数学II 第2章図形と方程式 — 円の方程式

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この節の前提数学I2次関数とそのグラフ／数学A平面図形／数直線と座標平面上の点

この節では、平面上の円が、座標平面上ではどう表現されるか考えていく。

円の方程式について

円の方程式～平方完成形～

円は、中心と半径を決めればただ1つに定まる。

そこで、座標平面上の点 $A(a, b)$ を中心とした半径 $r$ の円 $C$ は、どのような方程式で表されるか考えてみよう。

円 $C$ の周上にある点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、 2点 $A, P$ 距離は常に $r$ である。座標平面上の2点間の距離で学んだように、 $AP=\sqrt((x-a)² +(y-b)²)$ であるから

$が円の周上にある Pが円Cの周上にある \Leftrightarrow AP=r \Leftrightarrow \sqrt((x-a)² +(y-b)²)=r$ $①$

等式 $①$ の両辺は共に正であるので両辺を2乗して、等式

$(x-a)² +(y-b)²=r²$

を得る。

点A(a, b)を中心とする円があり、円周上に点P(x, y)が描かれている。中心Aと点Pは破線で結ばれており、その間の距離がrと示されている。

定理1円の方程式〜平方完成形〜

点 $(a, b)$ を中心とし、半径が $r (>0)$ である円の方程式は

$(x-a)² +(y-b)²=r²$

である。

問題1円の方程式

座標平面上に次のような円があるとき、その方程式をそれぞれ求めよ。

中心 $(3, 2)$ 、半径 $3$
中心 $(-3, 1)$ 、半径 $2$
中心 $(0, - 2)$ 、半径 $\sqrt3$

解答を見る

$(x-3)² + (y-2)² =9$
$(x+3)² + (y-1)² =4$
$x² + (y+2)² =3$

円の方程式～標準形～

中心 $(2, - 1)$ 、半径 $3$ の円の方程式は $(x - 2)² + (y + 1)² = 9$ となるが、この式は

$(x-2)² + (y+1)²=9 \Leftrightarrow x² -4x +4 +y² +2y+1 =9 \Leftrightarrow x² +y² -4x +2y -4=0$

と変形することができる。逆に、方程式 $x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0$ は

$x² +y² -4x +2y -4=0 \Leftrightarrow (x² -4x +4)+(y² +2y +1)-4= 4+1 \Leftrightarrow (x-2)² +(y+1)² = 9$

と変形し、中心 $(2, - 1)$ 、半径 $3$ の円の方程式に一致することがわかる。

一般に方程式 $x² + y² + lx + my + n = 0$ は

$について平方完成について平方完成 x² + y² +lx +my +n=0 \Leftrightarrow (x+l/2)² +(y+m/2)² xについて平方完成 yについて平方完成 =l²/4 + m²/4-n$

と変形できるので、 $l²/4 + m²/4-n>0$ であれば、円の方程式を表していることになる。

定理2円の方程式〜標準形〜

$x, y$ についての方程式

$x² + y² +lx +my +n=0$

は、 $l²/4 + m²/4-n>0$ のときに円を表す方程式である。

問題2円の方程式〜平方完成形と標準形〜

次の方程式のうち、円の方程式を表すものについては中心と半径を求めよ。

$x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0$
$x² + y² - 6y + 1 = 0$
$x² + y² - 3x + 5 = 0$
$x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0$

解答を見る

与式の左辺を平方完成すると

$(x-1)²+(y+2)²=4$

となるので、

中心は

$(1,-2)$ ,

半径は

$2$ .
与式の左辺を平方完成すると

$x²+(y-3)²=8$

となるので、

中心は

$(0, 3)$ ,

半径は

$2\sqrt2$ .
与式の左辺を平方完成すると

$(x-32)²+y²=-11/4$

となるので、この方程式は円を表さない。
与式の左辺を平方完成すれば

$(x+2)²+(y+2)²=0$

となるので、この方程式は円を表さない。

←この方程式を満たす必要十分条件は、 $x + 2 = 0,y + 2 = 0$ であるので、 $(x, y)=(-2,-2)$ のみが方程式を満たす。つまり、方程式 $x² + 4x + y² + 4y + 8 = 0$ のグラフは、「点 $( - 2, - 2)$ 」となる。

