円の方程式

1. $\boldsymbol{(x-3)^2 + (y-2)^2 =9}$
2. $\boldsymbol{(x+3)^2 + (y-1)^2 =4}$
3. $\boldsymbol{x^2 + (y+2)^2 =3}$

1. 与式の左辺を平方完成すると

   \begin{align} (x_1)^2+(y+2)^2=4 \end{align}

   となるので，

   中心は

   $\boldsymbol{(1,-2)}$,

   半径は

   $\boldsymbol{2}$.

2. 与式の左辺を平方完成すると

   \begin{align} x^2+(y+3)^2=8 \end{align}

   となるので，

   中心は

   $\boldsymbol{(0,-3)}$,

   半径は

   $\boldsymbol{2\sqrt{2}}$.

3. 与式の左辺を平方完成すると

   \begin{align} \left(x-\dfrac32\right)^2+y^2=-\dfrac{11}{4} \end{align}

   となるので，この方程式は円を表さない．

4. 与式の左辺を平方完成すれば

   \begin{align} (x+2)^2+(y+2)^2=0 \end{align}

   となるので，この方程式は円を表さない．

   ←この方程式を満たす必要十分条件は，$x + 2 = 0,y + 2 = 0$であるので， $(x,~y)=(-2,-2)$のみが方程式を満たす． つまり，方程式$x^2 + 4x + y^2 + 4y + 8 = 0$のグラフは， 「点$( − 2, − 2)$」となる．

無題

1. 図のように考えれば，円が

   4つ

   あることが分かる．

   中心は$(\pm 3, \pm3)$であるので

   \begin{align} &\boldsymbol{(x+3)^2 +(y+3)^2=9,}\\ &\boldsymbol{(x+3)^2 +(y-3)^2=9,}\\ &\boldsymbol{(x-3)^2 +(y+3)^2=9,}\\ &\boldsymbol{(x-3)^2 +(y-3)^2=9} \end{align}

   が求める方程式になる．

2. 与えられた円の方程式は$(x − 2)^2 + (y − b)^2 = r^2$とおくことができる．

   $A$を通ることから~~$(3-2)^2+(2-b)^2 =r^2$

   $B$を通ることから~~$(0-2)^2+(3-b)^2 =r^2$

   である．これらを整頓して，連立方程式

   \begin{cases} b^2 -4b+5=r^2\\ b^2-6b+13=r^2 \end{cases}

   を得る．上の式を$\tag{1}\label{ennohouteishikinokettei〜sono1〜1}$，下の式を$\tag{2}\label{ennohouteishikinokettei〜sono1〜2}$すると、$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜1}－\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜2}$から $2b − 8 = 0$なので$b=4$．

   ←$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜1}$の$r^2$に$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜2}$を代入すると考えてもよい．

   $\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜2}$に代入すれば$r^2 = 5$であるので， 求める円の方程式は$\boldsymbol{(x_2)^2 +(y-4)^2=5}$となる．

3. 与えられた円の方程式は$(x − a)^2 + (y − a)^2 = r^2$とおくことができる．

   ←中心は直線$y = x$上にあるので，中心の$x$座標を$a$とおくと$y$座標も$a$になる．

   $A$を通ることから~~$(1-a)^2 + (3-a)^2 =r^2$

   $B$を通ることから~~$(-2-a)^2 +(1-a)^2 =r^2$

   である．これらを整頓して，連立方程式

   \begin{cases} 2a^2 -8a+10=r^2\\ 2a^2+2a+5=r^2 \end{cases}

   を得る．上の式を$\tag{3}\label{ennohouteishikinokettei〜sono1〜3}$，下の式を$\tag{4}\label{ennohouteishikinokettei〜sono1〜4}$とすると、$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜3}－\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜4}$から$ − 10a + 5 = 0$なので$a=-\dfrac{1}{2}$．

   ←$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜3}$の$r^2$に$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜4}$を代入すると考えてもよい．

   $\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜4}$に代入すれば$r^2=\dfrac{9}{2}$であるので， 求める円の方程式は$\boldsymbol{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 +\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{9}{2}}$となる．

