関数の増減と極大・極小

$a$、$b$ を実数とするとき \[a\lt{x}\lt{b}~,~a\leqq{x}\leqq{b}~,~a\lt{x}~,~x\leqq{b}\] などの不等式を満たす実数 $x$ の集合を、$x$ の区間 (interval) という。

関数 $f(x)$ について、$x$ の値が増加するとき、$f(x)$ の値が増加したり、減少したりする様子は、$y=f(x)$ のグラフが右上がりなのか、右下がりなのかで視覚的に確認できる。

関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(a,~f(a))$ に近い部分では、この関数のグラフはこの点における接線とほぼ一致しているとみなしてよい。接線の傾きは $f'(a)$ で与えることができるので、関数 $f(x)$ の増減は、$f'(x)$ の符号の正負と結びつけて考えることができる。

増加する関数のグラフ

増加する関数 $f(x)$ では、$y=f(x)$ のグラフは右図のようになる。このとき、このグラフ上の各点での接線は右上がりとなるので、その傾きは常に正の値をとることがわかる。逆に、グラフ上の各点における接線の傾きが正であるならば、その関数は増加していることがわかる。

つまり、ある区間での関数 $f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ について \[f'(x)\gt0~{\Longleftrightarrow}f(x)\] は単調増加がいえる。

減少する関数のグラフ

また、右図のように、グラフ上の各点における接線の傾きが負であるならば、その関数は減少していることがわかる。

つまり、ある区間での関数 $f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ について \[f'(x)\lt0~{\Longleftrightarrow}f(x)\] は単調減少がいえる。

さらにまた、ある区間で常に $f'(x)=0$ のとき、$y=f(x)$ のグラフの接線は常に $x$ 軸と平行となる。このとき、グラフ自体も $x$ 軸と平行となり、その区間では $f(x)$ は一定の値をとる。

増減の例

具体的な関数の例として、2次関数 $f(x)=-x^2+4x$ としてを考えてみよう。$y=f(x)$ のグラフは \begin{align} y&=-x^2+4x\\ &=-(x-2)^2+4 \end{align} であるから、頂点の座標は $(2,~4)$ とわかり、右図のようになる。

この図から

1. $x\lt2$ のときは、$f(x)$ は増加
2. $x\gt2$ のときは、$f(x)$ は減少

1. $-2x+4\gt0$ つまり、$x\lt2$ のとき「$f'(x)\gt0$ となるので」、$f(x)$ は増加している。
2. $-2x+4\lt0$ つまり、$x\gt2$ のとき「$f'(x)\lt0$ となるので」、$f(x)$ は減少している。

吹き出し増減の例

これから先扱おうとしている関数は、2次関数のように簡単に増加・減少のわかるものではない。そのため、この導関数 $f'(x)$ の正・負から、関数の増加・減少を判断できるようにしておかなければならない。

極大・極小のグラフ

関数 $f(x)$ の値が $x=a$ を境目として、右図のように増加から減少に変わるとき

$f(x)$ は $x=a$ で極大 (maximum) になる

また、関数 $f(x)$ の値が $x=b$ を境目として、減少から増加に変わるとき

$f(x)$ は $x=b$ で極小 (minimum) になる

極大値と極小値を合わせて極値 (extreme value) という。