円の方程式の決定

中心や半径の条件が与えられた円の方程式

問題3円の方程式の決定〜その1〜

半径が $3$ であり、 $x$ 軸、 $y$ 軸の両方に接する円はいくつあるか。また、それぞれの方程式を求めよ。
中心が直線 $x = 2$ 上にあり、 $A(3, 2),B(0, 3)$ を通る円の方程式を求めよ。
中心が直線 $y = x$ 上にあり、 $P(1, 3),Q(-2, 1)$ を通る円の方程式を求めよ。

解答を見る

図のように考えれば、円が

4つ

あることが分かる。

中心は $(\pm 3, \pm3)$ であるので

$(x+3)² +(y+3)²=9, (x+3)² +(y-3)²=9, (x-3)² +(y+3)²=9, (x-3)² +(y-3)²=9$

が求める方程式になる。
与えられた円の方程式は $(x - 2)² + (y - b)² = r²$ とおくことができる。

$A$ を通ることから~~ $(3-2)²+(2-b)² =r²$

$B$ を通ることから~~ $(0-2)²+(3-b)² =r²$

である。これらを整頓して、連立方程式

$b² -4b+5=r² b²-6b+13=r²$

を得る。上の式を $①$ 、下の式を $②$ すると、 $－ ①－②$ から $2b - 8 = 0$ なので $b=4$ 。

← $①$ の $r²$ に $②$ を代入すると考えてもよい。

$②$ に代入すれば $r² = 5$ であるので、求める円の方程式は $(x-2)² +(y-4)²=5$ となる。
与えられた円の方程式は $(x - a)² + (y - a)² = r²$ とおくことができる。

←中心は直線 $y = x$ 上にあるので、中心の $x$ 座標を $a$ とおくと $y$ 座標も $a$ になる。

$P$ を通ることから~~ $(1-a)² + (3-a)² =r²$

$Q$ を通ることから~~ $(-2-a)² +(1-a)² =r²$

である。これらを整頓して、連立方程式

$2a² -8a+10=r² 2a²+2a+5=r²$

を得る。上の式を $③$ 、下の式を $④$ とすると、 $－ ③－④$ から $- 10a + 5 = 0$ なので $a=1/2$ 。

← $③$ の $r²$ に $④$ を代入すると考えてもよい。

$④$ に代入すれば $r²=13/2$ であるので、求める円の方程式は $(x-1/2)² +(y-1/2)²=13/2$ となる。

座標平面上に、x軸とy軸の両方に接する等しい大きさの4つの円が、各象限に1つずつ配置されている。接点はx軸およびy軸上の3と-3の位置にあり、4つの中心を結ぶ点線が描かれている。

与えられた3点を通る円の方程式

どんな三角形も、外接円はただ1つに定まった。これは、(同一直線上にない)3点を通る円周がただ1つに定まることを意味する。

円の内部に、3つの頂点がすべてその円周上にある1つの三角形が描かれている。頂点の記号や座標軸、円の中心などの書き込みはない。

問題4円の方程式〜その2〜

$A(3, 0),B(0,-2),C(-2, 1)$ の3点を通る円の方程式を求めよ。
$A(3, 1),B(4,-4),C(-1,-5)$ とする。 $△ABC$ の外接円の中心と半径を求めよ。

解答を見る

求める円の方程式を $x² + y² + lx + my + n = 0$ とおく。

$A$ を通ることから

$3² + 0² + l ・ 3+ m・ 0 +n=0$

$B$ を通ることから

$0² + (-2)² + l・ 0 + m・ (-2) +n=0$

$C$ を通ることから

$(-2)² + 1² + l・ (-2) + m・ 1 +n=0$

である。これらを整頓して、連立方程式を得る。

$3l +n=-9 -2m+n=-4 -2l+m+n=-5$

上の式から順に $①$ , $②$ , $③$ とする

← $②+2\times③$ より

$-2m+n=-4 +)-4l+2m+2n=-10 -4l+3n=-14$

$②'$

$3\times①-②'$ より $13l = -13$ となって $l = - 1$ 。 $②,①$ から $m, n$ を求めればよい

これを解いて $(l, m, n)=(-1,-1,-6)$ 。よって、求める方程式は $x² +y²-x -y-6=0$ である。
$△ABC$ の外接円は3点 $A, B, C$ を通る円に一致する。その方程式を $x² + y² + lx + my + n = 0$ とおく。

