コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式とは何か
コーシー・シュワルツの不等式
a，b，x，y を実数とすると
\begin{align} (ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2) \end{align}が成り立ち，これをコーシー・シュワルツの不等式（Cauchy-Schwarz's inequality）という．
等号が成立するのは
\begin{align} a:b=x:y \end{align}のときである．
暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-2変数版-
上のコーシー・シュワルツの不等式を証明せよ．また，等号が成立する条件も確認せよ．
（右辺） - （左辺）より
\begin{align} &(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\\ &=(a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2)\\ &-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)\\ &=b^2x^2-2(bx)(ay)+a^2y^2\\ &=(bx-ay)^2\geqq0 \end{align}等号が成立するのは， (bx − ay)^2 = 0 ，すなわち bx − ay = 0 のときであり，これは
\begin{align} a:b=x:y \end{align}のことである. \blacktriangleleft 比例式
暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-3変数版-
a，b，c，x，y，z を実数とすると
\begin{align} & (ax+by+cz)^2\\ \leqq&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \end{align}が成り立つことを証明せよ．
また，等号が成り立つ条件も求めよ．
（右辺） - （左辺）より
\begin{align} & a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)\\ &\quad+c^2(x^2+y^2)\\ &\quad-2(abxy+bcyz+acxz)\\ &=a^2y^2-2(ay)(bx)+b^2x^2\\ &\quad+a^2z^2-2(az)(cx)+c^2x^2\\ &\quad+b^2z^2-2(bz)(cy)+c^2y^2\\ &=(ay-bx)^2+(az-cx)^2\\ &\quad+(bz-cy)^2\geqq 0 \end{align}等号が成立するのは， (ay-bx)^2=0,~(az-cx)^2=0,
~(bz-cy)^2=0 すなわち，
ay-bx=0,~az-cx=0,
~bz-cy=0 のときであり，これは
一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式に関しては，付録一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式を参照のこと．
コーシー・シュワルツの不等式を利用して最小値を求める
コーシー・シュワルツの不等式を利用して，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
- f(x,~y)=x+2y
ただし，x^2 + y^2 = 1とする． - f(x,~y,~z)=x+2y+3z
ただし，x^2 + y^2 + z^2 = 1とする．
a = 1,b = 2 とすると，
コーシー・シュワルツの不等式より \blacktriangleleft(ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2)
\begin{align} (x+2y)^2\leqq(1^2+2^2)(x^2+y^2) \end{align}さらに，条件より x^2 + y^2 = 1 であるから
\begin{align} &\quad(x+2y)^2\leqq5\\ &\Leftrightarrow~-\sqrt{5}\leqq x+2y\leqq\sqrt{5} \end{align}\tag{1}\label{kosishuwarutunohutousikisaisyouti1}
が成り立つ．
\eqref{kosishuwarutunohutousikisaisyouti1}の等号が成り立つのは
\begin{align} x:y=1:2 \end{align}のときである． x = k，y = 2k とおき，\blacktriangleleft比例式の知識を使った
x^2 + y^2 = 1 に代入すると
\begin{align} &k^2+(2k)^2=1\\ \Leftrightarrow~&k=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5} \end{align}このとき，等号が成り立つ．
以上より，最大値f\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5},~\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\boldsymbol{\sqrt{5}} ， 最小値 f\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5},~-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\boldsymbol-{\sqrt{5}} となる．
a = 1，b = 2，c = 3 とすると， コーシー・シュワルツの不等式より
\blacktriangleleft(ax+by+cz)^2
\begin{align} &(x+2y+3z)^2\\ &\leqq(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2) \end{align}
\leqq(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)さらに，条件より x^2 + y^2 + z^2 = 1 であるから
\begin{align} &(x+2y+3z)^2\leqq14\\ \Leftrightarrow&~-\sqrt{14}\leqq x+2y+3z\leqq\sqrt{14} \end{align}\tag{2}\label{kosishuwarutunohutousikisaisyouti2}
が成り立つ．
\eqref{kosishuwarutunohutousikisaisyouti2}の等号が成り立つのは
\begin{align} x:y:z=1:2:3 \end{align}のときである． x = k，y = 2k，z = 3k とおき， x^2 + y^2 + z^2 = 1 に代入すると \blacktriangleleft 比例式の知識を使った.
\begin{align} &k^2+(2k)^2+(3k)^2=1\\ \Leftrightarrow~&k=\pm\dfrac{\sqrt{14}}{14} \end{align}このとき，等号が成り立つ．
以上より，最大値
f\left(\dfrac{\sqrt{14}}{14},~\dfrac{2\sqrt{14}}{14},~\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\right)
=\boldsymbol{\sqrt{14}} ，
最小値
f\left(-\dfrac{\sqrt{14}}{14},~-\dfrac{2\sqrt{14}}{14},~-\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\right)
=\boldsymbol{-\sqrt{14}} となる．
吹き出しコーシー・シュワルツの不等式とは何か
コーシー・シュワルツの不等式は\FTEXT 数学Bで学習するベクトルの内積の知識を用いて
\begin{align} \left(\vec{m}\cdot\vec{n}\right)^2\leqq|\vec{m}|^2|\vec{n}|^2 \end{align}と表すことができる． もし，ベクトルを学習済みであったら，\vec{m}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}，\vec{n}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}を上の式に代入して確認してみよう．