について学ぶ。

指数と指数関数

累乗と累乗根

同じ数$x$を何回か掛けて$a$という値になるとき、$x$を「$a$の累乗根」という。ここでは、累乗根に関する計算法則を学ぶ。

指数の拡張

今まで学んできた指数は自然数乗しか考えてこなかったが、ここでは指数法則をたよりに、実数乗の指数へ拡張していく。指数を拡張していく際に、累乗根が指数で表現されていく様子に注意しよう。

指数関数

$y=ax$の$a$を$a\gt1$かつ$a\neq1$の条件で考えることにより、性質の整った扱いやすい関数になる。ここではこの関数(指数関数)の法則について理解していく。

対数と対数関数

対数の定義

第4章の指数と指数関数では、「2を2乗したり3乗したりするといくつになるのか」ということを考えてきた。この章では、逆に「2は何乗すると4や8になるのか」という視点から話をすすめていく。その中で「2は何乗すると5になるのか」の何乗のように、普通の分数のような形ではあらわせない数を表す方法である"対数"を以下で学んでいく。

対数の計算法則

対数の計算に関して、大変興味深いいくつかの計算方法が成り立つ。ここでは、その計算方法について見ていこう。

対数関数

これまでは対数の計算を中心に見てきたが、ここでは対数関数としての振る舞いについて学ぶ。後半では対数を含む方程式や不等式の解き方についてみていく。

常用対数

対数の発見は、実用計算法として極めて重要な功績である。対数を用いれば、かけ算をたし算で、わり算をひき算で求められる。まだ現代のように計算機が発達していなかった時代、天文学者や物理学者などは、時間のかかる単調な計算に苦労していたが、この対数の出現によってその苦労は大幅に軽減された。以下では、対数の中でも、私たちが普段にもちいている記数法である十進法と特に相性のよい、「常用対数」について学んでいく。

微分法

平均の速度と瞬間の速度

速さとは、ある時間にどれくらい移動できたかの割合のことであるが、その時間間隔を小さく取ることによって、自動車のスピードメーターが表すような、刻一刻と変化する速度というものを考えることができる。

極限

この節では、瞬間の速度で学んだ考え方を、関数を利用することにより、より一般的に見ていくことにしよう。

微分係数と導関数

ここでは、§6.1で学んだ瞬間の速度を、より一般的に扱うための方法について考えていこう。

関数のグラフ

導関数は端的に言えば接線の傾きを表すものである。これを応用することにより、関数のグラフの概形を描くことができる。その方法について学んでいこう。

方程式・不等式への応用

前節までに学んだ関数のグラフを活用することにより、方程式の実数解の様子を調べたり、不等式を証明したりできるようになる。ここでは、その方法について考えてみよう。

積分法

速度と変位

一定の速度のまま運動する物体の移動距離は、その物体の速度に時間をかければ求めることができる。では、速度が一定でない物体の移動距離はどのように求めればよいだろうか。ここではその方法について学んでいこう。

定積分

前の節では、ある区間でのグラフを$n$等分して長方形を作り足し合わせ、その極限として全体の面積を考える操作を考えた。この操作は区分求積と呼ばれる。ここでは一般の関数での区分求積を考えていこう。

微積分学の基本定理

前の章で学んだ微分法と、この章で学んでいる積分法には、実は密接な関係がある。この関係を利用すると、定積分の計算がおどろくほど楽に実行できるようになる。ここでは、その関係について学んでいこう。

これまでに見てきたように、定積分$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$を計算するには、定積分の基本公式によれば、まず関数$f(x)$の原始関数$F(x)$を求め、次に$\left[f(x)\right]_{a}^{b}$、すなわち$F(b)−F(a)$を計算すればよかった。しかし、積分区間の端点$a$や$b$の値が分数やルートを含み汚かったり、原始関数$F(x)$の式の形が複雑な場合には、その計算も楽ではない。ここでは、定積分の計算を楽に行うための知識を学んでいく。

対称な区間での定積分

偶関数と奇関数

偶関数と奇関数のグラフの特徴

対称な区間での定積分について

方程式の解を区間の端点とする積分

方程式の解を区間の端点とする積分について

積分の応用

積分法の仕上げとして、積分による面積の応用的な計算と、積分を含む関数の方程式について学んでいこう。