点と直線の距離

点と直線の距離について

(注)

直線$l $の方程式を$ax + by + c = 0$,その直線上にない1点$A$を$(x_1, y_1)$とする.

$b\neq 0$のとき,直線$l$ の傾きは-$\dfrac{a}{b}$であるので, $A$を通り$l$ に垂直な直線の方程式は

\begin{align} y-y_1=&\dfrac{b}{a} (x-x_1)\\ ~~\Leftrightarrow~~ &-bx +ay+(bx_1-ay_1)=0 \end{align} $\tag{1}\label{tentochokusennokyorinituite}$

と書ける.$l$ の方程式と$\eqref{tentochokusennokyorinituite}$の交点$H$の座標は,連立方程式 \begin{cases} ax+by+c=0\\ -bx +ay+(bx_1-ay_1)=0 \end{cases} を解けばよい.これを解いて

\[H\left(\dfrac{-ac+b^2x_1-aby_1}{a^2+b^2},~\dfrac{-bc-abx_1+a^2y_1}{a^2+b^2}\right).\]

よって$A, H$の距離$h$について

\begin{align} &h^2~\\ =&\left(x_1-\dfrac{-ac+b^2x_1-aby_1}{a^2+b^2}\right)^2 \\ &+ \left(y_1-\dfrac{-bc-abx_1+a^2y_1}{a^2+b^2}\right)^2\\ =&\dfrac{1}{(a^2 +b^2)^2} \left\{(a^2 x_1 +{ b^2 x_1} \right.\\ &\qquad\qquad+ac -{ b^2x_1} +aby_1)^2 \\ &\left.+({a^2 y_1} +b^2 y_1 +bc +abx_1 -{a^2y_1})^2\right\}\\ =&\dfrac{1}{(a^2 +b^2)^2}\left\{a^2(ax_1 +c +by_1)^2 \right. \\ & \left. + b^2(by_1 +c +ax_1)^2\right\}\\ =&\dfrac{1}{(a^2 +b^2)^2}(a^2 + b^2)(ax_1 +c +by_1)^2\\ =&\dfrac{(ax_1 +by_1+c)^2}{a^2 +b^2} \end{align}

よって$h=\dfrac{\begin{vmatrix}ax_1 +by_1 +c\end{vmatrix}}{\sqrt{a^2 +b^2}}$を得る. これは,$b = 0$のときも成立する.

点と直線の距離

無題

無題

直線$ax + by + c = 0$と点$(x_1, y_1)$の距離$h$ は

$h=\dfrac{\begin{vmatrix}ax_1 +by_1 +c\end{vmatrix}}{\sqrt{a^2 +b^2}}$

で求められる.

吹き出し点と直線の距離について

この公式を簡単に導くには計算に工夫を要するので, よく練習して覚えてしまうのがよい. 分子が覚えにくいが,直線$ax + by + c = 0$の左辺にあたかも点$(x_1, y_1)$を代入したような 形になっているので,そう覚えてしまおう.

点と直線の距離-その1-

それぞれ与えられた直線$l$ と一点$A$について,直線$l$ と点$A$の距離を求めなさい.

  1. $ l :2x − y + 4 = 0,A(2, − 1) $
  2. $ l :3x − 4y − 2 = 0,A(0, 0)$
  3. $ l :3x − 4y − 2 = 0,A( − 4, − 4) $
  4. $ l : − 3x + 2y + 1 = 0,A(2, 2)$

  1. $ \dfrac{\begin{vmatrix}2\cdot 2 - (-1) +4\end{vmatrix}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}9\end{vmatrix}}{\sqrt{5}} =\boldsymbol{\dfrac{9\sqrt{5}}{5}}$
  2. $ \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 0 - 4 \cdot 0 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}-2\end{vmatrix}}{\sqrt{25}} =\boldsymbol{\dfrac25}$
  3. $ \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot (-4) - 4 \cdot (-4) -2\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}{\sqrt{25}} =\boldsymbol{\dfrac25}$
  4. $ \dfrac{\begin{vmatrix}-3\cdot 2 + 2 \cdot 2 +1\end{vmatrix}}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2}}=\dfrac{\begin{vmatrix}-1\end{vmatrix}}{\sqrt{13}} =\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{13}}{13}}$

点と直線の距離-その2-

  1. 直線$l :3x − 4y − k = 0$と$A(2, 1)$の距離が$3$であるとき,$k$の値を求めよ.
  2. 直線$l :2kx + y − 2 = 0$と$A(2, 1)$の距離が$1$であるとき,$k$の値を求めよ.