$A$ を通ることから

$3² + 1² + l ・ 3+ m・ 1 +n=0$

$B$ を通ることから

$4² + (-4)² + l・ 4 + m・ (-4) +n=0$

$C$ を通ることから

$(-1)² + (-5)² + l・ (-1) + m・ (-5) +n$ $=0$

である。これらを整頓して、連立方程式を得る。

$3l+m+n=-10 4l-4m+n=-32 -l-5m+n=-26$

上の式から順に $④$ , $⑤$ , $⑥$ とする

← $④-⑤$ より

$3l+m+n=-10 -)4l-4m+n=-32 -l+5m=22$

$④'$

$⑤-⑥$ より

$4l-4m+n=-32 -)-l-5m+n=-26 5l+m=-6$

$⑤'$

\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-44}{\enclose{circle}{4}'}と\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-55}{\enclose{circle}{5}'}を連立して $(l, m)=(-2, 4)$ 。\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-4}{\enclose{circle}{4}}から $n = - 8$ 。

これを解いて $(l, m, n)=(-2, 4,-8)$ 。よって、 $△ABC$ の外接円の方程式は

$x²+y² -2x+4y-8=0$ 。

平方完成型に変形すると $(x - 1)² + (y + 2)² = 13$ となり、

←中心と半径を求めるため平方完成型に変形

$△ABC$ の外接円の中心は $(1, - 2)$ 、半径は $\sqrt13$ である。

【2.の別解（略解）】

←もちろん1.も同じようにして解くことができる。

外接円の中心を $O(x, y)$ とすると、 $OA = OB = OC$ であるので

$\sqrt((x-3)² +(y-1)²) =\sqrt((x-4)² +(y+4)²) \sqrt((x-3)² +(y-1)²) =\sqrt((x+1)² +(y+5)²)$

これを解いて $(x, y)=(1,-2)$ 、外接円の半径は $OA=\sqrt(2² +(-3)²)=\sqrt13$ 。

円と直線の関係

円と直線の交点

円と直線の交点について、グラフの交点の座標と連立方程式の実数解は一致する。

問題5円と直線の共有点の座標

座標平面上に円 $C:x²+y²=5$ があるとき、以下の問いに答えよ。

直線 $l1:x+y=3$ と円 $C$ の共有点があれば、すべて求めよ。
直線 $l2:x+y=4$ と円 $C$ の共有点があれば、すべて求めよ。

解答を見る

直線 $l1$ と円 $C$ の共有点は、連立方程式

$x+y=3 x²+y²=5$

の解に一致する。上の式を $①$ 、下の式を $②$ とするとき、 $①$ より $y = 3 - x$ であるので、これを $②$ に代入すれば

$x²+(3-x)²=5 \Leftrightarrow 2x² -6x+9=5 \Leftrightarrow x² -3x+2=0$

これを解いて $x=1, 2$ 。 $①$ より、求める共有点の座標は $(2, 1), (1, 2)$ 。

← $①$ に代入して $y$ を解く。 $x=1$ のとき $y=2, x=2$ のとき $y=1$ となる。
直線 $l2$ と円 $C$ の共有点は、連立方程式

$x+y=4 x²+y²=5$

の解に一致する。上の式を $③$ 、下の式を $④$ とするとき、 $③$ より $y = 4 - x$ であるので、これを $④$ に代入すれば

$x²+(4-x)²=5 \Leftrightarrow 2x² -8x+11=0$ $⑤$

となる。2次方程式 $⑤$ の判別式を $D$ とすると

$D/4=4² -2・ 11=-6<0$

であるので、 $⑤$ は実数解を持たない。つまり、

$l2$ と $C$ は共有点を持たない。

← $⑤$ は実数解を持たないことは、連立方程式 $③$ 、 $④$ は実数解を持たないことになるため。

座標平面上の円を図形的に考える

図形に置き換えて考えると、円と直線の関係は「直線と円の中心の距離」で決まる。この視点から考えると、次のように考えることができる。

暗記1円と直線の共有点の個数

座標平面上の円 $C:x²+y²=5$ と直線 $l:x+y=k$ が、共有点を持つような実数 $k$ の範囲を求めたい。以下の $［?］$ に入る式・言葉・値を答えよ。

