2円の関係

2円の位置関係（円の方程式）

2円の位置関係

2円の位置関係は，2円の半径と中心間の距離で決まり，以下の5つの状態がある．

2円の位置関係

2円の半径を$r_1,~r_2~(r_1 < r_2)$，中心間の距離を$d$とすると，以下のようになる．

2円の図2円の位置関係の図その１
2円の位置関係離れている
2円の共有点の個数0個
2円の中心間の距離$d$ $d > r1 + r2$

2円の図2円の位置関係の図その２
2円の位置関係外接している
2円の共有点の個数1個(外接)
2円の中心間の距離$d$ $d = r1 + r2$

2円の図2円の位置関係の図その３
2円の位置関係交わっている
2円の共有点の個数2個
2円の中心間の距離$d$ $d < r1 + r2$

2円の図2円の位置関係の図その４
2円の位置関係内接している
2円の共有点の個数1個(内接)
2円の中心間の距離$d$ $d > r2 − r1$

2円の図2円の位置関係の図その５
2円の位置関係一方が他方を含む
2円の共有点の個数0個
2円の中心間の距離$d$ $d > r2 − r1$

2円の関係

円$C_1$は$A$を中心とした半径$2$の円，円$C_2$は$B$を中心とした半径$5$の円とする．

  1. $AB = 10$のとき，円$C_1$と$C_2$はどんな位置関係にあるか． また，$AB = 6$のとき，$AB = 2$のときはどうか．

  2. $C_1$と$C_2$が外接するとき線分$AB$の長さを求めよ．また，内接するときはどうか．

  3. $C_1$が$C_2$に含まれるための，線分$AB$の長さの条件を求めよ．

  1. 2円の関係の解答の図その１

    $AB = 10$のときは

    共有点がなく

    ，$AB = 6$のときは

    2点で交わり

    ，$AB = 2$のときは

    円$C_1$が円$C_2$に含まれている.

  2. 外接のときは$AB = 7$，内接のときは$AB = 3$．

    2円の関係の解答の図その２

  3. 線分$AB$の長さが，内接するときより短ければよいので， $(0<)\boldsymbol{\text{AB}<3}$．

2円の共通接線

2円の共通接線

2円の共通接線の本数は，2円の位置関係によって異なる．

2円の共通接線

（注）

共通接線の本数4本
2円と共通接線の図2円の共通接線の図その１
2円の位置関係離れている

共通接線の本数3本
2円と共通接線の図2円の共通接線の図その２
2円の位置関係外接している

共通接線の本数2本
2円と共通接線の図2円の共通接線の図その３
2円の位置関係交わっている

共通接線の本数1本
2円と共通接線の図2円の共通接線の図その４
2円の位置関係内接している

共通接線の本数0本
2円と共通接線の図2円の共通接線の図その５
2円の位置関係一方が他方を含む

共通接線の方程式を求めるには，問題を図示し，図形的に考えることが不可欠である．

2円の共通接線

2つの円$C_1:(x+1)^2 +(y+1)^2=4,C_2:(x_2)^2 +(y-2)^2=1$がある． この2円に対し，共通内接線$l$，共通外接線$L$を考え， 2本ある$L$の交点を$P$とする．

2円の共通接線の図

  1. 共通内接線$l$の方程式を求めよ．

  2. $P$の座標を求めよ．

  3. 共通外接線$L$の傾きを求めよ．

    2円の共通接線の解答の図その１

  1. 次の図のようにして，

    2本の$l$は軸に平行な直線と分かり，その方程式は$\boldsymbol{x=1,~y=1}$である．

  2. 次の図のように， 2円の中心を$A，B$， 2接点を$S，T$とする． このとき，$\triangle{PSA}\backsim\triangle{PTB}$ であり，その相似比は$SA:TB = 2:1$．

    よって，$AP:PB = 2:1$であるから，$ B$は線分の$AP$の中点となる．$P(a,~b)$とおけば

    \begin{align} &\left(\dfrac{-1+a}{2},\dfrac{-1+b}{2}\right)=(2,~2)\\ &~~\Leftrightarrow~~(a,~b)=(5,~5) \end{align}
    2円の共通接線の解答の図その２

    よって，$\boldsymbol{P(5,~5)}$である．

  3. $L$の傾きを$m$とおく．$L$は$P$を通るので

    \begin{align} &y-5=m(x-5)~~\\ \Leftrightarrow&~~mx - y -5m +5=0 \end{align}

    が$L$の方程式となる． この直線と$B$の距離が，円$C_2$の半径$1$に等しくなればよいので

    \begin{align} &\dfrac{|m\cdot 2 -2 -5m +5|}{\sqrt{m^2+1}}=1\\ \Leftrightarrow~&|-3m+3|=\sqrt{m^2+1}\\ \Leftrightarrow~&(3m-3)^2=m^2+1\\ \Leftrightarrow~&4m^2 -9m +4=0\\ &\therefore ~~\boldsymbol{m=\dfrac{9 \pm\sqrt{17}}{8}} \end{align}

2円の交点を通る円

2つの図形の交点を通る図形の方程式は，交点の座標を求めることなく得ることができる場合がある．それを次の例題で確認しよう．

2円の交点を通る円

2円$x^2+y^2+2x-9=0$ $\tag{1}\label{2ennokoutenwotooruen1}$と$x^2+y^2-6x-4y+3=0$ $\tag{2}\label{2ennokoutenwotooruen2}$について次の問に答えよ．

  1. 2円の共有点を通る直線の方程式を求めよ．

  2. 2円の共有点と点$(1,~-4)$を通る円の方程式を求めよ．

  1. kを定数として

    \begin{align} &k(x^2+y^2+2x-9)\\ &+x^2+y^2-6x-4y+3=0 \end{align} $\tag{3}\label{2ennokoutenwotooruennokaitou}$

    とすると，方程式$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$は，2つの円$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$，$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$の交点を通る図形を表す．

    ←理由は下の本文参照

    $\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$が直線を表すのは$k = − 1$のときなので，$\boldsymbol{2x+y-3=0}$となる．

    ←$k = − 1$とすると2次の項が打ち消しあって，1次の項つまり直線の方程式が残る

  2. $\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$が$(1,~-4)$を通るとき

    \begin{align} &k(1+16+2-9)\\ &+1+16-6+16+3=0\\ \Leftrightarrow~&k=-3 \end{align}

    よって，求める方程式は$\boldsymbol{x^2+y^2+6x+2y-15=0}$となる．

無題

無題

【解答の編集】

上の例題の2つの図形$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$と$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$の交点，すなわち方程式$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$と$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$を同時に満たす$(x,~y)$の値は$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$を満たす．これより，$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$は$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$と$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$の交点を通る方程式であることがわかる．

さらに，$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$を整理することにより，$k\neq-1$の場合には

\begin{align} &k(x^2+y^2+2x-9)\\ &+x^2+y^2-6x-4y=0\\ \Leftrightarrow~&(1+k)x^2+(1+k)y^2\\ &+(2k-6)x-4y-9k+3=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+y^2+\dfrac{2k-6}{1+k}x\\ &-\dfrac{4}{1+k}y+\dfrac{3-9k}{1+k}=0 \end{align}

と円の方程式〜標準形〜となり，円を表すことがわかる．

$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$の$k$の値を変化させたときの図形を図に示した．