  1. 直線$l$ と$A$の距離は$\dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 2 -4 \cdot 1 -k\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2}}$であるので $\blacktriangleleft$点と直線の距離

    \begin{align} \dfrac{\begin{vmatrix}3\cdot 2 -4 \cdot 1 -k\end{vmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2}}=3 &\Leftrightarrow~ \dfrac{\begin{vmatrix}2-k\end{vmatrix}}{5}=3\\ &\Leftrightarrow~\begin{vmatrix}2-k\end{vmatrix}=15 \end{align}

    $2-k=\pm 15$を解いて,$\boldsymbol{k=17,-13}$を得る. $\blacktriangleleft 2 − k = 15$のときは$k = − 13,2 − k = − 15$のときは$k = 17$

  2. 直線$l$ と$A$の距離は$\dfrac{\begin{vmatrix}(2k)\cdot 2 + 1 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{(2k)^2+1^2}}$であるので

    \begin{align} &\dfrac{\begin{vmatrix}(2k)\cdot 2 + 1 -2\end{vmatrix}}{\sqrt{(2k)^2+1^2}}=1\\ &\Leftrightarrow~\dfrac{\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}}{\sqrt{4k^2 +1}}=1\\ &\Leftrightarrow~\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=\sqrt{4k^2+1} \end{align}

    両辺とも正なので,両辺2乗して$\blacktriangleleft$ $\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}^2 =(4k-1)^2, $
    $ \begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=4k-1$のときも, $\begin{vmatrix}4k-1\end{vmatrix}=-(4k-1)$のときも, 2乗すれば$(4k-1)^2$になる.

    \begin{align} &\Leftrightarrow~(4k-1)^2=4k^2 +1\\ &\Leftrightarrow~12k^2 -8k=0 \qquad\therefore~~~~\boldsymbol{k=0,~\dfrac23} \end{align}

三角形の面積-その1-

原点を$O$とし,$A(a_1, a_2)$,$B(b_1, b_2)$とする.ただし,$a_1\neq b_1$とする.

  1. 原点から直線$AB$へ引いた垂線の長さ$h$を求めよ.
  2. 線分$AB$の長さを求め,$\vartriangle OAB$の面積を求めよ.

  1. 原点$O$と直線$AB$の間の距離が$h$と一致する.

    直線$AB$は,$A$を通り傾き$\dfrac{b_2-a_2}{b_1-a_1}$の直線であるので,その方程式は

    \begin{align} &y-a_2 =\dfrac{b_2-a_2}{b_1-a_1}(x-a_1)\\ \Leftrightarrow&~ (b_1-a_1)y - (b_1 -a_1)a_2\\ &=(b_2-a_2)x - (b_2 -a_2)a_1\\ \Leftrightarrow&~-(b_2 -a_2)x +(b_1-a_1)y \\ &-a_2b_1 + a_1b_2=0 \end{align}

    と表される.よって,求める垂線の長さ$h$は次のようになる.

    \begin{align} h=&\dfrac{1}{\sqrt{\{-(b_2 -a_2)\}^2+(b_1-a_1)^2}}\\ &\times \Bigl|-(b_2 -a_2) \times 0 +(b_1-a_1)\times 0 \Bigr. \\ &\qquad\Bigl. -a_2b_1 + a_1b_2\Bigr| \end{align} $\blacktriangleleft$点と直線の距離 \begin{align} =&\boldsymbol{\dfrac{\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}}} \end{align}
  2. $AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}$

    , $\vartriangle OAB=\dfrac12 \cdot AB \cdot h$より               $\blacktriangleleft$2点間の距離

    \begin{align} &\vartriangle OAB\\ =&\dfrac{1}{2}\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}\\ &\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2 -a_2)^2}}\\ =&\boldsymbol{\dfrac12\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}} \end{align}

(注)

上の結果は,$a_1 = b_1$のときにも成り立ち,次のようにまとめられる.

三角形の面積-点と直線の距離-

無題

無題

3点$O(0, 0),A(a_1, a_2),B(b_1, b_2)$を頂点とする$\vartriangle OAB$の面積$S$ は

\[S=\dfrac12\begin{vmatrix}a_1b_2 -a_2b_1\end{vmatrix}\]

である.

三角形の面積-その2-

  1. $O(0, 0),A(2, 1),B( − 3, 2)$のとき,$\vartriangle OAB$の面積を求めよ.
  2. $ M(1, 2),A(3, 4),B(4, − 3)$とする. $M$が原点$O$と一致するよう$\vartriangle MAB$を平行移動したとき, $A,B$の座標は$A',B'$に移動したとする. $A',B'$の座標を求め,$\vartriangle OA'B'$の面積を求めよ. また,$\vartriangle MAB$の面積はいくらか.

  1. $\vartriangle OAB=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}2 \cdot 2 -1\cdot (-3)\end{vmatrix}$
    $=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}7\end{vmatrix}=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}} $

    $\blacktriangleleft$ 三角形の面積
  2. $ x$ 軸方向に$ − 1,y$ 軸方向に $− 2$平行移動するので

    $A(3,~4) \to A'(2,~2)$
    $ B(4,-3) \to B'(3,-5)$

    よって,

    $\vartriangle OA'B'=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}2\cdot(-5) - 2\cdot 3\end{vmatrix}$
    $=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix}-16\end{vmatrix}=\boldsymbol{8}$

    また, $\vartriangle MAB$を平行移動して$\vartriangle OA'B'$になったので, $\vartriangle MAB=\vartriangle OA'B'=\boldsymbol{8}$.$\blacktriangleleft$ 三角形の面積