円の方程式の決定

図のように考えれば，円が

4つ

あることが分かる．

中心は$(\pm 3, \pm3)$であるので

が求める方程式になる．

与えられた円の方程式は$(x − 2)^2 + (y − b)^2 = r^2$とおくことができる．

$A$を通ることから~~$(3-2)^2+(2-b)^2 =r^2$

$B$を通ることから~~$(0-2)^2+(3-b)^2 =r^2$

である．これらを整頓して，連立方程式

を得る．上の式を$\tag{1}\label{ennohouteishikinokettei〜sono1〜1}$，下の式を$\tag{2}\label{ennohouteishikinokettei〜sono1〜2}$すると、$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜1}－\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜2}$から $2b − 8 = 0$なので$b=4$．

←$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜1}$の$r^2$に$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜2}$を代入すると考えてもよい．

$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜2}$に代入すれば$r^2 = 5$であるので， 求める円の方程式は$\boldsymbol{(x_2)^2 +(y-4)^2=5}$となる．

与えられた円の方程式は$(x − a)^2 + (y − a)^2 = r^2$とおくことができる．

←中心は直線$y = x$上にあるので，中心の$x$座標を$a$とおくと$y$座標も$a$になる．

$A$を通ることから~~$(1-a)^2 + (3-a)^2 =r^2$

$B$を通ることから~~$(-2-a)^2 +(1-a)^2 =r^2$

である．これらを整頓して，連立方程式

を得る．上の式を$\tag{3}\label{ennohouteishikinokettei〜sono1〜3}$，下の式を$\tag{4}\label{ennohouteishikinokettei〜sono1〜4}$とすると、$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜3}－\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜4}$から$ − 10a + 5 = 0$なので$a=-\dfrac{1}{2}$．

←$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜3}$の$r^2$に$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜4}$を代入すると考えてもよい．

$\eqref{ennohouteishikinokettei〜sono1〜4}$に代入すれば$r^2=\dfrac{9}{2}$であるので， 求める円の方程式は$\boldsymbol{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 +\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{9}{2}}$となる．

求める円の方程式を$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$とおく．

$A$を通ることから

$3^2 + 0^2 + l \cdot 3+ m\cdot 0 +n=0$

$B$を通ることから

$0^2 + (-2)^2 + l\cdot 0 + m\cdot (-2) +n=0$

$C$を通ることから

$(-2)^2 + 1^2 + l\cdot (-2) + m\cdot 1 +n=0$

である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

上の式から順に$\tag{1}\label{ennohouteishiki-sono2-1}$,$\tag{2}\label{ennohouteishiki-sono2-2}$,$\tag{3}\label{ennohouteishiki-sono2-3}$とする

←$\eqref{ennohouteishiki-sono2-2}+2\times\eqref{ennohouteishiki-sono2-3}$より

$\tag{2'}\label{ennohouteishiki-sono2-22}$

$3×\eqref{ennohouteishiki-sono2-1}-\eqref{ennohouteishiki-sono2-22}$より $− 13l = 13$となって$l = − 1$． $\eqref{ennohouteishiki-sono2-2},\eqref{ennohouteishiki-sono2-1}$から$m,~n$を求めればよい

これを解いて $(l,~m,~n)=(-1,-1,-6)$． よって，求める方程式は$\boldsymbol{x^2 +y^2-x -y-6=0}$である．

$\triangle{ABC}$の外接円は3点$A，B，C$を通る円に一致する． その方程式を$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$とおく．

$A$を通ることから

$3^2 + 1^2 + l \cdot 3+ m\cdot 1 +n=0$

$B$を通ることから

$4^2 + (-4)^2 + l\cdot 4 + m\cdot (-4) +n=0$

$C$を通ることから

$(-1)^2 + (-5)^2 + l\cdot (-1) + m\cdot (-5) +n$
$\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=0$

である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

上の式から順に$\tag{4}\label{ennohouteishiki-sono2-4}$,$\tag{5}\label{ennohouteishiki-sono2-5}$,$\tag{6}\label{ennohouteishiki-sono2-6}$とする

←$\eqref{ennohouteishiki-sono2-4}-\eqref{ennohouteishiki-sono2-5}$より

$\tag{4’}\label{ennohouteishiki-sono2-44}$

$\eqref{ennohouteishiki-sono2-5}-\eqref{ennohouteishiki-sono2-6}$より

$\tag{5’}\label{ennohouteishiki-sono2-55}$

\eqref{ennohouteishiki-sono2-44}と\eqref{ennohouteishiki-sono2-55}を連立して$(l,~m)=(-2,~4)$．\eqref{ennohouteishiki-sono2-4}から$n = − 8$．

これを解いて $(l,~m,~n)=(-2,~4,-8)$．よって，$\triangle{ABC}$の外接円の方程式は

平方完成型に変形すると $(x − 1)^2 + (y + 2)^2 = 13$ となり，

←中心と半径を求めるため平方完成型に変形

$\triangle{ABC}$の外接円の中心は$(1, − 2)$，半径は$\sqrt{13}$である．

【2.の別解（略解）】

←もちろん1.も同じようにして解くことができる．

外接円の中心を$O(x,~y)$とすると，$OA = OB = OC$であるので

これを解いて$(x,~y)=\boldsymbol{(1,-2)}$，外接円の半径は $\text{OA}=\sqrt{2^2 +(-3)^2}=\boldsymbol{\sqrt{13}}$．