数学II

等式の証明

式$2x+y$と$x+y+x$は形は違えども、$x$や$y$がどのような値をとっても式の値は等しくなる。このように式の形が異なっていても、その値は同じになるとうことを示すには、証明というステップを踏む必要がある。以下では、ある式とある式が等しいことを示す、『等式の証明』に関して考えていこう。

恒等式

多項式とはなんであったか
多項式の相等
恒等式とは何か
多項式が恒等的に0になる条件
2つ以上の変数に関する恒等式

等式の証明について

等式の証明を考える
条件つきの等式の証明
比例式を条件にもつ等式の証明

対称式

対称式の定義
対称式の基本定理

不等式の証明

前の章では等式の証明について考えてきたが、この章では不等式の証明について考えていく。

不等式の証明の基本

数学Ⅱにおける不等式の性質
不等式の証明の基本について
平方による比較

実数の平方

実数の平方について

相加平均と相乗平均

相加平均とは何か
数学での平均の考え方
相乗平均とは何か
相加平均と相乗平均の関係

コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式とは何か

三角不等式

三角不等式とは何か

複素数

いままでは数といえば実数を扱ってきたが、ここではより広い数概念である、複素数を学ぶ。複素数を利用することにより、今まで表せなかったものが数式で表せるようになる。たとえば、大学の物理学の範囲ではあるが、物体の回転や振動といった運動を記述する際に活躍する。以下では、複素数の基本について学んでいこう。

複素数とその演算

複素数の導入
複素数の定義
複素数の相等
複素数の加法と減法
複素数の乗法
複素数の除法
$\oplus$と$+$を同一視する
複素数の性質
負の数の平方根

2次方程式の解の公式の拡張

2次方程式の解の公式の拡張について
2次方程式の判別式

多項式の除法

FTEXT数学Iでは、多項式の加法、減法、乗法について学んだ。ここでは、多項式の除法について学ぶ。多項式の除法は、普通の整数の除法(割り算)に相当するものであるが、似て非なるものなので注意して見ていこう。

多項式の除法の基本定理

整数の割り算(多項式の除法)
多項式の次数の表し方
多項式の除法について

多項式の除法の計算方法

多項式の除法の計算方法
多項式の除法の一意性

1次の多項式の除法の計算方法

1次の多項式の除法の計算方法
組立除法
$x-a$で展開するということ

剰余の定理と因数定理

剰余の定理
因数定理

多項式の約数と倍数

多項式の約数と倍数について
公約数・公倍数

分数式の計算

分数式とは何か
分数式の乗法と除法
分数式の加法と減法

高次方程式

前セクションでは、因数定理(factor theorem)を利用した因数分解を学んだ。これを利用すれば、3次以上の次数をもつ方程式(高次方程式)を解くこともできる。以下ではその方法を詳しく見ていこう。

因数定理と高次方程式

高次方程式とは何か
簡単な高次方程式
因数定理を利用した高次方程式の解法

高次不等式

高次不等式とは何か
簡単な高次不等式
因数定理を利用した高次不等式の解法

解と係数の関係

2次方程式の解と係数の関係
3次方程式の解と係数の関係

実数が係数である方程式の共役解

2次方程式の場合
3次方程式の場合

数直線と座標平面上の点

この章では座標をもちいて直線や円の性質について学んでいく。まずは準備として、数直線や座標平面上の点について考えていく。

数直線上の点

数直線上の2点間の距離
内分・外分とは何か
数直線上の内分点の座標
数直線上の外分点の座標

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離
座標平面上の内分点の座標
座標平面上の外分点の座標
三角形の重心

直線の方程式

この節では、平面上の直線が、座標平面上ではどう表現されるか考えていく。

直線の方程式について

通る1点と傾きが与えられた直線の方程式
通る2点が与えられた直線の方程式
直線の方程式の標準形
直線の集まりとして式をみる方法

直線の平行と垂直

直線の平行と垂直について

直線に対して対称な点

直線に対して対称な点について

点と直線の距離

点と直線の距離について

円の方程式

この節では、平面上の円が、座標平面上ではどう表現されるか考えていく。

円の方程式について

円の方程式~平方完成形~
円の方程式~標準形~

円の方程式の決定

中心や半径の条件が与えられた円の方程式
与えられた3点を通る円の方程式

円と直線の関係

円と直線の交点
座標平面上の円を図形的に考える

円の接線

円周上の点から引いた接線の方程式
円周外の点から引いた接線の方程式

2円の関係

2円の位置関係(円の方程式)
2円の共通接線
2円の交点を通る円

軌跡と領域

この節では、ある条件を満たす点の集まりを、方程式や不等式で表す方法について学ぶ。

多変数関数と図形の方程式

多変数関数とは何か
2変数関数と図形の方程式

軌跡

軌跡とは何か
条件に動点を含む場合の軌跡

領域

領域とは何か
領域を利用した証明

多変数関数の最大最小

条件を逆にたどる方法
1変数に帰着させる方法

一般角と弧度法

FTEXT数学Iで学んだ三角比によって、さまざまな図形の辺の長さや角を計算で求めることができるようになった。この章では三角比を拡張した三角関数について学んでいこう。三角関数の応用範囲は広く、たとえばモーターの回転、ばねの伸縮、波の伝播などを数式で記述することができるようになる。まずは準備として、角度について新しい単位を導入していく。