直線 $l$ と円 $C$ の共有点は、連立方程式 $［A］$ の実数解に一致する。つまり、この連立方程式が $［B］$ ような $k$ の範囲を求めればよい。

連立方程式 $［A］$ から $y$ を消去し、 $x$ の2次方程式 $［C］$ を得る。

この2次方程式が実数解を持つことから、不等式 $［D］$ を得る。

これを解いて、求める $k$ の範囲は $［E］$ と分かる。
条件「直線 $l:x+y=k$ が円 $C$ と共有点を持つ」は

条件「直線 $l:x+y=k$ と円 $C$ の中心の距離が、 $［F］$ 以下である」

と必要十分条件である。

直線 $l$ と円 $C$ の中心 $(0, 0)$ の距離は $［G］$ であるので不等式 $［H］$ を得る。これを解いて、求める $k$ の範囲は $［E］$ と分かる。

解答を見る

$［A］:$ $x+y=k x²+y²=5$

$［B］:$ 実数解を持つ

$［C］: x²+(k-x)²=5$ $(\Leftrightarrow 2x² -2kx+k²-5=0)$

← $［A］$ より上の式を変形すると、 $y = k - x$ なので、それを下の式に代入すればよい

$［D］:D/4=k² -2(k²-5)≧ 0$ $(\Leftrightarrow -k²+10≧ 0)$

←実数解を持つ~ $\Leftrightarrow$ ~(判別式) $≧ 0 D=(2k)² -4・ 2・ (k²-5)≧ 0$ でもよい

$［E］:-\sqrt10≦ k ≦ \sqrt10$

$［F］: \sqrt5$ (または円 $C$ の半径)

$［G］:(|-k|)/\sqrt(1²+1²)(=|k|/\sqrt2)$

←直線 $x + y - k = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離を 点と直線の距離で計算

$［H］:|k|/\sqrt2 ≦ \sqrt5 (\Leftrightarrow |k| ≦\sqrt10)$

定理3「円と直線の共有点」について

円 $(x-p)² + (y-q)²=r²$ と直線 $ax+by+c=0$ を考えるとき

円 $(x-p)² + (y-q)²=r²$ と直線 $ax+by+c=0$ の共有点の個数

方程式 $ax+by+c=0$ と $(x-p)² + (y-q)²=r²$ を連立して得られる2次方程式の判別式 $D$

円の中心 $(p, q)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d=(|ap + bq +c|)/\sqrt(a² + b²)$

について、次のようにまとめることができる。

円と直線の共有点の個数		2個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式 $D$		$D > 0$
$(p,q)$ と直線の距離 $d$		$d < r$

円と直線の共有点の個数		1個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式 $D$		$D = 0$
$(p,q)$ と直線の距離 $d$		$d = r$

円と直線の共有点の個数		0個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式 $D$		$D < 0$
$(p,q)$ と直線の距離 $d$		$d > r$

問題6円が切り取る線分の長さ

円 $C:x²+y²=6$ と直線 $l:x+2y=k$ が2点 $A, B$ で交わり、 $AB = 2$ であるとき、 $k$ の値を求めたい。以下の $［?］$ に入る式・言葉・値を答えよ。

図のように、円の中心を $O$ とし、 $O$ から直線 $x+2y=k$ へ下ろした垂線の足を $H$ とおく。このとき、 $OA=［A］, AH=［B］$ であるので、三平方の定理より、 $OH=［C］$ 。

