円と直線の関係

1. 直線$l_1$と円$C$の共有点は，連立方程式

   $$\begin{cases} x+y=3\\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$

   の解に一致する．上の式を$\tag{1}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$，下の式を$\tag{2}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou2}$とするとき，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$より$y = 3 – x$であるので， これを$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou2}$に代入すれば

   $$\begin{align} &x^2+(3-x)^2=5\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -6x+9=5\\ \Leftrightarrow~&x^2 -3x+2=0 \end{align}$$

   これを解いて$x=1,~2$． $\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$より，求める共有点の座標は$\boldsymbol{(2,~1),~(1,~2)}$．

   ←$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$に代入して$y$を解く．$x=1$のとき$y=2，x=2$のとき$y=1$となる．

2. 直線$l_2$と円$C$の共有点は，連立方程式

   $$\begin{cases} x+y=4\\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$

   の解に一致する．上の式を$\tag{3}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$，下の式を$\tag{4}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$とするとき， $\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$より$y = 4 – x$であるので， これを$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$に代入すれば

   $$\begin{align} &x^2+(4-x)^2=5~~\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -8x+11=0 \end{align}$$ $\tag{5}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$

   となる．2次方程式$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$の判別式を$D$とすると

   $$\dfrac{D}{4}=4^2 -2\cdot 11=-6<0$$

   であるので，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$は実数解を持たない． つまり，

   $l_2$と$C$は共有点を持たない．

   ←$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$は実数解を持たないことは，連立方程式$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$は実数解を持たないことになるため．

$\fbox{A}:$ $$\begin{cases} \boldsymbol{x+y=k}\\ \boldsymbol{x^2+y^2=5} \end{cases}$$

$\fbox{B}:$実数解を持つ

$\fbox{C}:~\boldsymbol{x^2+(k-x)^2=5}$
$\left(\Leftrightarrow~\boldsymbol{2x^2 -2kx+k^2-5=0}\right)$

←$\fbox{A}$より上の式を変形すると，$y = k – x$なので， それを下の式に代入すればよい

$\fbox{D}:\dfrac{D}{4}=\boldsymbol{k^2 -2(k^2-5)\geqq 0 }$
$\left(\Leftrightarrow~\boldsymbol{-k^2+10\geqq 0}\right)$

←実数解を持つ~$\Leftrightarrow$~(判別式)$\geqq 0 \ \ \ D=(2k)^2 -4\cdot 2\cdot (k^2-5)\geqq 0$でもよい

$\fbox{E}:\boldsymbol{-\sqrt{10}\leqq k \leqq \sqrt{10}}$

$\fbox{F}:~\boldsymbol{\sqrt{5}}$(または円$C$の半径)

$\fbox{G}:\boldsymbol{\dfrac{|-k|}{\sqrt{1^2+1^2}}}\left(=\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{2}}}\right)$

←直線$x + y − k = 0$と点$(0,~0)$の距離を 点と直線の距離で計算

$\fbox{H}:\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{2}} \leqq \sqrt{5}} ~\left(\Leftrightarrow~ \boldsymbol{|k| \leqq\sqrt{10}}\right)$

$\fbox{A}:\boldsymbol{\sqrt{6}}$

$\fbox{B}:\dfrac{1}{2}\text{AB}=\boldsymbol{1}$

$\fbox{C}:\sqrt{(\sqrt{6})^2 -1^2}=\boldsymbol{\sqrt{5}}$

$\fbox{D}:$(直線)$\boldsymbol{x+2y=k}$

$\fbox{E}:\boldsymbol{\dfrac{|0 +2\cdot 0 -k|}{\sqrt{1^2+2^2}}}=\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{5}}}$

←直線$x + 2y − k = 0$と点$(0,~0)$の距離を点と直線の距離で計算

$\fbox{F}:\dfrac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} ~~~\Leftrightarrow ~~|k|=5$， つまり，$\boldsymbol{k=\pm 5}$．