点と直線の距離について

（注）

直線$l $の方程式を$ax + by + c = 0$，その直線上にない1点$A$を$(x_1, y_1)$とする．

$b\neq 0$のとき，直線$l$ の傾きは-$\dfrac{a}{b}$であるので， $A$を通り$l$ に垂直な直線の方程式は

\begin{align} y-y_1=&\dfrac{b}{a} (x-x_1)\\ ~~\Leftrightarrow~~ &-bx +ay+(bx_1-ay_1)=0 \end{align} $\tag{1}\label{tentochokusennokyorinituite}$

と書ける．$l$ の方程式と$\eqref{tentochokusennokyorinituite}$の交点$H$の座標は，連立方程式 \begin{cases} ax+by+c=0\\ -bx +ay+(bx_1-ay_1)=0 \end{cases} を解けばよい．これを解いて

\[H\left(\dfrac{-ac+b^2x_1-aby_1}{a^2+b^2},~\dfrac{-bc-abx_1+a^2y_1}{a^2+b^2}\right)．\]

よって$A, H$の距離$h$について

\begin{align} &h^2~\\ =&\left(x_1-\dfrac{-ac+b^2x_1-aby_1}{a^2+b^2}\right)^2 \\ &+ \left(y_1-\dfrac{-bc-abx_1+a^2y_1}{a^2+b^2}\right)^2\\ =&\dfrac{1}{(a^2 +b^2)^2} \left\{(a^2 x_1 +{ b^2 x_1} \right.\\ &\qquad\qquad+ac -{ b^2x_1} +aby_1)^2 \\ &\left.+({a^2 y_1} +b^2 y_1 +bc +abx_1 -{a^2y_1})^2\right\}\\ =&\dfrac{1}{(a^2 +b^2)^2}\left\{a^2(ax_1 +c +by_1)^2 \right. \\ & \left. + b^2(by_1 +c +ax_1)^2\right\}\\ =&\dfrac{1}{(a^2 +b^2)^2}(a^2 + b^2)(ax_1 +c +by_1)^2\\ =&\dfrac{(ax_1 +by_1+c)^2}{a^2 +b^2} \end{align}

よって$h=\dfrac{\begin{vmatrix}ax_1 +by_1 +c\end{vmatrix}}{\sqrt{a^2 +b^2}}$を得る． これは，$b = 0$のときも成立する.

点と直線の距離

無題

無題

直線$ax + by + c = 0$と点$(x_1, y_1)$の距離$h$ は

$h=\dfrac{\begin{vmatrix}ax_1 +by_1 +c\end{vmatrix}}{\sqrt{a^2 +b^2}}$

で求められる．

吹き出し点と直線の距離について

この公式を簡単に導くには計算に工夫を要するので， よく練習して覚えてしまうのがよい． 分子が覚えにくいが，直線$ax + by + c = 0$の左辺にあたかも点$(x_1, y_1)$を代入したような 形になっているので，そう覚えてしまおう．

点と直線の距離-その1-

それぞれ与えられた直線$l$ と一点$A$について，直線$l$ と点$A$の距離を求めなさい．

  1. $ l ：2x − y + 4 = 0，A(2, − 1) $
  2. $ l ：3x − 4y − 2 = 0，A(0, 0)$
  3. $ l ：3x − 4y − 2 = 0，A( − 4, − 4) $
  4. $ l ： − 3x + 2y + 1 = 0，A(2, 2)$

  1. $ \dfrac{\begin{vmatrix}2\cdot 2 - (-1) +4\end{vmatrix}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}9\end{vmatrix}}{\sqrt{5}} =\boldsymbol{\dfrac{9\sqrt{5}}{5}}$
  2. $ \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 0 - 4 \cdot 0 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}-2\end{vmatrix}}{\sqrt{25}} =\boldsymbol{\dfrac25}$
  3. $ \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot (-4) - 4 \cdot (-4) -2\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}{\sqrt{25}} =\boldsymbol{\dfrac25}$
  4. $ \dfrac{\begin{vmatrix}-3\cdot 2 + 2 \cdot 2 +1\end{vmatrix}}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}-1\end{vmatrix}}{\sqrt{13}} =\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{13}}{13}}$

点と直線の距離-その2-

  1. 直線$l ：3x − 4y − k = 0$と$A(2, 1)$の距離が$3$であるとき，$k$の値を求めよ．
  2. 直線$l ：2kx + y − 2 = 0$と$A(2, 1)$の距離が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．

  1. 直線$l$ と$A$の距離は$\dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 2 -4 \cdot 1 -k\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2}}$であるので $\blacktriangleleft$点と直線の距離

    \begin{align} \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 2 -4 \cdot 1 -k\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2}}=3 &\Leftrightarrow~ \dfrac{\begin{vmatrix}2-k\end{vmatrix}}{5}=3\\ &\Leftrightarrow~\begin{vmatrix}2-k\end{vmatrix}=15 \end{align}