ところで、 $OH$ の長さは、点 $O$ と直線 $［D］$ の距離に一致するので、点と直線の距離より

$OH=［E］$

よって、方程式 $［E］=［C］(=OH)$ を解けば、 $k=［F］$ と求められる。

座標平面上に原点Oを中心とする円と直線x+2y=kがあり、その2つの交点をA、Bとする。原点Oから線分ABに下ろした垂線の足HとOを結ぶ線分OHが点線で描かれている。

解答を見る

$［A］:\sqrt6$

$［B］:(1/2)AB=1$

$［C］:\sqrt((\sqrt6)² -1²)=\sqrt5$

$［D］:$ (直線) $x+2y=k$

$［E］:(|0 +2・ 0 -k|)/\sqrt(1²+2²)=|k|/\sqrt5$

←直線 $x + 2y - k = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離を点と直線の距離で計算

$［F］:|k|/\sqrt5=\sqrt5 \Leftrightarrow |k|=5$ 、つまり、 $k=\pm 5$ 。

円の接線

円周上の点から引いた接線の方程式

簡単のため、円 $C$ の中心が原点 $O(0, 0)$ にあるときを考えよう。図のように考えて、円周上の点 $P$ で $C$ に接する直線は1本しか存在しないことが分かる。

次の例題で確認してみよう。

座標平面上の原点Oを中心とする円と、第1象限の円周上にある点Pが示されている。右側では、その点Pで円に接する1本の直線が描かれている。

問題7円周上の点から引いた接線の方程式〜その1〜

円 $C:x²+y²=25$ の周上の点 $P(3, 4)$ を接点とする接線を $l$ とする。

接線 $l$ が線分 $OP$ と直交することから、 $l$ の傾きを求めよ。
$l$ の方程式を求めよ。

座標平面上に原点Oを中心とする円Cがある。第一象限の円周上にある点P(3, 4)において、円Cに接する直線lが右下がりに描かれている。

解答を見る

線分 $OP$ の傾きは $(4-0)/(3-0)=4/3$ 。

接線 $l$ と線分 $OP$ が直交するので、 $l$ の傾きは $-3/4$

←( $OP$ の傾き) $\times$ ( $l$ の傾き) $= - 1$
$l$ は $P(3, 4)$ を通り傾き $-3/4$ の直線であるので

$y-4=-3/4(x-3) \Leftrightarrow 4y-16=-3x+9 \Leftrightarrow 3x + 4y=25$

一般に、円 $(x - a)² + (y - b)² = r²$ の周上の点 $P(p, q)$ を接点とする接線 $l$ の方程式はどうなるだろうか。 $O(a, b)$ とすると、接線 $l$ は線分 $OP$ と直交し、線分 $OP$ の傾きは $(q-b)/(p-a)$ であるので、

$(q-b)/(p-a)\times$ (直線 $l$ の傾き) $=-1 \Leftrightarrow$ (直線 $l$ の傾き) $=-(p-a)/(q-b)$

となる。よって、 $l$ は $(p, q)$ を通り傾き $-(p-a)/(q-b)$ の直線と分かるので

$y-q=-(p-a)/(q-b)(x-p) \Leftrightarrow (q-b)(y-q) =-(p-a)(x-p) \Leftrightarrow (q-b)(y-b+b-q) =-(p-a)(x-a+a-p) \Leftrightarrow (q-b)(y-b)+(q-b)(b-q) =-(p-a)(x-a)-(p-a)(a-p) \Leftrightarrow (p-a)(x-a)+(q-b)(y-b) =(p-a)²+(q-b)²$

となる。ここで、 $P$ は円 $C$ の周上にあるので、 $(p-a)² +(q-b)²=r²$ を満たす。つまり、 $l$ の方程式は $(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r²$ となる。

なお、以上は $p\neq a$ かつ $q\neq b$ の場合の計算である。 $q=b$ のときの接線は $x=p$ 、 $p=a$ のときの接線は $y=q$ となるが、これらは $(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r²$ にそれぞれ $q=b$ 、 $p=a$ を代入して得られる式と一致する。よって、この方程式はすべての場合に成り立つ。

