三角不等式
三角不等式とは何か
2つの数 a,b において
|a+b|≦が成立し,これを三角不等式(triangle inequality)という.
たとえば, a = 2,b = 3 とすると
(左辺)=|2+3|=5
(右辺)=|2|+|3|=5
となり,確かに(左辺) \leqq (右辺)が成り立つ.
また, a = − 2,b = 5 とすると
(左辺)=|-2+5|=3
(右辺)=|-2|+|5|=7
となり,やはり(左辺) \leqq (右辺)が成り立つ.
上では2つの数における三角不等式をみたが,3つ以上の数についても三角不等式は成り立ち,一般には次のようになる.
三角不等式
n 個の数 a_1,~a_2,~\cdots,~a_n において
\begin{align} &|a_1+a_2+\cdots+a_n|\\ \leqq&|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| \end{align}が成り立つ.
等号成立は, a_1,~a_2,~\cdots,~a_n がすべて同符号のときである( 0 は含んでもよい)
特に, n = 2 のとき |a_1+a_2|\leqq|a_1|+|a_2| であり, n = 3 のとき|a_1+a_2+a_3|\leqq|a_1|+|a_2|+|a_3| である.
暗記三角不等式の証明
a_1,a_2,a_3 に関して,次の不等式を証明せよ.また,等号が成立する条件も求めよ.
- |a_1+a_2|\leqq |a_1|+|a_2|
- |a_1+a_2+a_3|
\qquad\leqq |a_1|+|a_2|+|a_3|
両辺とも負でないから,それぞれを2乗した式
\begin{align} (|a_1+a_2|)^2\leqq(|a_1|+|a_2|)^2 \end{align} \blacktriangleleft 平方による比較を示せばよい.
(右辺) - (左辺)
\begin{align} &=(|a_1|+|a_2|)^2-(|a_1+a_2|)^2 \\ &=|a_1|^2+2|a_1||a_2|+|a_2|^2\\ &\qquad-(a_1+a_2)^2 \\ &={a_1}^2+2|a_1||a_2|+{a_2}^2\\ &\qquad-({a_1}^2-2a_1a_2+{a_2}^2) \end{align} \blacktriangleleft aが実数のとき |a| 2 = a2である \begin{align} &=2(|a_1||a_2|-a_1a_2)\geqq 0 \end{align} \blacktriangleleft a が実数のとき|a|\geqq{a}であるとなるので,(左辺) \leqq (右辺)である.
等号が成立するのは, |a_1||a_2|− a_1a_2 = 0 ,すなわち
\begin{align} &|a_1||a_2|-a_1a_2=0 \\ \Leftrightarrow~&|a_1a_2|-a_1a_2=0 \\ \Leftrightarrow~&a_1a_2\geqq0 \end{align} \blacktriangleleft | a | | b | = | ab | である.\blacktriangle a\geqq0\Leftrightarrow~|a|=a である
すなわち, a_1 と a_2 が同符号のとき( 0 を含んでもよい)となる.
(左辺)を計算すると
\begin{align} &|a_1+(a_2+a_3)| \\ &\leqq|a_1|+|a_2+a_3| \\ &\leqq|a_1|+|a_2|+|a_3| \end{align} \blacktriangleleft a_2 + a_3 を一かたまりとして(1)を利用した.\blacktriangle a_2 と a_3 に関して(1)を利用した.
となるので,(左辺) \leqq (右辺)である.
等号が成立するのは
\begin{cases} a_1(a_2+a_3)\geqq0 \qquad\cdots(a)\\ a_2a_3\geqq0 \quad\qquad\qquad\cdots(b) \end{cases}(b)より,i) a_2\geqq0 かつ a_3\geqq0 ,または ii) ~a_2\leqq0 かつa_3\leqq0 とわかるが
i) a_2\geqq0 かつ a_3\geqq0 のとき
(a)より, a_1\geqq0
ii) a_2\leqq0 かつ a_3\leqq0 のとき
(a)より, a_1\leqq0
すなわち, a_1,a_2,a_3 がすべて同符号のとき( 0 を含んでもよい)となる.