直線の方程式

1. $y-1=-3(x-3)~~$
   $\Leftrightarrow~~\boldsymbol{y=-3x+10}$

2. $y-(-1)=-\dfrac{1}{2}\{x-(-3)\}~~$
   $\Leftrightarrow~~\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}}$

1. $y-2=\dfrac{4-2}{3-1}(x-1)~~\Leftrightarrow~~\boldsymbol{y=x+1}$

2. $y-1=\dfrac{-3-1}{-1-2}(x-2)~~ $
   $\Leftrightarrow~~\boldsymbol{y=\dfrac43x-\dfrac53}$

3. $y-3=0~~\Leftrightarrow~~\boldsymbol{y=3}$

1. 傾きが$2$である直線の集まり

   になる. $\blacktriangleleft$切片の場所は分からないが，傾きは必ず2である．

2. $(0, − 3)$を通り$y$軸に平行でない直線の集まり

   になる. $\blacktriangleleft y$ の係数は$0$でないため．

3. $( − 2, 3)$通り$y $軸に平行でない直線の集まり

   になる $\blacktriangleleft$「直線$x = 3$以外の，$( − 2, 3)$を通る直線の集まり」でもよい

$k$ についての降べきの順にまとめると

$kx+x+y+3k=0 $
$\Leftrightarrow~k(x+3)+x+y=0$

$k$ の値に関わらずこの等式が成り立つには， $(x, y)$が連立方程式 \begin{cases} x+3=0\\ x+y=0 \end{cases} を満たせばよい．これを解いて，$(x, y) = ( − 3, 3)$ であるので， $A( − 3, 3)$

無題

1. 図のようになるので，求める方程式は

   $x=-1$

2. 傾き$3$の直線に直交するのは傾き$-\dfrac{1}{3}$の直線なので

   $y-2=-\dfrac{1}{3}(x-3)$ $\blacktriangleleft$1点と傾きが与えられた直線の方程式

3. 直線$x − 2y + 3 = 0$は$y=\dfrac{1}{2} x +\dfrac{3}{2}$と変形でき，傾きは$\dfrac{1}{2}$． これと直交する直線の傾きは$− 2$なので

   $y-(-2)=-2(x_1)~~\Leftrightarrow~~ \boldsymbol{y=-2x}$

1. 

   右欄外のような図を描き，$P(s, t)$とおく．線分$AP$の中点$\left(\dfrac{s+1}{2},\dfrac{t-2}{2}\right)$は $\blacktriangleleft$座標平面上の内分点

   直線$l $上にあるので

   \begin{align} &\dfrac{s+1}{2} - 2\cdot\dfrac{t-2}{2} +3=0\\ &\Leftrightarrow~(s+1)-2(t-2)+6=0\\ &\Leftrightarrow~s=2t-11 \end{align} $\tag{1}\label{chokusennitaishitetaishounaten1}$

   $l $の方程式は$y=\dfrac{1}{2} x +\dfrac{3}{2}$と変形できるので， $l$ の傾きは$\dfrac{1}{2}$である． 直線$AP$の傾きは$\dfrac{t-(-2)}{s-1}$であり，$ l$ と$AP$は直交するので $\blacktriangleleft$直線の平行と垂直

   \begin{align} &\dfrac12 \cdot \dfrac{t-(-2)}{s-1}=-1 \\ \Leftrightarrow&~t+2=-2(s-1)\\ \Leftrightarrow&~t=-2s \end{align} $\tag{2}\label{chokusennitaishitetaishounaten2}$

   $\eqref{chokusennitaishitetaishounaten1}$に$\eqref{chokusennitaishitetaishounaten2}$を代入して$s=2(-2s)-11~\Leftrightarrow~s=-\dfrac{11}{5}$ これを$\eqref{chokusennitaishitetaishounaten2}$に代入して$t=\dfrac{22}{5}$，よって $P\,\left(-\dfrac{11}{5},~\dfrac{22}{5}\right)$

2. 

   図を描いて，$A$と$Q$は$y$ 座標が等しいと分かる．$A$と直線$m $の距離は$3$であるから，線分$AQ$の長さは$6$であるので，

   \[Q( − 5, − 2)\]

   である．

   $\blacktriangle Q(s, − 2)$とおき，$AQ$の $x$座標$\dfrac{s+1}{2}$は$ − 2$なので

   \[\dfrac{s+1}{2}=-2~\Leftrightarrow~s=-5\]