定理4円周上の点から引いた接線の方程式

円 $C:(x-a)² +(y-b)²=r²$ の周上の点 $(p, q)$ から引いた接線 $l$ の方程式は

$(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r²$

となる。特に、円 $C$ の中心が原点にある場合は

$px+qy=r²$

となる（ $a = b = 0$ を $l$ の式に代入すればよい）。

中心が(a, b)、半径がrの円Cがある。円周上の点(p, q)において直線lが接しており、中心と接点を結ぶ線分と直線lが垂直に交わっている。（69文字）

問題8円周上の点から引いた接線の方程式〜その2〜

円 $x²+y²=13$ の周上の点 $(2, 3)$ で接する、接線の方程式を求めよ。
円 $x²+y²=13$ の周上の点 $(2, - 3)$ で接する、接線の方程式を求めよ。
円 $(x-1)²+(y+2)²=2$ の周上の点 $(2, - 1)$ で接する、接線の方程式を求めよ。
円 $x²+y² -2x +4y+3=0$ の周上の点 $(0, - 1)$ で接する、接線の方程式を求めよ。

解答を見る

$2・ x + 3・ y=13 \Leftrightarrow 2x+3y=13$
$2・ x + (-3)・ y=13$ $\Leftrightarrow 2x-3y=13$
$(2-1)(x-1) + (-1+2)(y+2)=2$ $\Leftrightarrow x+y=1$
$x²+y² -2x +4y+3=0$ を平方完成形に変形して $(x-1)²+(y+2)²=2$ となる。よって、 $(0, - 1)$ で接する接線の方程式は

$(0-1)(x-1) + (-1+2)(y+2)=2$ $\Leftrightarrow x-y=1$

円周外の点から引いた接線の方程式

円 $C$ の外に点 $P$ をとり、Pから引いた円 $C$ の接線を考えよう。図のようにして、そのような直線は2本存在することが分かる。

次の例題で確認してみよう。

xy平面上に原点O、円、およびその外部の第1象限に点Pが配置され、矢印の右側では点Pを通って円に接する2本の直線が描かれている。

問題9円周外の点から引いた接線の方程式

円 $C:x²+y²=2$ と点 $P(3, 1)$ について、 $P$ から引いた $C$ の接線 $l$ の方程式を求めたい。以下の $［?］$ に入る式・言葉・値を答えよ。

直線 $l$ の傾きを $m$ とする。 $l$ は $P$ を通り傾き $m$ の直線となるので、方程式は $［A］$ となる。条件「円 $C$ と直線 $l:［A］$ が接する」は

「円 $C$ の $［B］$ と直線 $l:［A］$ の距離が $［C］$ に等しい」

という条件と必要十分条件である。

$l$ と、円 $C$ の中心の距離は点と直線の距離を用いて $［D］$ と書けるので、

$［D］=［C］$

が成り立つ。これを解いて $m=［E］, ［F］$ (ただし、 $［E］<［F］$ )。よって、 $l$ の方程式は

$m=［E］$ のとき $［G］, m=［F］$ のとき $［H］$ 。

解答を見る

$［A］: y-1=m(x-3)$

$［B］:$ ~中心(つまり、原点)

$［C］: \sqrt2$ ~(または円 $C$ の半径)

$［D］: (|m・ 0 -0 -3m+1|)/\sqrt(m² + (-1)²)$

$(=(|-3m+1|)/\sqrt(m² + 1))$

←点と直線の距離

$［E］: -1/7$

$［F］: 1$

←途中の計算は以下のようになる。

$(|m・ 0 -0 -3m+1|)/\sqrt(m² + (-1)²)=\sqrt2 \Leftrightarrow|-3m+1|=\sqrt2\sqrt(m² + (-1)²)$

