円周外の点から引いた接線の方程式

円$C$の外に点$P$をとり，Pから引いた円$C$の接線を考えよう．図のようにして，そのような直線は2本存在することが分かる．

次の例題で確認してみよう．

円$C:x^2+y^2=2$と点$P(3,~1)$について，$P$から引いた$C$の接線$l$の方程式を求めたい．以下の$\fbox{?}$に入る式・言葉・値を答えよ．

直線$l$の傾きを$m$とする．$l$は$P$を通り傾き$m$の直線となるので，方程式は$\fbox{A}$となる．条件「円$C$と直線$l:\fbox{A}$が接する」は

「円$C$の$\fbox{B}$と直線$l:\fbox{A}$の距離が$\fbox{C}$に等しい」

という条件と必要十分条件である．

$l$と，円$C$の中心の距離は点と直線の距離を用いて$ \fbox{D}$と書けるので，

\begin{align} \fbox{D}=\fbox{C} \end{align}

が成り立つ．これを解いて$m=\fbox{E},~\fbox{F}$(ただし，$\fbox{E}<\fbox{F}$)．よって，$l$の方程式は

$m=\fbox{E}$のとき$\fbox{G}，m=\fbox{F}$のとき$\fbox{H}$．

$\fbox{A}:~\boldsymbol{y-1=m(x-3)}$

$\fbox{B}:$~中心(つまり，原点)

$\fbox{C}:~\boldsymbol{\sqrt{2}}$~(または円$C$の半径)

$\fbox{D}:~\boldsymbol{\dfrac{|m\cdot 0 -0 -3m+1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}}$

$\left(=\boldsymbol{\dfrac{|-3m+1|}{\sqrt{m^2 + 1}}}\right)$

←点と直線の距離

$\fbox{E}:~\boldsymbol{-\dfrac{1}{7}}$

$\fbox{F}:~\boldsymbol{1}$

←途中の計算は以下のようになる．

\begin{align} &\dfrac{|m\cdot 0 -0 -3m+1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}=\sqrt{2}\\ &\Leftrightarrow|-3m+1|=\sqrt{2}\sqrt{m^2 + (-1)^2} \end{align}

両辺とも正なので，両辺2乗して

\begin{align} &\Leftrightarrow9m^2 - 6m +1=2m^2 + 2\\ &\Leftrightarrow7m^2 -6m -1=0 \end{align}

$\fbox{G}:~\boldsymbol{x+7y-10=0}$

$\fbox{H}:~\boldsymbol{x-y-2=0}$