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円の接線

円周上の点から引いた接線の方程式

無題

無題

簡単のため，円Cの中心が原点O(0, 0)にあるときを考えよう． 図のように考えて，円周上の点PでCに接する直線は1本しか存在しないことが分かる．

次の例題で確認してみよう．

円周上の点から引いた接線の方程式〜その1〜

無題

無題

円C:x2+y2=25の周上の点P(3, 4)を接点とする接線をlとする．

  1. 接線lが線分OPと直交することから，lの傾きを求めよ．

  2. lの方程式を求めなさい．

  1. 線分OPの傾きは4−03−0=43．

    接線lと線分OPが直交するので，lの傾きは\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}}

    ←(OPの傾き)\times (lの傾き) = − 1

  2. lはP(3,~4)を通り傾き-\dfrac{3}{4}の直線であるので

    \begin{align} &y-4=-\dfrac{3}{4}(x-3)~\\ \Leftrightarrow~ &4y-16=-3x+9\\ \Leftrightarrow~ &\boldsymbol{3x + 4y=25} \end{align}

一般に，円(x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2の周上の点P(p,~q)を接点とする接線lの方程式はどうなるだろうか． O(a,~b)とすると，接線lは線分OPと直交し，線分OPの傾きは \dfrac{q-b}{p-a} であるので，

\dfrac{q-b}{p-a}\times (直線lの傾き)=-1~~\Leftrightarrow(直線lの傾き)=-\dfrac{p-a}{q-b}

となる．よって，lは(p,~q)を通り傾き-\dfrac{p-a}{q-b}の直線と分かるので

\begin{align} &y-q=-\dfrac{p-a}{q-b}(x-p)~\\ \Leftrightarrow~&(q-b)(y-q)\\ &=-(p-a)(x-p)\\ \Leftrightarrow~&(q-b)(y-b+b-q)\\ &=-(p-a)(x-a+a-p)\\ \Leftrightarrow~&(q-b)(y-b)+(q-b)(b-q)\\ &=-(p-a)(x-a)-(p-a)(a-p)\\ \Leftrightarrow~&(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)\\ &=(p-a)^2+(q-b)^2 \end{align}

となる．ここで，Pは円Cの周上にあるので，(p-a)^2 +(q-b)^2=r^2を満たす． つまり，lの方程式は(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2となる．

円周上の点から引いた接線の方程式

無題

無題

円C:(x-a)^2 +(y-b)^2=r^2の周上の点(p,~q)から引いた接線lの方程式は

\begin{align} (p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2 \end{align}

となる．特に，円Cの中心が原点にある場合は

\begin{align} px+qy=r^2 \end{align}

となる（a = b = 0をlの式に代入すればよい）．

吹き出し円周上の点から引いた接線の方程式

円の方程式において，2乗のうち片方のみに，(x,~y)=(p,~q)を代入すると覚えるとよい． また，次で学ぶ「円周外の点から引いた接線の方程式」と混同しないようにしよう． 接線が1本に決まるかどうかで判断するとよい．

円周上の点から引いた接線の方程式〜その2〜

  1. 円x^2+y^2=13の周上の点(2,~3)で接する，接線の方程式を求めよ．
  2. 円x^2+y^2=13の周上の点(2, − 3)で接する，接線の方程式を求めよ．
  3. 円(x_1)^2+(y+2)^2=2の周上の点(2, − 1)で接する，接線の方程式を求めよ．
  4. 円x^2+y^2 -2x +4y+3=0の周上の点(0, − 1)で接する，接線の方程式を求めよ．

  1. 2\cdot x + 3\cdot y=13~~\Leftrightarrow~~\boldsymbol{2x+3y=13}

  2. 2\cdot x + (-3)\cdot y=13
    \Leftrightarrow~~\boldsymbol{2x-3y=13}

  3. (2-1)(x_1) + (-1+2)(y+2)=2
    \Leftrightarrow~~\boldsymbol{x+y=1}

  4. x^2+y^2 -2x +4y+3=0を平方完成形に変形して (x_1)^2+(y+2)^2=2となる．よって，(0, − 1)で接する接線の方程式は

    (0-1)(x_1) + (-1+2)(y+2)=2
    \Leftrightarrow~~\boldsymbol{x-y=1}

円周外の点から引いた接線の方程式

無題

無題

円Cの外に点Pをとり，Pから引いた円Cの接線を考えよう． 図のようにして，そのような直線は2本存在することが分かる．

次の例題で確認してみよう．

円周外の点から引いた接線の方程式

円C:x^2+y^2=2と点P(3,~1)について，Pから引いたCの接線lの方程式を求めたい．以下の\fbox{?}に入る式・言葉・値を答えよ．

直線lの傾きをmとする．lはPを通り傾きmの直線となるので， 方程式は\fbox{A}となる． 条件「円Cと直線l:\fbox{A}が接する」は

「円Cの\fbox{B}と直線l:\fbox{A}の距離が\fbox{C}に等しい」

という条件と必要十分条件である．

lと，円Cの中心の距離は点と直線の距離を用いて \fbox{D}と書けるので，

\begin{align} \fbox{D}=\fbox{C} \end{align}

が成り立つ．これを解いてm=\fbox{E},~\fbox{F}(ただし，\fbox{E}<\fbox{F})． よって，lの方程式は

m=\fbox{E}のとき\fbox{G}，m=\fbox{F}のとき\fbox{H}．

\fbox{A}:~\boldsymbol{y-1=m(x-3)}

\fbox{B}:~中心(つまり，原点)

\fbox{C}:~\boldsymbol{\sqrt{2}}~(または円Cの半径)

\fbox{D}:~\boldsymbol{\dfrac{|m\cdot 0 -0 -3m+1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}}

\left(=\boldsymbol{\dfrac{|-3m+1|}{\sqrt{m^2 + 1}}}\right)

←点と直線の距離

\fbox{E}:~\boldsymbol{-\dfrac{1}{7}}

\fbox{F}:~\boldsymbol{1}

←途中の計算は以下のようになる．

\begin{align} &\dfrac{|m\cdot 0 -0 -3m+1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}=\sqrt{2}\\ &\Leftrightarrow|-3m+1|=\sqrt{2}\sqrt{m^2 + (-1)^2} \end{align}

両辺とも正なので，両辺2乗して

\begin{align} &\Leftrightarrow9m^2 - 6m +1=2m^2 + 2\\ &\Leftrightarrow7m^2 -6m -1=0 \end{align}

\fbox{G}:~\boldsymbol{x+7y-10=0}

\fbox{H}:~\boldsymbol{x-y-2=0}