両辺とも正なので、両辺2乗して

$\Leftrightarrow9m² - 6m +1=2m² + 2 \Leftrightarrow7m² -6m -1=0$

$［G］: x+7y-10=0$

$［H］: x-y-2=0$

2円の関係

2円の位置関係（円の方程式）

2円の位置関係

2円の位置関係は、2円の半径と中心間の距離で決まり、以下の5つの状態がある。

定理52円の位置関係

2円の半径を $r1, r2 (r1 < r2)$ 、中心間の距離を $d$ とすると、以下のようになる。

2円の図
2円の位置関係	離れている
2円の共有点の個数	0個
2円の中心間の距離 $d$	$d > r1 + r2$

2円の図
2円の位置関係	外接している
2円の共有点の個数	1個(外接)
2円の中心間の距離 $d$	$d = r1 + r2$

2円の図
2円の位置関係	交わっている
2円の共有点の個数	2個
2円の中心間の距離 $d$	$r2 - r1 < d < r1 + r2$

2円の図
2円の位置関係	内接している
2円の共有点の個数	1個(内接)
2円の中心間の距離 $d$	$d = r2 - r1$

2円の図
2円の位置関係	一方が他方を含む
2円の共有点の個数	0個
2円の中心間の距離 $d$	$d < r2 - r1$

問題102円の関係

円 $C1$ は $A$ を中心とした半径 $2$ の円、円 $C2$ は $B$ を中心とした半径 $5$ の円とする。

$AB = 10$ のとき、円 $C1$ と $C2$ はどんな位置関係にあるか。また、 $AB = 6$ のとき、 $AB = 2$ のときはどうか。
$C1$ と $C2$ が外接するとき線分 $AB$ の長さを求めよ。また、内接するときはどうか。
$C1$ が $C2$ に含まれるための、線分 $AB$ の長さの条件を求めよ。

解答を見る

$AB = 10$ のときは

共有点がなく

、 $AB = 6$ のときは

2点で交わり

、 $AB = 2$ のときは

円 $C1$ が円 $C2$ に含まれている.
外接のときは $AB = 7$ 、内接のときは $AB = 3$ 。
線分 $AB$ の長さが、内接するときより短ければよいので、 $(0<)AB<3$ 。

2円の共通接線

2円の共通接線の本数は、2円の位置関係によって異なる。

定理62円の共通接線

共通接線の本数	4本
2円と共通接線の図
2円の位置関係	離れている

共通接線の本数	3本
2円と共通接線の図
2円の位置関係	外接している

共通接線の本数	2本
2円と共通接線の図
2円の位置関係	交わっている

共通接線の本数	1本
2円と共通接線の図
2円の位置関係	内接している

共通接線の本数	0本
2円と共通接線の図
2円の位置関係	一方が他方を含む

共通接線の方程式を求めるには、問題を図示し、図形的に考えることが不可欠である。

問題112円の共通接線

2つの円 $C1:(x+1)² +(y+1)²=4,C2:(x-2)² +(y-2)²=1$ がある。この2円に対し、共通内接線 $l$ 、共通外接線 $L$ を考え、 2本ある $L$ の交点を $P$ とする。

大きな円C1と小さな円C2が並び、2円の間で交差する2本の共通内接線lと、2円の外側を通り右側で交わる2本の共通外接線Lが引かれ、その交点がPと示されている。

共通内接線 $l$ の方程式を求めよ。
$P$ の座標を求めよ。
共通外接線 $L$ の傾きを求めよ。

解答を見る

次の図のようにして、

2本の $l$ は軸に平行な直線と分かり、その方程式は $x=1, y=1$ である。

← $x$ 軸に平行な直線 $y=k$ が2円の両方に接する条件は、中心 $(-1,-1)$ 、 $(2, 2)$ との距離を考えて $|-1-k|=2$ かつ $|2-k|=1$ であり、これを満たすのは $k=1$ のみである。 $y$ 軸に平行な直線 $x=k$ についても同様である。
次の図のように、 2円の中心を $A, B$ 、 2接点を $S, T$ とする。このとき、 $△PSA∽△PTB$ であり、その相似比は $SA:TB = 2:1$ 。

よって、 $AP:PB = 2:1$ であるから、 $B$ は線分の $AP$ の中点となる。 $P(a, b)$ とおけば

$((-1+a)/2,(-1+b)/2)=(2, 2) \Leftrightarrow (a, b)=(5, 5)$

よって、 $P(5, 5)$ である。
$L$ の傾きを $m$ とおく。 $L$ は $P$ を通るので

$y-5=m(x-5) \Leftrightarrow mx - y -5m +5=0$

が $L$ の方程式となる。この直線と $B$ の距離が、円 $C2$ の半径 $1$ に等しくなればよいので

$(|m・ 2 -2 -5m +5|)/\sqrt(m²+1)=1 \Leftrightarrow |-3m+3|=\sqrt(m²+1) \Leftrightarrow (3m-3)²=m²+1 \Leftrightarrow 4m² -9m +4=0 ∴m=(9 \pm\sqrt17)/8$