一般角

動径
角度の拡張
動径の表す角

弧度法

度数法の問題点
弧度法の定義
扇形の弧の長さと面積

三角関数について

FTEXT数学Iの三角比で使う角度$\theta$は$0\leqq\theta\lt2\pi$だったが、ここからは、扱う角を任意の実数にまで拡張した三角関数についてみていくことにする。

三角関数の定義

三角関数の定義について
三角関数の定義域と値域
三角関数の符号と動径の象限

三角関数の相互関係

三角関数の相互関係について

三角関数の性質

$\theta+2n\pi$の三角関数
$-\theta$の三角関数
$\theta+\pi$の三角関数
$\theta+\dfrac{\pi}{2}$の三角関数

三角関数のグラフ

三角関数はグラフに描くとサインカーブという独特の曲線を描く。ここでは、そのグラフについて調べていこう。

$y={\sin}x$のグラフとその周辺のグラフ

三角関数の表しかた
$y={\sin}x$ のグラフ
周期関数の定義
$y=A{\sin}x$ のグラフとその性質
$y=\sin(x-\alpha)$ のグラフ
$y={\sin}bx$ のグラフ
$y=A\sin(bx-\alpha)$ のグラフ
三角関数のグラフを書く手順

$y={\cos}x$、$y={\tan}x$のグラフとその周辺のグラフ

$y={\cos}x$ のグラフ
$y={\tan}x$ のグラフ
$y=A\cos(bx+a)$、$y=A\tan(bx+a)$ のグラフ

三角関数の加法定理とその応用

ここでは、三角関数の加法定理を学ぶ。また、加法定理から導かれる重要な等式、倍角・半角の公式、三角関数の合成について学ぶ。

三角関数の加法定理

正弦と余弦の加法定理
正接の加法定理
2直線のなす角

2倍角・半角の公式

2倍角の公式
半角の公式

三角関数の合成

三角関数の合成について

三角関数を含む関数・方程式・不等式

三角関数を含む関数・方程式・不等式について
3倍角の公式

三角関数の和と積の公式

積和の公式
和積の公式

累乗と累乗根

同じ数$x$を何回か掛けて$a$という値になるとき、$x$を「$a$の累乗根」という。ここでは、累乗根に関する計算法則を学ぶ。

累乗と指数法則

累乗と指数法則について

累乗根

累乗根とは何か

指数の拡張

今まで学んできた指数は自然数乗しか考えてこなかったが、ここでは指数法則をたよりに、実数乗の指数へ拡張していく。指数を拡張していく際に、累乗根が指数で表現されていく様子に注意しよう。

指数の整数への拡張

$3^{-2}$の意味
$3^0$の意味
指数の整数への拡張について

指数の有理数への拡張

$3^{\frac{1}{2}}$の意味
$3^{\frac{2}{3}}$の意味
指数の有理数への拡張について

指数の実数への拡張

指数の実数への拡張について

指数関数

$y=ax$の$a$を$a\gt1$かつ$a\neq1$の条件で考えることにより、性質の整った扱いやすい関数になる。ここではこの関数(指数関数)の法則について理解していく。

$y=2^x$のグラフ

指数が自然数の場合
指数が整数の場合
指数が有理数の場合

指数関数の性質

単調増加関数と単調減少関数
指数関数の定義
指数関数の性質について

対数の定義

第4章の指数と指数関数では、「2を2乗したり3乗したりするといくつになるのか」ということを考えてきた。この章では、逆に「2は何乗すると4や8になるのか」という視点から話をすすめていく。その中で「2は何乗すると5になるのか」の何乗のように、普通の分数のような形ではあらわせない数を表す方法である"対数"を以下で学んでいく。

対数の導入

$2^x=8$や$2^x=\dfrac{1}{2}$となる$x$を求める
$2^x=5$となる$x$を求める
対数の定義について

対数の計算法則

対数の計算に関して、大変興味深いいくつかの計算方法が成り立つ。ここでは、その計算方法について見ていこう。

和と差に関する対数の性質

和と差に関する対数の性質について

実数倍に関する対数の性質

実数倍に関する対数の性質について

底の変換公式

底の変換公式について

対数と指数の関係

対数と指数の関係について

対数関数

これまでは対数の計算を中心に見てきたが、ここでは対数関数としての振る舞いについて学ぶ。後半では対数を含む方程式や不等式の解き方についてみていく。

対数関数のグラフ

点$(a,~b)$と点$(b,~a)$の関係
対数関数とは何か

対数関数の性質

対数関数の性質について

常用対数

対数の発見は、実用計算法として極めて重要な功績である。対数を用いれば、かけ算をたし算で、わり算をひき算で求められる。まだ現代のように計算機が発達していなかった時代、天文学者や物理学者などは、時間のかかる単調な計算に苦労していたが、この対数の出現によってその苦労は大幅に軽減された。以下では、対数の中でも、私たちが普段にもちいている記数法である十進法と特に相性のよい、「常用対数」について学んでいく。

