円の方程式について

円の方程式～平方完成形～

無題

無題

円は，中心と半径を決めればただ1つに定まる．

そこで，座標平面上の点$(a,~b)$を中心とした半径$r$の円$C$は， どのような方程式で表されるか考えてみよう．

円$C$の周上にある点$P$の座標を$(x,~y)$とすると， 2点$A,~P$距離は常に$r$である． 座標平面上の2点間の距離で学んだように，$\text{AP}=\sqrt{(x-a)^2 +(y-b)^2}$であるから

\begin{align} &Pが円Cの周上にある\\ &\Leftrightarrow~~\text{AP}=r\\ &\Leftrightarrow~~\sqrt{(x-a)^2 +(y-b)^2}=r \end{align} $\tag{1}\label{ennohouteishiki~heihoukanseikei~}$

等式$\eqref{ennohouteishiki~heihoukanseikei~}$の両辺は共に正であるので両辺を2乗して，等式

\begin{align} (x-a)^2 +(y-b)^2=r^2 \end{align}

を得る．

円の方程式〜平方完成形〜

点$(a,~b)$を中心とし，半径が$r~(>0)$である円の方程式は

\begin{align} (x-a)^2 +(y-b)^2=r^2 \end{align}

である．

円の方程式

座標平面上に次のような円があるとき，その方程式をそれぞれ求めよ．

  1. 中心$(3,~2)$，半径$3$

  2. 中心$(-3,~1)$，半径$2$

  3. 中心$(0, − 2)$，半径$\sqrt{3}$

  1. $\boldsymbol{(x-3)^2 + (y-2)^2 =9}$
  2. $\boldsymbol{(x+3)^2 + (y-1)^2 =4}$
  3. $\boldsymbol{x^2 + (y+2)^2 =3}$

円の方程式～標準形～

中心$(2, − 1)$，半径$3$の円の方程式は$(x − 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$となるが，この式は

\begin{align} &(x_2)^2 + (y+1)^2=9 \\ \Leftrightarrow& x^2 -4x +4 +y^2 +2y+1 =9\\ \Leftrightarrow& x^2 +y^2 -4x +2y -4=0 \end{align}

と変形することができる． 逆に，方程式$x^2 + y^2 − 4x + 2y − 4 = 0$は

\begin{align} &x^2 +y^2 -4x +2y -4=0 \\ \Leftrightarrow&(x^2 -4x +4)+(y^2 +2y +1)-4= 4+1\\ \Leftrightarrow&(x_2)^2 +(y+1)^2 = 9 \end{align}

と変形し，中心$(2,~2)$，半径$1$の円の方程式に一致することがわかる．

一般に方程式$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$は

\begin{align} &x^2 + y^2 +lx +my +n=0 \\ \Leftrightarrow & \quad \underbrace{\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^2}\quad+\underbrace{\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^2}\\ &xについて平方完成 \ \ \ yについて平方完成\\ &=\dfrac{l^2}{4} + \dfrac{m^2}{4}-n \end{align}

と変形できるので，$\dfrac{l^2}{4} + \dfrac{m^2}{4}-n>0$であれば， 円の方程式を表していることになる．

円の方程式〜標準形〜

$x,~y$についての方程式

\begin{align} x^2 + y^2 +lx +my +n=0 \end{align}

は，$\dfrac{l^2}{4} + \dfrac{m^2}{4}-n>0$のときに円を表す方程式である．

円の方程式〜平方完成形と標準形〜

次の方程式のうち，円の方程式を表すものについては中心と半径を求めよ．

  1. $x^2 + y^2 − 2x + 4y + 1 = 0$
  2. $x^2 + y^2 − 6y + 1 = 0$
  3. $x^2 + y^2 − 3x + 5 = 0$
  4. $x^2 + y^2 + 4x + 4y + 8 = 0$

  1. 与式の左辺を平方完成すると

    \begin{align} (x_1)^2+(y+2)^2=4 \end{align}

    となるので，

    中心は

    $\boldsymbol{(1,-2)}$,

    半径は

    $\boldsymbol{2}$.

  2. 与式の左辺を平方完成すると

    \begin{align} x^2+(y+3)^2=8 \end{align}

    となるので，

    中心は

    $\boldsymbol{(0,-3)}$,

    半径は

    $\boldsymbol{2\sqrt{2}}$.

  3. 与式の左辺を平方完成すると

    \begin{align} \left(x-\dfrac32\right)^2+y^2=-\dfrac{11}{4} \end{align}

    となるので，この方程式は円を表さない．

  4. 与式の左辺を平方完成すれば

    \begin{align} (x+2)^2+(y+2)^2=0 \end{align}

    となるので，この方程式は円を表さない．

    ←この方程式を満たす必要十分条件は，$x + 2 = 0,y + 2 = 0$であるので， $(x,~y)=(-2,-2)$のみが方程式を満たす． つまり，方程式$x^2 + 4x + y^2 + 4y + 8 = 0$のグラフは， 「点$( − 2, − 2)$」となる．