   と求めてもよい．

1. $ \dfrac{\begin{vmatrix}2\cdot 2 - (-1) +4\end{vmatrix}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}9\end{vmatrix}}{\sqrt{5}} =\boldsymbol{\dfrac{9\sqrt{5}}{5}}$
2. $ \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 0 - 4 \cdot 0 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}-2\end{vmatrix}}{\sqrt{25}} =\boldsymbol{\dfrac25}$
3. $ \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot (-4) - 4 \cdot (-4) -2\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}{\sqrt{25}} =\boldsymbol{\dfrac25}$
4. $ \dfrac{\begin{vmatrix}-3\cdot 2 + 2 \cdot 2 +1\end{vmatrix}}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}-1\end{vmatrix}}{\sqrt{13}} =\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{13}}{13}}$

1. 直線$l$ と$A$の距離は$\dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 2 -4 \cdot 1 -k\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2}}$であるので $\blacktriangleleft$点と直線の距離

   \begin{align} \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 2 -4 \cdot 1 -k\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2}}=3 &\Leftrightarrow~ \dfrac{\begin{vmatrix}2-k\end{vmatrix}}{5}=3\\ &\Leftrightarrow~\begin{vmatrix}2-k\end{vmatrix}=15 \end{align}

   $2-k=\pm 15$を解いて，$\boldsymbol{k=17,-13}$を得る. $\blacktriangleleft 2 − k = 15$のときは$k = − 13,2 − k = − 15$のときは$k = 17$

2. 直線$l$ と$A$の距離は$\dfrac{\begin{vmatrix}(2k)\cdot 2 + 1 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{(2k)^2+1^2}}$であるので

   \begin{align} &\dfrac{\begin{vmatrix}(2k)\cdot 2 + 1 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{(2k)^2+1^2}}=1\\ &\Leftrightarrow~\dfrac{\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}}{\sqrt{4k^2 +1}}=1\\ &\Leftrightarrow~\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=\sqrt{4k^2+1} \end{align}

   両辺とも正なので，両辺2乗して$\blacktriangleleft$ $\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}^2 =(4k-1)^2, $
   $ \begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=4k-1$のときも， $\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=-(4k-1)$のときも， 2乗すれば$(4k-1)^2$になる．

   \begin{align} &\Leftrightarrow~(4k-1)^2=4k^2 +1\\ &\Leftrightarrow~12k^2 -8k=0 \qquad\therefore~~~~\boldsymbol{k=0,~\dfrac23} \end{align}

1. 原点$O$と直線$AB$の間の距離が$h$と一致する．

   直線$AB$は，$A$を通り傾き$\dfrac{b_2-a_2}{b_1-a_1}$の直線であるので，その方程式は

   \begin{align} &y-a_2 =\dfrac{b_2-a_2}{b_1-a_1}(x-a_1)\\ \Leftrightarrow&~ (b_1-a_1)y - (b_1 -a_1)a_2\\ &=(b_2-a_2)x - (b_2 -a_2)a_1\\ \Leftrightarrow&~-(b_2 -a_2)x +(b_1-a_1)y \\ &-a_2b_1 + a_1b_2=0 \end{align}

   と表される．よって，求める垂線の長さ$h$は次のようになる．

   \begin{align} h=&\dfrac{1}{\sqrt{\{-(b_2 -a_2)\}^2+(b_1-a_1)^2}}\\ &\times \Bigl|-(b_2 -a_2) \times 0 +(b_1-a_1)\times 0 \Bigr. \\ &\qquad\Bigl. -a_2b_1 + a_1b_2\Bigr| \end{align} $\blacktriangleleft$点と直線の距離 \begin{align} =&\boldsymbol{\dfrac{\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}}} \end{align}

2. $AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}$

   ， $\vartriangle OAB=\dfrac12 \cdot AB \cdot h$より　　　　　　　　　　　　　　　$\blacktriangleleft$2点間の距離

   \begin{align} &\vartriangle OAB\\ =&\dfrac{1}{2}\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}\\ &\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}}\\ =&\boldsymbol{\dfrac12\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}} \end{align}

1. $\vartriangle OAB=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}2 \cdot 2 -1\cdot (-3)\end{vmatrix}$
   $=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}7\end{vmatrix}=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}} $

   $\blacktriangleleft$ 三角形の面積

2. $ x$ 軸方向に$ − 1，y$ 軸方向に $− 2$平行移動するので

   $A(3,~4) \to A'(2,~2)$
   $ B(4,-3) \to B'(3,-5)$

   よって，

   $\vartriangle OA'B'=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}2\cdot(-5) - 2\cdot 3\end{vmatrix}$
   $=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix}-16\end{vmatrix}=\boldsymbol{8}$

   また， $\vartriangle MAB$を平行移動して$\vartriangle OA'B'$になったので， $\vartriangle MAB=\vartriangle OA'B'=\boldsymbol{8}$．$\blacktriangleleft$ 三角形の面積