相加平均と相乗平均

1. $\dfrac{24+56}{2}=\dfrac{80}{2}=\boldsymbol{40} $
2. $ \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{2}=\dfrac{\dfrac{5}{6}}{2}=\boldsymbol{\dfrac{5}{12}} $
3. $ \dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{4}}{3}=\dfrac{\dfrac{18+4+15}{12}}{3}$
   $\qquad\qquad\qquad=\dfrac{\dfrac{37}{12}}{3}=\boldsymbol{\dfrac{37}{36}} $
4. $ 1+\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{3}=\dfrac{3+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}$ より、
   $\qquad\qquad\qquad\boldsymbol{\dfrac{3+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{9}}$

1. $ \sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=\boldsymbol{4} $

2. $ \sqrt[3]{1\cdot 3\cdot 9}=\sqrt[3]{27}=\boldsymbol{3} $

$x=\sqrt[3]{a_1}，y=\sqrt[3]{a_2}，z=\sqrt[3]{a_3}$ とおくと，

$x\geqq0，y\geqq0，z\geqq0$ で，

$x^3+y^3+z^3=a+b+c,$

$xyz=\sqrt[3]{a_1}\sqrt[3]{a_2}\sqrt[3]{a_3}=\sqrt[3]{a_1a_2a_3}$ である．

$\eqref{anki3mozinobaai}$において

であり

であるから

よって

また，等号が成立するのは $x = y = z，$ すなわち $a1 = a2 = a3$ のとき.

1. $ x>0,\dfrac{1}{x}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   $\blacktriangle x$と$\dfrac{1}{x}$をかけると約分され定数になることに着目した

   \begin{align} x+\dfrac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2 \end{align}

   また，等号が成立するのは $x=\dfrac{1}{x}$ ，すなわち $x = 1$ のときである． $\blacktriangleleft x > 0$ である

2. $x + 2 > 0，\dfrac{1}{x+2}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   $\blacktriangle$ (1)のような形にもちこみたいため， $x$ ではなく $x + 2$ をかたまりとして考えてみる.

   \begin{align} &(x+2)+\dfrac{9}{(x+2)}\\ &\geqq 2\sqrt{(x+2)\cdot\dfrac{9}{x+2}}=6 \end{align}

   よって， $x+\dfrac{9}{(x+2)}\geqq 4$ となる．

   また，等号が成立するのは $x+2=\dfrac{9}{x+2}$ ，すなわち

   \begin{align} &(x+2)^2=9 \\ \Leftrightarrow~&(x+5)(x-1)=0\\ \therefore~&x=1 \end{align} $\blacktriangleleft x > 0$ である

   のときである．

3. $ x > 0，\dfrac{1}{x}>0，y > 0，\dfrac{1}{y}>0$であるから， 相加平均と相乗平均の関係より

   \begin{align} & \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right) \\ &=xy+\dfrac{4}{xy}+1+4 \\ &\geqq 2\sqrt{xy\cdot\dfrac{4}{xy}}+1+4=9 \end{align} $\blacktriangleleft xy$ と $\dfrac{1}{xy}$ をかけると約分されて定数になるような形があらわれた

   また，等号が成立するのは， $xy=\dfrac{4}{xy}$ ，すなわち

   \begin{align} &x^2y^2=4 \\ \therefore~&xy=2 \end{align} $\blacktriangleleft x > 0，y > 0$ より， $xy > 0$ である

   のときである．

4. $x > 0，y > 0，z > 0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   \begin{align} &x+y\geqq 2\sqrt{xy}\\ &y+z\geqq 2\sqrt{yz}\\ &z+x\geqq 2\sqrt{zx} \end{align}

   であるから，辺々を掛け合わせて

   （左辺）

   \begin{align} &\geqq (2\sqrt{xy})(2\sqrt{yz})(2\sqrt{zx})\\ &=8xyz \end{align}

   また，等号が成立するときは $x = y，y = z，z = x$ ，すなわち $x = y = z$ のときである．

1. $ x > 0$より$\dfrac{1}{x}>0$であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   \begin{align} x+\dfrac{1}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2 \end{align}

   $\blacktriangle$ ここまででいえたことは $f(x)\geqq2$ である

   等号が成り立つのは $x=\dfrac{1}{x}$ ，すなわち

   \begin{align} &x^2=1 \\ \therefore~~ &x=1 \end{align} $\blacktriangleleft x > 0$ である

   以上より，最小値は $f(1)=\boldsymbol{2}$ とわかる．

   $\blacktriangle$ 等号が成立する $x$ の存在がわかって初めて最小値といえる.

2. $\dfrac{y}{x}>0~,~~\dfrac{x}{y}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より

   \begin{align} &\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\geqq2\sqrt{\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{x}{y}}=2 \end{align}

   $\blacktriangle$ ここまででいえたことは $f(x,~y)\geqq2$ である

   等号が成り立つのは $\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{y}$ のとき．これを計算していくと

   \begin{align} &x^2=y^2\\ \Leftrightarrow~&x^2-y^2=0\\ \Leftrightarrow~&(x-y)(x+y)=0 \end{align}

   $x > 0，y > 0$ なので， $x+y\neq0$ であるから， $x = y$ となる．

   以上より，最小値は $f(x,x)=\boldsymbol{2}$ とわかる．

   $\blacktriangle$ 等号が成立する $x$ と $y $ の存在がわかって初めて最小値といえる.