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直線に対して対称な点

直線に対して対称な点について

無題

無題

与えられた直線l に対し,点Aと対称な点をPとすると, 以下のことが成り立つ.

  1. 直線APは直線lと垂直である.

  2. 線分APの中点は直線l 上にある.

暗記直線に対して対称な点

  1. 直線l:x2y+3=0に対し,A(1,2)と対称な点Pを求めなさい.

  2. 直線m:x=2に対し,A(1,2)と対称な点Qを求めなさい.

  1. 直線に対して対称な点の解答の図その1

    右欄外のような図を描き,P(s,t)とおく.線分APの中点(s+12,t22)座標平面上の内分点

    直線l 上にあるので

    \begin{align} &\dfrac{s+1}{2} - 2\cdot\dfrac{t-2}{2} +3=0\\ &\Leftrightarrow~(s+1)-2(t-2)+6=0\\ &\Leftrightarrow~s=2t-11 \end{align} \tag{1}\label{chokusennitaishitetaishounaten1}

    l の方程式はy=\dfrac{1}{2} x +\dfrac{3}{2}と変形できるので, l の傾きは\dfrac{1}{2}である. 直線APの傾きは\dfrac{t-(-2)}{s-1}であり, lAPは直交するので \blacktriangleleft直線の平行と垂直

    \begin{align} &\dfrac12 \cdot \dfrac{t-(-2)}{s-1}=-1 \\ \Leftrightarrow&~t+2=-2(s-1)\\ \Leftrightarrow&~t=-2s \end{align} \tag{2}\label{chokusennitaishitetaishounaten2}

    \eqref{chokusennitaishitetaishounaten1}\eqref{chokusennitaishitetaishounaten2}を代入してs=2(-2s)-11~\Leftrightarrow~s=-\dfrac{11}{5} これを\eqref{chokusennitaishitetaishounaten2}に代入してt=\dfrac{22}{5},よって P\,\left(-\dfrac{11}{5},~\dfrac{22}{5}\right)

  2. 直線に対して対称な点の解答の図その2

    図を描いて,AQy 座標が等しいと分かる.Aと直線m の距離は3であるから,線分AQの長さは6であるので,

    Q( − 5, − 2)

    である.

    \blacktriangle Q(s, − 2)とおき,AQx座標\dfrac{s+1}{2} − 2なので

    \dfrac{s+1}{2}=-2~\Leftrightarrow~s=-5

    と求めてもよい.