1. 求める円の方程式を$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$とおく．

   $A$を通ることから

   $3^2 + 0^2 + l \cdot 3+ m\cdot 0 +n=0$

   $B$を通ることから

   $0^2 + (-2)^2 + l\cdot 0 + m\cdot (-2) +n=0$

   $C$を通ることから

   $(-2)^2 + 1^2 + l\cdot (-2) + m\cdot 1 +n=0$

   である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

   \begin{cases} ~3l\qquad\quad+n=-9\\ \qquad-2m+n=-4\\ -2l+m+n=-5 \end{cases}

   上の式から順に$\tag{1}\label{ennohouteishiki-sono2-1}$,$\tag{2}\label{ennohouteishiki-sono2-2}$,$\tag{3}\label{ennohouteishiki-sono2-3}$とする

   ←$\eqref{ennohouteishiki-sono2-2}+2\times\eqref{ennohouteishiki-sono2-3}$より

   \begin{array}{rrrrrrrr} &&-&2m&+&n&=&-4\\ +)&-4l&+&2m&+&2n&=&-10\\ \hline &-4l&&&+&3n&=&-14\\ \end{array}

   $\tag{2'}\label{ennohouteishiki-sono2-22}$

   $3×\eqref{ennohouteishiki-sono2-1}-\eqref{ennohouteishiki-sono2-22}$より $− 13l = 13$となって$l = − 1$． $\eqref{ennohouteishiki-sono2-2},\eqref{ennohouteishiki-sono2-1}$から$m,~n$を求めればよい

   これを解いて $(l,~m,~n)=(-1,-1,-6)$． よって，求める方程式は$\boldsymbol{x^2 +y^2-x -y-6=0}$である．

2. $\triangle{ABC}$の外接円は3点$A，B，C$を通る円に一致する． その方程式を$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$とおく．

   $A$を通ることから

   $3^2 + 1^2 + l \cdot 3+ m\cdot 1 +n=0$

   $B$を通ることから

   $4^2 + (-4)^2 + l\cdot 4 + m\cdot (-4) +n=0$

   $C$を通ることから

   $(-1)^2 + (-5)^2 + l\cdot (-1) + m\cdot (-5) +n$
   $\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=0$

   である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

   \begin{cases} 3l+m+n=-10\\ 4l-4m+n=-32\\ -l-5m+n=-26 \end{cases}

   上の式から順に$\tag{4}\label{ennohouteishiki-sono2-4}$,$\tag{5}\label{ennohouteishiki-sono2-5}$,$\tag{6}\label{ennohouteishiki-sono2-6}$とする

   ←$\eqref{ennohouteishiki-sono2-4}-\eqref{ennohouteishiki-sono2-5}$より

   \begin{array}{rrrrrrrr} &3l&+&m&+&n&=&-10\\ -)&4l&-&4m&+&n&=&-32\\ \hline &-l&+&5m&&&=&22\\ \end{array}

   $\tag{4’}\label{ennohouteishiki-sono2-44}$

   $\eqref{ennohouteishiki-sono2-5}-\eqref{ennohouteishiki-sono2-6}$より

   \begin{array}{rrrrrrrr} &4l&-&4m&+&n&=&-32\\ -)&-l&-&5m&+&n&=&-26\\ \hline &5l&+&m&&&=&-6\\ \end{array}

   $\tag{5’}\label{ennohouteishiki-sono2-55}$

   \eqref{ennohouteishiki-sono2-44}と\eqref{ennohouteishiki-sono2-55}を連立して$(l,~m)=(-2,~4)$．\eqref{ennohouteishiki-sono2-4}から$n = − 8$．

   これを解いて $(l,~m,~n)=(-2,~4,-8)$．よって，$\triangle{ABC}$の外接円の方程式は

   \begin{align} x^2+y^2 -2x+4y-8=0 \end{align}．

   平方完成型に変形すると $(x − 1)^2 + (y + 2)^2 = 13$ となり，

   ←中心と半径を求めるため平方完成型に変形

   $\triangle{ABC}$の外接円の中心は$(1, − 2)$，半径は$\sqrt{13}$である．

   【2.の別解（略解）】

   ←もちろん1.も同じようにして解くことができる．

   外接円の中心を$O(x,~y)$とすると，$OA = OB = OC$であるので

   \begin{cases} \sqrt{(x-3)^2 +(y-1)^2}\\ =\sqrt{(x-4)^2 +(y+4)^2}\\ \sqrt{(x-3)^2 +(y-1)^2}\\ =\sqrt{(x+1)^2 +(y+5)^2} \end{cases}

   これを解いて$(x,~y)=\boldsymbol{(1,-2)}$，外接円の半径は $\text{OA}=\sqrt{2^2 +(-3)^2}=\boldsymbol{\sqrt{13}}$．

