直線の方程式について

無題

$A( − 3, 1)$を通り，傾き2の直線を$l$ とする．

$l$の方程式を

\[y=2x+n\] $\tag{1}\label{tooru1tentokatamukigaataeraretachokusennohouteishiki1}$

とすると，これは$A$を通るので

\[1=2\cdot(-3)+1\]$\tag{2}\label{tooru1tentokatamukigaataeraretachokusennohouteishiki2}$

$\eqref{tooru1tentokatamukigaataeraretachokusennohouteishiki1}-\eqref{tooru1tentokatamukigaataeraretachokusennohouteishiki2}$から$n$ を消去すると，$l $の方程式は

\[y-1=2(x+3)\]

である．

一般に次のようになる．

無題

$A( − 3, 1),B(2, − 4)$を通る直線を$l$ とする．

直線$AB$の傾きは$\dfrac{-4-1}{2-(-3)} = − 1$であり， 点$( − 3, 1)$を通るから，$l $の方程式は通る1点と傾きが与えられた直線の方程式 より

\[y − 1 = − (x − ( − 3))\]

である．

$x_1 = x_2$のとき，直線の方程式は$x = x_1$となる．

座標平面上の直線について，次のことがいえる．

1)直線が$y $軸に平行でないとき 傾きを$m，y$ 切片を$n$ とすると，直線の方程式は

2)直線が$y$ 軸に平行なとき$ x$ 軸との交点の座標を$(p, 0)$とすると，直線の方程式は

以上1)，2)のいずれの場合でも，直線の方程式は$x$と$y$の1次式となっている． つまり，座標平面上のあらゆる直線は

$ax+by+c=0$ $(a\neq 0$または$b\neq 0)$

である．

無題

方程式$y = kx + 1$のグラフは，実数$k$ の値によって異なるが， 図のように，必ず$y $切片が1，つまり$(0, 1)$を通る直線となる．

逆に，$(0, 1)$を通る直線は，$y$軸に平行な直線以外は，$y = kx + 1$という形の方程式で表される．

直線の方程式を見て，それがどのような直線の集まりを表すか見抜けるよう， 次の例題で練習してみよう．