三角不等式

三角不等式とは何か

2つの数 $a，b$ において

\begin{align} |a+b|\leqq|a|+|b| \end{align}

が成立し，これを三角不等式（triangle inequality）という．

たとえば， $a = 2，b = 3$ とすると

（左辺）$=|2+3|=5$

（右辺）$=|2|+|3|=5$

となり，確かに（左辺） $\leqq$ （右辺）が成り立つ．

また， $a = − 2，b = 5$ とすると

（左辺）$=|-2+5|=3$

（右辺）$=|-2|+|5|=7$

となり，やはり（左辺） $\leqq$ （右辺）が成り立つ．

上では2つの数における三角不等式をみたが，3つ以上の数についても三角不等式は成り立ち，一般には次のようになる．

三角不等式

$n$ 個の数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ において

\begin{align} &|a_1+a_2+\cdots+a_n|\\ \leqq&|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| \end{align}

が成り立つ．

等号成立は， $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ がすべて同符号のときである（ $0$ は含んでもよい）

特に， $n = 2$ のとき $|a_1+a_2|\leqq|a_1|+|a_2|$ であり， $ n = 3$ のとき$|a_1+a_2+a_3|\leqq|a_1|+|a_2|+|a_3|$ である．

暗記三角不等式の証明

$a_1，a_2，a_3$ に関して，次の不等式を証明せよ．また，等号が成立する条件も求めよ．

  1. $|a_1+a_2|\leqq |a_1|+|a_2|$
  2. $|a_1+a_2+a_3|$
    $\qquad\leqq |a_1|+|a_2|+|a_3|$

  1. 両辺とも負でないから，それぞれを2乗した式

    \begin{align} (|a_1+a_2|)^2\leqq(|a_1|+|a_2|)^2 \end{align} $\blacktriangleleft$ 平方による比較

    を示せばよい．

    （右辺） $-$ （左辺）

    \begin{align} &=(|a_1|+|a_2|)^2-(|a_1+a_2|)^2 \\ &=|a_1|^2+2|a_1||a_2|+|a_2|^2\\ &\qquad-(a_1+a_2)^2 \\ &={a_1}^2+2|a_1||a_2|+{a_2}^2\\ &\qquad-({a_1}^2-2a_1a_2+{a_2}^2) \end{align} $\blacktriangleleft a$が実数のとき $|a| 2 = a2$である \begin{align} &=2(|a_1||a_2|-a_1a_2)\geqq 0 \end{align} $\blacktriangleleft a$ が実数のとき$|a|\geqq{a}$である

    となるので，（左辺） $\leqq$ （右辺）である．

    等号が成立するのは， $|a_1||a_2|− a_1a_2 = 0$ ，すなわち

    \begin{align} &|a_1||a_2|-a_1a_2=0 \\ \Leftrightarrow~&|a_1a_2|-a_1a_2=0 \\ \Leftrightarrow~&a_1a_2\geqq0 \end{align} $\blacktriangleleft | a | | b | = | ab |$ である.

    $\blacktriangle a\geqq0\Leftrightarrow~|a|=a$ である

    すなわち， $a_1$ と $a_2$ が同符号のとき（ $0$ を含んでもよい）となる．

  2. （左辺）を計算すると

    \begin{align} &|a_1+(a_2+a_3)| \\ &\leqq|a_1|+|a_2+a_3| \\ &\leqq|a_1|+|a_2|+|a_3| \end{align} $\blacktriangleleft a_2 + a_3$ を一かたまりとして(1)を利用した.

    $\blacktriangle a_2$ と $a_3$ に関して(1)を利用した.

    となるので，（左辺） $\leqq$ （右辺）である．

    等号が成立するのは

    \begin{cases} a_1(a_2+a_3)\geqq0 \qquad\cdots(a)\\ a_2a_3\geqq0 \quad\qquad\qquad\cdots(b) \end{cases}

    (b)より，i) $a_2\geqq0$ かつ $a_3\geqq0$ ，または ii) $~a_2\leqq0$ かつ$a_3\leqq0$ とわかるが

    i) $ a_2\geqq0$ かつ $a_3\geqq0$ のとき

    　　(a)より， $a_1\geqq0$

    ii) $a_2\leqq0$ かつ $a_3\leqq0$ のとき

    　　(a)より， $a_1\leqq0$

    すなわち， $a_1，a_2，a_3$ がすべて同符号のとき（ $0$ を含んでもよい）となる．