1. 直線$l_1$と円$C$の共有点は，連立方程式

   \begin{cases} x+y=3\\ x^2+y^2=5 \end{cases}

   の解に一致する．上の式を$\tag{1}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$，下の式を$\tag{2}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou2}$とするとき，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$より$y = 3 – x$であるので， これを$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou2}$に代入すれば

   \begin{align} &x^2+(3-x)^2=5\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -6x+9=5\\ \Leftrightarrow~&x^2 -3x+2=0 \end{align}

   これを解いて$x=1,~2$． $\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$より，求める共有点の座標は$\boldsymbol{(2,~1),~(1,~2)}$．

   ←$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$に代入して$y$を解く．$x=1$のとき$y=2，x=2$のとき$y=1$となる．

2. 直線$l_2$と円$C$の共有点は，連立方程式

   \begin{cases} x+y=4\\ x^2+y^2=5 \end{cases}

   の解に一致する．上の式を$\tag{3}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$，下の式を$\tag{4}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$とするとき， $\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$より$y = 4 – x$であるので， これを$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$に代入すれば

   \begin{align} &x^2+(4-x)^2=5~~\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -8x+11=0 \end{align} $\tag{5}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$

   となる．2次方程式$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$の判別式を$D$とすると

   \[\dfrac{D}{4}=4^2 -2\cdot 11=-6<0\]

   であるので，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$は実数解を持たない． つまり，

   $l_2$と$C$は共有点を持たない．

   ←$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$は実数解を持たないことは，連立方程式$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$は実数解を持たないことになるため．

$\fbox{A}:$ \begin{cases} \boldsymbol{x+y=k}\\ \boldsymbol{x^2+y^2=5} \end{cases}

$\fbox{B}:$実数解を持つ

$\fbox{C}:~\boldsymbol{x^2+(k-x)^2=5}$
$\left(\Leftrightarrow~\boldsymbol{2x^2 -2kx+k^2-5=0}\right)$

←$\fbox{A}$より上の式を変形すると，$y = k – x$なので， それを下の式に代入すればよい

$\fbox{D}:\dfrac{D}{4}=\boldsymbol{k^2 -2(k^2-5)\geqq 0 }$
$\left(\Leftrightarrow~\boldsymbol{-k^2+10\geqq 0}\right)$

←実数解を持つ~$\Leftrightarrow$~(判別式)$\geqq 0 \ \ \ D=(2k)^2 -4\cdot 2\cdot (k^2-5)\geqq 0$でもよい

$\fbox{E}:\boldsymbol{-\sqrt{10}\leqq k \leqq \sqrt{10}}$

$\fbox{F}:~\boldsymbol{\sqrt{5}}$(または円$C$の半径)

$\fbox{G}:\boldsymbol{\dfrac{|-k|}{\sqrt{1^2+1^2}}}\left(=\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{2}}}\right)$

←直線$x + y − k = 0$と点$(0,~0)$の距離を 点と直線の距離で計算

$\fbox{H}:\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{2}} \leqq \sqrt{5}} ~\left(\Leftrightarrow~ \boldsymbol{|k| \leqq\sqrt{10}}\right)$

$\fbox{A}:\boldsymbol{\sqrt{6}}$

$\fbox{B}:\dfrac{1}{2}\text{AB}=\boldsymbol{1}$

$\fbox{C}:\sqrt{(\sqrt{6})^2 -1^2}=\boldsymbol{\sqrt{5}}$

$\fbox{D}:$(直線)$\boldsymbol{x+2y=k}$

$\fbox{E}:\boldsymbol{\dfrac{|0 +2\cdot 0 -k|}{\sqrt{1^2+2^2}}}=\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{5}}}$

←直線$x + 2y − k = 0$と点$(0,~0)$の距離を点と直線の距離で計算

$\fbox{F}:\dfrac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} ~~~\Leftrightarrow ~~|k|=5$， つまり，$\boldsymbol{k=\pm 5}$．

1. 線分$OP$の傾きは$\dfrac{4-0}{3-0}=\dfrac{4}{3}$．

   接線$l$と線分$OP$が直交するので，$l$の傾きは$\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}}$

   ←($OP$の傾き)$\times $($l$の傾き)$ = − 1$

2. $l$は$P(3,~4)$を通り傾き$-\dfrac{3}{4}$の直線であるので

   \begin{align} &y-4=-\dfrac{3}{4}(x-3)~\\ \Leftrightarrow~ &4y-16=-3x+9\\ \Leftrightarrow~ &\boldsymbol{3x + 4y=25} \end{align}

