数直線と座標平面上の点

この章では座標をもちいて直線や円の性質について学んでいく。まずは準備として、数直線や座標平面上の点について考えていく。

数直線上の点

数直線上の2点間の距離

数直線上の2点間の距離

まずは，数直線上の点に関する知識から確認していこう．

\FTEXT 数学Iでも学んだように，数直線上の2点間の距離は次のようになる.

数直線上の2点間の距離

無題
無題

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$間の距離$AB$は

\[AB=|x_2-x_1|\]

である．

内分・外分とは何か

内分・外分とは何か

線分の分割を表すのに，内分と外分という2つの方法がある．

内分

無題
無題

正の数$m，n$とする． 線分$AB$上の点$P$について

\[AP:PB=m : n\]

が成り立つとき，点$P$は線分$AB$を$m : n $に

内分（interior devision）

するといい， 点$P$のことを内分点という．

外分

無題
無題
無題
無題

正の数$m，n$とする． 線分$AB$の延長上の点$Q$について

\[AQ:QB=m : n\]

が成り立つとき，点$Q$は線分$AB$を$m : n $に

外分（exterior devision）

するといい， 点$Q$のことを外分点という．

右図のように，点$Q$は

  1. $m > n$のときは，線分$AB$の$B$の方向への延長上

  2. $m < n$のときは，線分$AB$の$A$の方向への延長上

にある．

数直線上の内分点の座標

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対して，線分$AB$を$m : n $に内分する点$P$の座標$(x)$を求めてみよう．

$AP:PB = m : n$ だから

\[nAP = mPB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$

ここで，右図より

数直線上の内分点の座標の図その１

1)$x_1 < x_2$のとき，$x_1 < x < x_2$だから

\[AP = x − x_1，PB = x_2 – x\]

2)$x_1 > x_2$のとき，$x_1 > x > x_2$だから

\[AP=x_1 − x，PB=x − x_2\]

1)，2)のいずれにせよ，$\eqref{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$は

数直線上の内分点の座標の図その２

$n(x-x_1)=m(x_2-x),$

$\Leftrightarrow~(m+n)x=nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

となる．

数直線上の内分点

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に内分する点$P$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}\]

である．

吹き出し数直線上の内分点の座標

無題
無題

分子の$nx_1 + mx_2$は，右図のように座標と比を交差して掛けたものを足し合わせたもの，と覚えるとよい．

特に，$P$が中点のとき，$m = n$より，$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$である．

数直線上の外分点の座標

数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に， 数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}\]

であることを示せ．ただし，$x_1 < x_2$とする．

$AQ:QB = m : n$ だから

\[nAQ = mQB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounogaibunten}$

ここで，右図より

数直線上の外分点の解答の図その１

1)$m > n$のとき，$x_1 < x_1 < x$だから

\[AQ = x − x_1，QB = x − x_2\]

2)$m < n$のとき，$x > x_1 > x_2$だから

\[AQ=x_1 − x，QB=x_2 – x\]

数直線上の外分点の解答の図その２

1)，2)のいずれにせよ，$\eqref{suuchokusenjounogaibunten}$は

$n(x-x_1)=m(x-x_2),$

$\Leftrightarrow~(m-n)x=-nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

である．

上の例題は$x_1 > x_2$の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．

数直線上の外分点

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$に外分する点$Q$の座標$(x)$は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

である．

吹き出し数直線上の外分点の座標

$\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$は，分母分子に $− 1$を掛けることにより，$\dfrac{n x_1-mx_2}{-m+n}$と表すこともできるので， 外分点の公式は，$m，n$ のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい．

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離

無題
無題

座標平面上の2点$A(x_1,~y_1)，B(x_2,~y_2)$間の距離$AB$について考えよう．

右図のように点$C$をとると

\[AC= | x_2 − x_1 | , BC= | y_2 − y_1 |\]

なので，三平方の定理より

\begin{align} {AB}^2&={AC}^2+{BC}^2\\ &=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \end{align}

なので，$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$となる．

座標平面上の2点間の距離

座標平面上の2点$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$間の距離は

\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

である．

2点間の距離

2点$A,~B$が次の座標にあるとき，2点$A,~B$の間の距離を求めよ．

  1. $ A(1, 3)，B(5, 6)$
  2. $A( − 3, − 5)，B(2, 3)$
  3. $A(6, − 1)，B( − 2, 4)$

  1. $AB=\sqrt{(5-1)^2+(6-3)^2}=\boldsymbol{5}$
  2. $AB=\sqrt{\{2-(-3)\}^2+\{3-(-5)\}^2}$
    $\qquad=\boldsymbol{\sqrt{89}}$
  3. $AB=\sqrt{(-2-6)^2+\{4-(-1)\}^2}$
    $\qquad=\boldsymbol{\sqrt{89}}$

中線定理の証明

$\vartriangle ABC$において，辺$BC$の中点を$M$とする．このとき

\[\text{AB}^2 + \text{AC}^2 =2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)\]

