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三角不等式

三角不等式とは何か

2つの数 ab において

|a+b|

が成立し,これを三角不等式(triangle inequality)という.

たとえば, a = 2,b = 3 とすると

(左辺)=|2+3|=5

(右辺)=|2|+|3|=5

となり,確かに(左辺) \leqq (右辺)が成り立つ.

また, a = − 2,b = 5 とすると

(左辺)=|-2+5|=3

(右辺)=|-2|+|5|=7

となり,やはり(左辺) \leqq (右辺)が成り立つ.

上では2つの数における三角不等式をみたが,3つ以上の数についても三角不等式は成り立ち,一般には次のようになる.

三角不等式

n 個の数 a_1,~a_2,~\cdots,~a_n において

\begin{align} &|a_1+a_2+\cdots+a_n|\\ \leqq&|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| \end{align}

が成り立つ.

等号成立は, a_1,~a_2,~\cdots,~a_n がすべて同符号のときである( 0 は含んでもよい)

特に, n = 2 のとき |a_1+a_2|\leqq|a_1|+|a_2| であり, n = 3 のとき|a_1+a_2+a_3|\leqq|a_1|+|a_2|+|a_3| である.

暗記三角不等式の証明

a_1,a_2,a_3 に関して,次の不等式を証明せよ.また,等号が成立する条件も求めよ.

  1. |a_1+a_2|\leqq |a_1|+|a_2|
  2. |a_1+a_2+a_3|
    \qquad\leqq |a_1|+|a_2|+|a_3|

  1. 両辺とも負でないから,それぞれを2乗した式

    \begin{align} (|a_1+a_2|)^2\leqq(|a_1|+|a_2|)^2 \end{align} \blacktriangleleft 平方による比較

    を示せばよい.

    (右辺) - (左辺)

    \begin{align} &=(|a_1|+|a_2|)^2-(|a_1+a_2|)^2 \\ &=|a_1|^2+2|a_1||a_2|+|a_2|^2\\ &\qquad-(a_1+a_2)^2 \\ &={a_1}^2+2|a_1||a_2|+{a_2}^2\\ &\qquad-({a_1}^2-2a_1a_2+{a_2}^2) \end{align} \blacktriangleleft aが実数のとき |a| 2 = a2である \begin{align} &=2(|a_1||a_2|-a_1a_2)\geqq 0 \end{align} \blacktriangleleft a が実数のとき|a|\geqq{a}である

    となるので,(左辺) \leqq (右辺)である.

    等号が成立するのは, |a_1||a_2|− a_1a_2 = 0 ,すなわち

    \begin{align} &|a_1||a_2|-a_1a_2=0 \\ \Leftrightarrow~&|a_1a_2|-a_1a_2=0 \\ \Leftrightarrow~&a_1a_2\geqq0 \end{align} \blacktriangleleft | a | | b | = | ab | である.

    \blacktriangle a\geqq0\Leftrightarrow~|a|=a である

    すなわち, a_1a_2 が同符号のとき( 0 を含んでもよい)となる.

  2. (左辺)を計算すると

    \begin{align} &|a_1+(a_2+a_3)| \\ &\leqq|a_1|+|a_2+a_3| \\ &\leqq|a_1|+|a_2|+|a_3| \end{align} \blacktriangleleft a_2 + a_3 を一かたまりとして(1)を利用した.

    \blacktriangle a_2a_3 に関して(1)を利用した.

    となるので,(左辺) \leqq (右辺)である.

    等号が成立するのは

    \begin{cases} a_1(a_2+a_3)\geqq0 \qquad\cdots(a)\\ a_2a_3\geqq0 \quad\qquad\qquad\cdots(b) \end{cases}

    (b)より,i) a_2\geqq0 かつ a_3\geqq0 ,または ii) ~a_2\leqq0 かつa_3\leqq0 とわかるが

    i) a_2\geqq0 かつ a_3\geqq0 のとき

      (a)より, a_1\geqq0

    ii) a_2\leqq0 かつ a_3\leqq0 のとき

      (a)より, a_1\leqq0

    すなわち, a_1,a_2,a_3 がすべて同符号のとき( 0 を含んでもよい)となる.