2円の共通接線

2円の共通接線の本数は，2円の位置関係によって異なる．

共通接線の方程式を求めるには，問題を図示し，図形的に考えることが不可欠である．

2つの円 $C_1:(x+1)^2 +(y+1)^2=4,C_2:(x_2)^2 +(y-2)^2=1$ がある．この2円に対し，共通内接線 $l$ ，共通外接線 $L$ を考え， 2本ある $L$ の交点を $P$ とする．

次の図のようにして，
2本の $l$ は軸に平行な直線と分かり，その方程式は $\boldsymbol{x=1,~y=1}$ である．
次の図のように， 2円の中心を $A，B$ ， 2接点を $S，T$ とする．このとき， $\triangle{PSA}\backsim\triangle{PTB}$ であり，その相似比は $SA:TB = 2:1$ ．
よって， $AP:PB = 2:1$ であるから， $B$ は線分の $AP$ の中点となる． $P(a,~b)$ とおけば
$\begin{align} &\left(\dfrac{-1+a}{2},\dfrac{-1+b}{2}\right)=(2,~2)\\ &~~\Leftrightarrow~~(a,~b)=(5,~5) \end{align}$
よって， $\boldsymbol{P(5,~5)}$ である．
$L$ の傾きを $m$ とおく． $L$ は $P$ を通るので
$\begin{align} &y-5=m(x-5)~~\\ \Leftrightarrow&~~mx - y -5m +5=0 \end{align}$
が $L$ の方程式となる．この直線と $B$ の距離が，円 $C_2$ の半径 $1$ に等しくなればよいので
$\begin{align} &\dfrac{|m\cdot 2 -2 -5m +5|}{\sqrt{m^2+1}}=1\\ \Leftrightarrow~&|-3m+3|=\sqrt{m^2+1}\\ \Leftrightarrow~&(3m-3)^2=m^2+1\\ \Leftrightarrow~&4m^2 -9m +4=0\\ &\therefore ~~\boldsymbol{m=\dfrac{9 \pm\sqrt{17}}{8}} \end{align}$