であることを，座標平面を用いて示せ．

点$A，B，C，M$を右図のように座標平面上で$A(a_1,~a_2)，B(-c,~0)，C(c,~0)，M(0,~0)$とおいても一般性を失わない． 座標平面状の2点間の距離を考えて

\begin{align} &\text{AB}^2+\text{AC}^2\\ =&\left(\sqrt{(a_1+c)^2+{a_2}^2}\right)^2\\ &+\left(\sqrt{(a_1-c)^2+{a_2}^2}\right)^2\\ =&{a_1}^2+2{a_1}c+c^2+{a_2}^2\\ &+{a_1}^2-2{a_1}c+c^2+{a_2}^2\\ =&2({a_1}^2+{a_2}^2+c^2) \end{align}

同様に

\begin{align} &2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)\\ =&2\left\{\left(\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\right)^2+\left(\sqrt{c^2}\right)^2\right\}\\ =&2({a_1}^2+{a_2}^2+c^2) \end{align}

よって，$\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)$が成り立つ．

（注）

この例題のように，座標を用いて幾何（図形） の証明問題を解くこともできる． このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学（coordinate geometry）という

座標平面上の内分点の座標

無題
無題

2点$A(x_1, y _1)，B(x_2, y_ 2)$に対して，線分$AB$を$m : n$に内分する点$P$の座標$(x, y)$を求めてみよう．

右図のように$P'$は線分$A'B'$を$m : n$に内分する点なので

\[x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}\]

であり，$y$座標の方も同様にして

\[y=\dfrac{ny_1 + my_2}{m+n}\]

である．

座標平面上の内分点

座標平面上の2点$A(x_1, y _1)，B(x_2, y_ 2)$に対し，線分$AB$を$m : n $に内分する点$P$の座標$(x, y)$は

\[x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}~~,~~~y=\dfrac{n y_1 + my_2}{m+n}\]

である．

特に，$P$が中点のとき，$m = n$より，$x=\dfrac{x_1 +x_2}{2}，y=\dfrac{y_1 +y_2}{2}$である．

座標平面上の内分点

以下の点$A, B$について，それぞれ，線分$AB$を$3:1$に内分する点$P$，線分$AB$を$2:3$に内分する点$Q$， 線分$AB$の中点$M$の座標を求めよ．

  1. $ A(2, 5)，B(3, 2)$
  2. $ A( − 2, 3)，B(3, − 1) $
  3. $ A(0, 0)，B(3, − 4) $

  1. 座標平面上の内分点の解答の図その１

    $P$の座標は$\left(\dfrac{1\cdot2+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot5+3\cdot2}{3+1}\right)$

    $Q$の座標は$\left(\dfrac{3\cdot2+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot5+2\cdot2}{2+3}\right)$

    $M$の座標は$\left(\dfrac{2+3}{2},~\dfrac{5+2}{2}\right)$なので

    $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{11}{4},~\dfrac{11}{4}\right)}$

    $\boldsymbol{\text{Q}\left(\dfrac{12}{5},~\dfrac{19}{5}\right)}$

    $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{5}{2},~\dfrac{7}{2}\right)}$

  2. 座標平面上の内分点の解答の図その２

    $P$の座標は$\left(\dfrac{1\cdot(-2)+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot3+3\cdot(-1)}{3+1}\right)$

    $Q$の座標は$\left(\dfrac{3\cdot(-2)+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot3+2\cdot(-1)}{2+3}\right)$

    $M$の座標は$\left(\dfrac{-2+3}{2},~\dfrac{3+(-1)}{2}\right)$なので

    $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{7}{4},~0\right)}$

    $\boldsymbol{\text{Q}\left(0,~\dfrac{7}{5}\right)}$

    $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{1}{2},~1\right)}$

  3. $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{9}{4},~-3\right)}$

    $\boldsymbol{\text{Q}\left(\dfrac{6}{5},~-\dfrac{8}{5}\right)}$

    $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{3}{2},~-2\right)}$

    $\blacktriangleleft P\left(\dfrac{1\cdot0+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot0+3\cdot(-4)}{3+1}\right)$

    $Q\left(\dfrac{3\cdot0+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot0+2\cdot(-4)}{2+3}\right)$

    $M\left(\dfrac{0+3}{2},~\dfrac{0+(-4)}{2}\right)$

座標平面上の外分点の座標

暗記座標表面上の外分点

座標平面上の内分点を参考に 座標平面上の2点$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x,y)$は