1. $2\cdot x + 3\cdot y=13~~\Leftrightarrow~~\boldsymbol{2x+3y=13}$

2. $2\cdot x + (-3)\cdot y=13$
   $\Leftrightarrow~~\boldsymbol{2x-3y=13}$

3. $(2-1)(x_1) + (-1+2)(y+2)=2$
   $\Leftrightarrow~~\boldsymbol{x+y=1}$

4. $x^2+y^2 -2x +4y+3=0$を平方完成形に変形して$ (x_1)^2+(y+2)^2=2$となる．よって，$(0, − 1)$で接する接線の方程式は

   $(0-1)(x_1) + (-1+2)(y+2)=2$
   $\Leftrightarrow~~\boldsymbol{x-y=1}$

$\fbox{A}:~\boldsymbol{y-1=m(x-3)}$

$\fbox{B}:$~中心(つまり，原点)

$\fbox{C}:~\boldsymbol{\sqrt{2}}$~(または円$C$の半径)

$\fbox{D}:~\boldsymbol{\dfrac{|m\cdot 0 -0 -3m+1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}}$

$\left(=\boldsymbol{\dfrac{|-3m+1|}{\sqrt{m^2 + 1}}}\right)$

←点と直線の距離

$\fbox{E}:~\boldsymbol{-\dfrac{1}{7}}$

$\fbox{F}:~\boldsymbol{1}$

←途中の計算は以下のようになる．

両辺とも正なので，両辺2乗して

$\fbox{G}:~\boldsymbol{x+7y-10=0}$

$\fbox{H}:~\boldsymbol{x-y-2=0}$

1. 

   $AB = 10$のときは

   共有点がなく

   ，$AB = 6$のときは

   2点で交わり

   ，$AB = 2$のときは

   円$C_1$が円$C_2$に含まれている.

2. 外接のときは$AB = 7$，内接のときは$AB = 3$．

   

3. 線分$AB$の長さが，内接するときより短ければよいので， $(0<)\boldsymbol{\text{AB}<3}$．

1. 次の図のようにして，

   2本の$l$は軸に平行な直線と分かり，その方程式は$\boldsymbol{x=1,~y=1}$である．

2. 次の図のように， 2円の中心を$A，B$， 2接点を$S，T$とする． このとき，$\triangle{PSA}\backsim\triangle{PTB}$ であり，その相似比は$SA:TB = 2:1$．

   よって，$AP:PB = 2:1$であるから，$ B$は線分の$AP$の中点となる．$P(a,~b)$とおけば

   \begin{align} &\left(\dfrac{-1+a}{2},\dfrac{-1+b}{2}\right)=(2,~2)\\ &~~\Leftrightarrow~~(a,~b)=(5,~5) \end{align}
   

   よって，$\boldsymbol{P(5,~5)}$である．

3. $L$の傾きを$m$とおく．$L$は$P$を通るので

   \begin{align} &y-5=m(x-5)~~\\ \Leftrightarrow&~~mx - y -5m +5=0 \end{align}

   が$L$の方程式となる． この直線と$B$の距離が，円$C_2$の半径$1$に等しくなればよいので

   \begin{align} &\dfrac{|m\cdot 2 -2 -5m +5|}{\sqrt{m^2+1}}=1\\ \Leftrightarrow~&|-3m+3|=\sqrt{m^2+1}\\ \Leftrightarrow~&(3m-3)^2=m^2+1\\ \Leftrightarrow~&4m^2 -9m +4=0\\ &\therefore ~~\boldsymbol{m=\dfrac{9 \pm\sqrt{17}}{8}} \end{align}

1. kを定数として

   \begin{align} &k(x^2+y^2+2x-9)\\ &+x^2+y^2-6x-4y+3=0 \end{align} $\tag{3}\label{2ennokoutenwotooruennokaitou}$

   とすると，方程式$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$は，2つの円$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$，$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$の交点を通る図形を表す．

   ←理由は下の本文参照

   $\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$が直線を表すのは$k = − 1$のときなので，$\boldsymbol{2x+y-3=0}$となる．

   ←$k = − 1$とすると2次の項が打ち消しあって，1次の項つまり直線の方程式が残る

2. $\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$が$(1,~-4)$を通るとき

   \begin{align} &k(1+16+2-9)\\ &+1+16-6+16+3=0\\ \Leftrightarrow~&k=-3 \end{align}

   よって，求める方程式は$\boldsymbol{x^2+y^2+6x+2y-15=0}$となる．