    $2-k=\pm 15$を解いて，$\boldsymbol{k=17,-13}$を得る. $\blacktriangleleft 2 − k = 15$のときは$k = − 13,2 − k = − 15$のときは$k = 17$

  2. 直線$l$ と$A$の距離は$\dfrac{\begin{vmatrix}(2k)\cdot 2 + 1 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{(2k)^2+1^2}}$であるので

    \begin{align} &\dfrac{\begin{vmatrix}(2k)\cdot 2 + 1 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{(2k)^2+1^2}}=1\\ &\Leftrightarrow~\dfrac{\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}}{\sqrt{4k^2 +1}}=1\\ &\Leftrightarrow~\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=\sqrt{4k^2+1} \end{align}

    両辺とも正なので，両辺2乗して$\blacktriangleleft$ $\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}^2 =(4k-1)^2, $
    $ \begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=4k-1$のときも， $\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=-(4k-1)$のときも， 2乗すれば$(4k-1)^2$になる．

    \begin{align} &\Leftrightarrow~(4k-1)^2=4k^2 +1\\ &\Leftrightarrow~12k^2 -8k=0 \qquad\therefore~~~~\boldsymbol{k=0,~\dfrac23} \end{align}

三角形の面積-その1-

原点を$O$とし，$A(a_1, a_2)$，$B(b_1, b_2)$とする．ただし，$a_1\neq b_1$とする．

  1. 原点から直線$AB$へ引いた垂線の長さ$h$を求めよ．
  2. 線分$AB$の長さを求め，$\vartriangle OAB$の面積を求めよ．

  1. 原点$O$と直線$AB$の間の距離が$h$と一致する．

    直線$AB$は，$A$を通り傾き$\dfrac{b_2-a_2}{b_1-a_1}$の直線であるので，その方程式は

    \begin{align} &y-a_2 =\dfrac{b_2-a_2}{b_1-a_1}(x-a_1)\\ \Leftrightarrow&~ (b_1-a_1)y - (b_1 -a_1)a_2\\ &=(b_2-a_2)x - (b_2 -a_2)a_1\\ \Leftrightarrow&~-(b_2 -a_2)x +(b_1-a_1)y \\ &-a_2b_1 + a_1b_2=0 \end{align}

    と表される．よって，求める垂線の長さ$h$は次のようになる．

    \begin{align} h=&\dfrac{1}{\sqrt{\{-(b_2 -a_2)\}^2+(b_1-a_1)^2}}\\ &\times \Bigl|-(b_2 -a_2) \times 0 +(b_1-a_1)\times 0 \Bigr. \\ &\qquad\Bigl. -a_2b_1 + a_1b_2\Bigr| \end{align} $\blacktriangleleft$点と直線の距離 \begin{align} =&\boldsymbol{\dfrac{\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}}} \end{align}

  2. $AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}$

    ， $\vartriangle OAB=\dfrac12 \cdot AB \cdot h$より　　　　　　　　　　　　　　　$\blacktriangleleft$2点間の距離

    \begin{align} &\vartriangle OAB\\ =&\dfrac{1}{2}\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}\\ &\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}}\\ =&\boldsymbol{\dfrac12\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}} \end{align}

（注）

上の結果は，$a_1 = b_1$のときにも成り立ち，次のようにまとめられる.

三角形の面積-点と直線の距離-

無題

無題

3点$O(0, 0)，A(a_1, a_2)，B(b_1, b_2)$を頂点とする$\vartriangle OAB$の面積$S$ は

\[S=\dfrac12\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}\]

である．

三角形の面積-その2-

  1. $O(0, 0)，A(2, 1)，B( − 3, 2)$のとき，$\vartriangle OAB$の面積を求めよ．
  2. $ M(1, 2)，A(3, 4)，B(4, − 3)$とする． $M$が原点$O$と一致するよう$\vartriangle MAB$を平行移動したとき， $A，B$の座標は$A'，B'$に移動したとする． $A'，B'$の座標を求め，$\vartriangle OA'B'$の面積を求めよ． また，$\vartriangle MAB$の面積はいくらか．

  1. $\vartriangle OAB=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}2 \cdot 2 -1\cdot (-3)\end{vmatrix}$
    $=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}7\end{vmatrix}=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}} $

    $\blacktriangleleft$ 三角形の面積

  2. $ x$ 軸方向に$ − 1，y$ 軸方向に $− 2$平行移動するので

    $A(3,~4) \to A'(2,~2)$
    $ B(4,-3) \to B'(3,-5)$

    よって，

    $\vartriangle OA'B'=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}2\cdot(-5) - 2\cdot 3\end{vmatrix}$
    $=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix}-16\end{vmatrix}=\boldsymbol{8}$

    また， $\vartriangle MAB$を平行移動して$\vartriangle OA'B'$になったので， $\vartriangle MAB=\vartriangle OA'B'=\boldsymbol{8}$．$\blacktriangleleft$ 三角形の面積