$x=\dfrac{-n x_1 + mx_2}{m-n},~y=\dfrac{-n y_1 + my_2}{m-n}$

であることを示せ．

無題
無題

右図のように$P'$は線分$A'B'$を$m :n$ に外分する点なので

$x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

であり，$y$ 座標の方も同様にして

$y=\dfrac{-ny_1 + my_2}{m-n}$

である．

座標平面上の外分点

座標平面上の2点$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x,y)$は

$x=\dfrac{-n x_1 + mx_2}{m-n}~~,~y=\dfrac{-n y_1 + my_2}{m-n}$

である．

座標表面上の外分点

以下の点$A, B$について，それぞれ，線分$AB$を$3:1$に外分する点$P$，$2:3$に外分する点$Q$，$ 4:3$に外分する点$R$の座標を求めよ．

  1. $A(2, 5)，B(3, 2)$
  2. $A( − 2, 3)，B(3, − 1)$

点$P$は線分$AB$を$3:( − 1)$に内分した点 $\blacktriangleleft 1$の方が小さいので$1$を$( − 1)$倍

点$Q$は線分$AB$を$( − 2):3$に内分した 点$\blacktriangleleft 2$の方が小さいので$2$を$( − 1)$倍

点$R$は線分$AB$を$4:( − 3)$に内分した 点$\blacktriangleleft 3$の方が小さいので$3$を$( − 1)$倍

と考えて，公式に当てはめればよい．

  1. 座標表面上の外分点の解答の図

    $P$の座標は$\left(\dfrac{(-1)\cdot2+3\cdot3}{3+(-1)},~\dfrac{(-1)\cdot5+3\cdot 2}{3+(-1)}\right)$

    $\blacktriangleleft$次のような図を書いてみよう.

    $Q$の座標は $\left(\dfrac{3\cdot2+(-2)\cdot3}{(-2)+3},~\dfrac{3\cdot5+(-2)\cdot 2}{(-2)+3}\right)$

    $R$の座標は $\left(\dfrac{(-3)\cdot2+4\cdot 3}{4+(-3)},~\dfrac{(-3)\cdot 5+4\cdot 2}{4+(-3)}\right)$

    なので $P\,\boldsymbol{\left(\dfrac{7}{2},~\dfrac12\right)}, Q\,\boldsymbol{\left(0,~11\right)}, R\,\boldsymbol{\left(6,-7\right)}$

  2. $P\,\boldsymbol{\left(\dfrac{11}{2},-3\right)}, $
    $Q\,\boldsymbol{\left(-12,~11\right)}, $
    $R\,\boldsymbol{\left(18,-13\right)}$

    $\blacktriangleleft P\left(\dfrac{(-1)\cdot(-2)+3\cdot3}{3+(-1)}\right. ,$
    $\qquad\left.\dfrac{(-1)\cdot3+3\cdot(-1)}{3+(-1)}\right)$

    $Q\left(\dfrac{3\cdot(-2)+(-2)\cdot3}{(-2)+3}\right. ,$
    $\qquad\left.\dfrac{3\cdot3+(-2)\cdot(-1)}{(-2)+3}\right)$

    $R\left(\dfrac{(-3)\cdot(-2)+4\cdot 3}{4+(-3)}\right. ,$
    $\qquad\left.\dfrac{(-3)\cdot 3+4\cdot(-1)}{4+(-3)}\right)$

三角形の重心

無題
無題

どんな三角形でも，各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる． この点を三角形の重心（centroid, center of gravity）という． 図に示したように，重心は三角形の中線を$2:1$に内分する．

以下では，座標平面上のにある三角形の重心の座標を求めてみよう．

暗記平面図形と座標

座標平面上に$A(x_1, y_1)，B(x_2,y_2)，C(x _3, y_3)$があり，$G$を$\vartriangle ABC$の重心とする．

  1. 線分$BC$の中点を$N$とする．$N$の座標を求めなさい．

  2. $G$が線分$AN$を$2:1$に内分する点であることを用い，$G$の座標を求めなさい．

  1. $N$は$BC$の中点なので，$\boldsymbol{\left(\dfrac{x_2 +x_3}{2},~\dfrac{y_2 +y_3}{2}\right)}$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標

  2. $G$の座標は

    $\left(\dfrac{x_1 + 2\cdot\dfrac{x_2 +x_3}{2}}{2+1}\right. ,$
    $\qquad\left.\dfrac{y_1 + 2\cdot\dfrac{y_2 +y_3}{2}}{2+1}\right)$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標

である．この$x$ 座標，$y$ 座標をそれぞれ計算して， $\boldsymbol{\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)}$が$G$の座標になる．

座標平面上の三角形の重心の座標

座標平面上の3点$A(x_1, y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3, y_3)$について， $\vartriangle ABC$の重心$G$の座標は

$G\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)$

である．

吹き出し三角形の重心

三角形の重心の座標は三角形の3頂点の座標の平均だと覚えるとよい．

三角形の重心

  1. $A(3, 2)，B( − 1, 4)，C( − 3, − 5)$に対し，$\vartriangle ABC$の重心$G$の座標を求めよ．

  2. $A(1, a)，B(b, 2)，C(3, − 3)$の重心が原点であるとき，$a, b$の値を求めよ．

  1. $G(x, y)$とすると

    $x=\dfrac{3 +(-1) +(-3)}{3}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$

    $y=\dfrac{2 +4 +(-5)}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$

  2. 重心の座標が$(0, 0)$なので

    $\left(\dfrac{1 +b +3}{3},~\dfrac{a +2 +(-3)}{3}\right)=(0,~0)$

    $\Leftrightarrow \begin{cases} &1 +b +3 = 0\\ &a +2 +(-3) = 0 \end{cases}$

    $\therefore~~ \boldsymbol{(a,~b) = (1,-4)}$