2円の交点を通る円

2つの図形の交点を通る図形の方程式は，交点の座標を求めることなく得ることができる場合がある．それを次の例題で確認しよう．

2円の交点を通る円

2円$x^2+y^2+2x-9=0$ $\tag{1}\label{2ennokoutenwotooruen1}$と$x^2+y^2-6x-4y+3=0$ $\tag{2}\label{2ennokoutenwotooruen2}$について次の問に答えよ．

  1. 2円の共有点を通る直線の方程式を求めよ．

  2. 2円の共有点と点$(1,~-4)$を通る円の方程式を求めよ．

  1. kを定数として

    \begin{align} &k(x^2+y^2+2x-9)\\ &+x^2+y^2-6x-4y+3=0 \end{align} $\tag{3}\label{2ennokoutenwotooruennokaitou}$

    とすると，方程式$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$は，2つの円$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$，$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$の交点を通る図形を表す．

    ←理由は下の本文参照

    $\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$が直線を表すのは$k = − 1$のときなので，$\boldsymbol{2x+y-3=0}$となる．

    ←$k = − 1$とすると2次の項が打ち消しあって，1次の項つまり直線の方程式が残る

  2. $\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$が$(1,~-4)$を通るとき

    \begin{align} &k(1+16+2-9)\\ &+1+16-6+16+3=0\\ \Leftrightarrow~&k=-3 \end{align}

    よって，求める方程式は$\boldsymbol{x^2+y^2+6x+2y-15=0}$となる．

無題

無題

【解答の編集】

上の例題の2つの図形$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$と$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$の交点，すなわち方程式$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$と$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$を同時に満たす$(x,~y)$の値は$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$を満たす．これより，$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$は$\eqref{2ennokoutenwotooruen1}$と$\eqref{2ennokoutenwotooruen2}$の交点を通る方程式であることがわかる．

さらに，$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$を整理することにより，$k\neq-1$の場合には

\begin{align} &k(x^2+y^2+2x-9)\\ &+x^2+y^2-6x-4y=0\\ \Leftrightarrow~&(1+k)x^2+(1+k)y^2\\ &+(2k-6)x-4y-9k+3=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+y^2+\dfrac{2k-6}{1+k}x\\ &-\dfrac{4}{1+k}y+\dfrac{3-9k}{1+k}=0 \end{align}

と円の方程式〜標準形〜となり，円を表すことがわかる．

$\eqref{2ennokoutenwotooruennokaitou}$の$k$の値を変化させたときの図形を図に示した．