2円の交点を通る円

2つの図形の交点を通る図形の方程式は、交点の座標を求めることなく得ることができる場合がある。それを次の例題で確認しよう。

問題122円の交点を通る円

2円 $x²+y²+2x-9=0$ $①$ と $x²+y²-6x-4y+3=0$ $②$ について次の問に答えよ。

2円の共有点を通る直線の方程式を求めよ。
2円の共有点と点 $(1, -4)$ を通る円の方程式を求めよ。

解答を見る

kを定数として

$k(x²+y²+2x-9) +x²+y²-6x-4y+3=0$ $③$

とすると、方程式 $③$ は、2つの円 $①$ 、 $②$ の交点を通る図形を表す。

←理由は下の本文参照

$③$ が直線を表すのは $k = - 1$ のときなので、 $2x+y-3=0$ となる。

← $k = - 1$ とすると2次の項が打ち消しあって、1次の項つまり直線の方程式が残る
$③$ が $(1, -4)$ を通るとき

$k(1+16+2-9) +1+16-6+16+3=0 \Leftrightarrow k=-3$

よって、求める方程式は $x²+y²+6x+2y-15=0$ となる。

【解答の編集】

上の例題の2つの図形 $①$ と $②$ の交点、すなわち方程式 $①$ と $②$ を同時に満たす $(x, y)$ の値は $③$ を満たす。これより、 $③$ は $①$ と $②$ の交点を通る方程式であることがわかる。

さらに、 $③$ を整理することにより、 $k\neq-1$ の場合には

$k(x²+y²+2x-9) +x²+y²-6x-4y+3=0 \Leftrightarrow (1+k)x²+(1+k)y² +(2k-6)x-4y-9k+3=0 \Leftrightarrow x²+y²+((2k-6)/(1+k))x -(4/(1+k))y+(3-9k)/(1+k)=0$

と円の方程式〜標準形〜の形になる。この方程式は2円 $①$ 、 $②$ の異なる2つの交点で満たされるから、表す図形が1点だけになったり、満たす点が1つも無くなったりすることはない。よって、 $k\neq-1$ のとき $③$ は円を表すことがわかる。

$③$ の $k$ の値を変化させたときの図形を図に示した。

座標平面上に、2つの円①と②の交点を通るさまざまな図形が描かれている。k=1やk=3のときの円、k=-1/2のときの円、k=-1のときの直線が、同じ2つの交点で交わっている。

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学II 第2章 図形と方程式 — 円の方程式

円の方程式について

円の方程式～平方完成形～

定理1円の方程式〜平方完成形〜

問題1円の方程式

円の方程式～標準形～

定理2円の方程式〜標準形〜

問題2円の方程式〜平方完成形と標準形〜

円の方程式の決定

中心や半径の条件が与えられた円の方程式

問題3円の方程式の決定〜その1〜

与えられた3点を通る円の方程式

問題4円の方程式〜その2〜

円と直線の関係

円と直線の交点

問題5円と直線の共有点の座標

座標平面上の円を図形的に考える

暗記1円と直線の共有点の個数

定理3「円と直線の共有点」について

問題6円が切り取る線分の長さ

円の接線

円周上の点から引いた接線の方程式

問題7円周上の点から引いた接線の方程式〜その1〜

定理4円周上の点から引いた接線の方程式

問題8円周上の点から引いた接線の方程式〜その2〜

円周外の点から引いた接線の方程式

問題9円周外の点から引いた接線の方程式

2円の関係

2円の位置関係（円の方程式）

定理52円の位置関係

問題102円の関係

2円の共通接線

定理62円の共通接線

問題112円の共通接線

2円の交点を通る円

問題122円の交点を通る円

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