直線の平行と垂直

直線の平行と垂直について

無題

無題

無題

無題

中学で学んだように，2本の直線が平行であるとは傾きが一致することであった．

では，2本の直線$y = m_1x + n_1,y = m_2x + n_2$が直交するときはどうだろうか． このとき，図のように，直線を平行移動しても交点の作る角は変わらないので， 原点を通る2直線$y = m_1x,y = m_2x$が直交していることが分かる．

図のように，$x $座標が1の点を，それぞれの直線上にとる． このとき，$\angle AOH=90^\circ-\angle BOH=\angle OBH$であるので， 2つの直角三角形$\vartriangle AOH$と$\vartriangle OBH$は相似である．よって

\begin{align} &AH :HO=OH:HB \\ \Leftrightarrow&~~m_1 : 1 = 1:(-m_2) \\ \Leftrightarrow&~~m_1 m_2 =- 1 \end{align}

が成り立つ．これは，逆も成立する．

直線の平行と垂直

2直線$y = m_1x + n_1 ,y = m_2x + n_2$
$（m_1\neq0,~m_2\neq0）$について

「互いに平行」$\Leftrightarrow m_1=m_2$

「互いに直交」$\Leftrightarrow m_1m_2=-1$

である．

吹き出し直線の平行と垂直について

「傾き$m$の直線と直交するのは傾き$-\dfrac{1}{m}$の直線」または 「傾きの符号を変えて，逆数をとれば直交する」のように記憶するとよい.

与えられた点を通り与えられた直線に直交する直線の方程式

  1. $( − 1, 2)$を通り直線$y = 3$に直交する直線を図示し，方程式を求めよ．

  2. $(3, 2)$を通り直線$y = 3x – 4$に直交する直線の方程式を求めよ．

  3. $(1, − 2)$を通り直線$x − 2y + 3 = 0$に直交する直線の方程式を求めよ．

無題
無題

  1. 図のようになるので，求める方程式は

    $x=-1$

  2. 傾き$3$の直線に直交するのは傾き$-\dfrac{1}{3}$の直線なので

    $y-2=-\dfrac{1}{3}(x-3)$ $\blacktriangleleft$1点と傾きが与えられた直線の方程式

  3. 直線$x − 2y + 3 = 0$は$y=\dfrac{1}{2} x +\dfrac{3}{2}$と変形でき，傾きは$\dfrac{1}{2}$． これと直交する直線の傾きは$− 2$なので

    $y-(-2)=-2(x_1)~~\Leftrightarrow~~ \boldsymbol{y=-2x}$