相加平均とは何か

日常では，たとえば数学のテストが60点，英語のテストが80点だったとすると，足して2で割る，すなわち次の計算

\begin{align} \frac{60+80}{2}=70 \end{align}

によって平均点を出す．

また，3教科の場合，たとえば数学のテストが60点，英語のテストが80点，国語のテストが40点だったとすると

\begin{align} \frac{60+80+40}{3}=60 \end{align}

という計算によって，平均点60点を出す．

このような，平均のとり方を相加平均といい，一般には次のようにまとめられる．

相加平均

$n$ 個の $0$ 以上の数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ において

\begin{align} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \end{align}

を, $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ の相加平均（artithmetic mean）という．

特に， $n = 2$ のとき $\dfrac{a_1+a_2}{2}$ であり， $n = 3$ のとき$\dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}$ である．

次の値の相加平均を求めよ．

$\dfrac{24+56}{2}=\dfrac{80}{2}=\boldsymbol{40} $
$ \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{2}=\dfrac{\dfrac{5}{6}}{2}=\boldsymbol{\dfrac{5}{12}} $
$ \dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{4}}{3}=\dfrac{\dfrac{18+4+15}{12}}{3}$
$\qquad\qquad\qquad=\dfrac{\dfrac{37}{12}}{3}=\boldsymbol{\dfrac{37}{36}} $
$ 1+\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{3}=\dfrac{3+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}$ より、
$\qquad\qquad\qquad\boldsymbol{\dfrac{3+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{9}}$