指数の利用

指数で数を表すことの利点

常用対数の利用

常用対数の定義
桁数と最高位の数の評価

平均の速度と瞬間の速度

速さとは、ある時間にどれくらい移動できたかの割合のことであるが、その時間間隔を小さく取ることによって、自動車のスピードメーターが表すような、刻一刻と変化する速度というものを考えることができる。

平均の速度

速度の考え方
平均の速度について

瞬間の速度

刻一刻と変化する速度
瞬間の速度について
極限値の表し方

極限

この節では、瞬間の速度で学んだ考え方を、関数を利用することにより、より一般的に見ていくことにしよう。

極限の定義

極限の定義について
極限の考え方の基本~例1~
極限の考え方の基本~例2~

極限の計算法則

極限の計算法則について

微分係数と導関数

ここでは、§6.1で学んだ瞬間の速度を、より一般的に扱うための方法について考えていこう。

平均変化率

平均変化率について

微分係数と接線

微分係数の定義
微分係数の定義の別法

導関数

導関数とは何か
導関数の表し方
$x^n$の導関数

微分の計算法則

微分の計算法則について
接線・法線の方程式

関数のグラフ

導関数は端的に言えば接線の傾きを表すものである。これを応用することにより、関数のグラフの概形を描くことができる。その方法について学んでいこう。

関数の増減と極大・極小

区間とは何か
関数の増減
導関数の符号と関数の増加・減少の関係
増減の例
極大・極小とは何か

増減表を用いたグラフの描き方

増減表の書き方
関数の最大・最小

3次関数のグラフ

3次関数のグラフの種類
3次関数のグラフの特徴
3次関数のグラフと3次不等式

方程式・不等式への応用

前節までに学んだ関数のグラフを活用することにより、方程式の実数解の様子を調べたり、不等式を証明したりできるようになる。ここでは、その方法について考えてみよう。

方程式の解の個数

方程式の解の個数とグラフの関係

微分法を用いた不等式の証明

不等式の証明について

接線とグラフ

最後に微分法の応用として、曲線と接線にまつわるいくつかの論点についてまとめる。

2つの曲線の接点

2つの曲線が接するということ
曲線が接するときに成り立つ定理

速度と変位

一定の速度のまま運動する物体の移動距離は、その物体の速度に時間をかければ求めることができる。では、速度が一定でない物体の移動距離はどのように求めればよいだろうか。ここではその方法について学んでいこう。

速度が一定の場合

$v-t$グラフの囲む面積は移動距離を表す

速度が変化する場合

速度が変化する場合の$v-t$グラフと移動距離
5分割する場合
10分割する場合
$n$分割する場合の極限

定積分

前の節では、ある区間でのグラフを$n$等分して長方形を作り足し合わせ、その極限として全体の面積を考える操作を考えた。この操作は区分求積と呼ばれる。ここでは一般の関数での区分求積を考えていこう。

定積分の定義

定積分の定義について
定積分の表記に関する注意

定積分の性質

定積分の性質について

定積分と面積の関係

定積分と面積の関係について

微積分学の基本定理

前の章で学んだ微分法と、この章で学んでいる積分法には、実は密接な関係がある。この関係を利用すると、定積分の計算がおどろくほど楽に実行できるようになる。ここでは、その関係について学んでいこう。

微積分学の基本定理について

微積分学の基本定理とは

定積分の基本公式

原始関数とは何か
定積分の基本公式について

工夫のできる積分計算

これまでに見てきたように、定積分$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$を計算するには、定積分の基本公式によれば、まず関数$f(x)$の原始関数$F(x)$を求め、次に$\left[f(x)\right]_{a}^{b}$、すなわち$F(b)−F(a)$を計算すればよかった。しかし、積分区間の端点$a$や$b$の値が分数やルートを含み汚かったり、原始関数$F(x)$の式の形が複雑な場合には、その計算も楽ではない。ここでは、定積分の計算を楽に行うための知識を学んでいく。

対称な区間での定積分

偶関数と奇関数
偶関数と奇関数のグラフの特徴
対称な区間での定積分について

方程式の解を区間の端点とする積分

方程式の解を区間の端点とする積分について

積分の応用

積分法の仕上げとして、積分による面積の応用的な計算と、積分を含む関数の方程式について学んでいこう。

絶対値を含んだ関数の積分

絶対値を含んだ関数の定積分について

曲線の囲む面積

2曲線の囲む面積
カバリエリの原理

基本的な積分方程式

積分方程式とは何か
積分区間が定数の場合
積分区間に変数を含む場合