数学II 第2章図形と方程式 — 直線の方程式

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この節の前提数学I1次関数とそのグラフ／数直線と座標平面上の点

この節では、平面上の直線が、座標平面上ではどう表現されるか考えていく。

直線の方程式について

通る1点と傾きが与えられた直線の方程式

$A( - 3, 1)$ を通り、傾き2の直線を $l$ とする。

$l$ の方程式を

$y=2x+n$ $①$

とすると、これは $A$ を通るので

$1=2・(-3)+n$ $②$

$①-②$ から $n$ を消去すると、 $l$ の方程式は

$y-1=2(x+3)$

である。

一般に次のようになる。

座標平面上に、点A(-3, 1)を通る傾き2の直線が描かれています。点Aから右に1、上に2進んで直線上の別の点へ向かう矢印が添えられています。

定理1通る1点と傾きが与えられた直線の方程式

点 $(x1, y1)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は

$y-y1=m(x-x1)$

である。

問題1直線の方程式-その1-

次の直線の方程式を求めよ。

$(3, 1)$ を通り、傾きが $- 3$
$( - 3, - 1)$ を通り、傾きが $-1/2$

解答を見る

$y-1=-3(x-3)$ $\Leftrightarrow y=-3x+10$
$y-(-1)=-1/2{x-(-3)}$ $\Leftrightarrow y=-(1/2)x-5/2$

通る2点が与えられた直線の方程式

$A( - 3, 1),B(2, - 4)$ を通る直線を $l$ とする。

直線 $AB$ の傾きは $(-4-1)/(2-(-3)) = - 1$ であり、点 $( - 3, 1)$ を通るから、 $l$ の方程式は通る1点と傾きが与えられた直線の方程式 より

$y - 1 = - (x - ( - 3))$

である。

座標平面上に、2点A(-3, 1)とB(2, -4)を通る右下がりの直線がある。その直線上の点Aと点Bの間に、点P(x, y)がとられている。

定理2通る2点が与えられた直線の方程式

異なる2点 $(x1, y1),(x2,y2)$ を通る直線の方程式は

$y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)$

である。ただし、 $x1\neq x2$ とする。

$x1 = x2$ のとき、直線の方程式は $x = x1$ となる。

問題2直線の方程式-その2-

次の2点を通る直線の方程式を求めよ。

$(1, 2), (3, 4)$
$(2, 1), ( - 1, - 3)$
$(5, 3), ( - 4, 3)$

解答を見る

$y-2=(4-2)/(3-1)(x-1) \Leftrightarrow y=x+1$
$y-1=(-3-1)/(-1-2)(x-2)$ $\Leftrightarrow y=43x-53$
$y-3=0 \Leftrightarrow y=3$

直線の方程式の標準形

座標平面上の直線について、次のことがいえる。

1)直線が $y$ 軸に平行でないとき傾きを $m, y$ 切片を $n$ とすると、直線の方程式は

$y=mx+n \Leftrightarrow mx-y+n=0$

2)直線が $y$ 軸に平行なとき $x$ 軸との交点の座標を $(p, 0)$ とすると、直線の方程式は

$x=p \Leftrightarrow x-p=0$

以上1)、2)のいずれの場合でも、直線の方程式は $x$ と $y$ の1次式となっている。つまり、座標平面上のあらゆる直線は

$ax+by+c=0$ $(a\neq 0$ または $b\neq 0)$

である。

直線の集まりとして式をみる方法

方程式 $y = kx + 1$ のグラフは、実数 $k$ の値によって異なるが、図のように、必ず $y$ 切片が1、つまり $(0, 1)$ を通る直線となる。

逆に、 $(0, 1)$ を通る直線は、 $y$ 軸に平行な直線以外は、 $y = kx + 1$ という形の方程式で表される。

直線の方程式を見て、それがどのような直線の集まりを表すか見抜けるよう、次の例題で練習してみよう。

xy座標平面上に、y軸上の点(0, 1)を通る複数の直線が描かれており、k=4、k=2、k=1、k=0、k=-1などのkの値がそれぞれの直線に添えられている。

問題3直線の集まりとして式をみる-その1-

直線 $y = 2x + k$ （ $k$ はすべての実数）はどのような直線の集まりか。
直線 $y = kx - 3$ （ $k$ はすべての実数）はどのような直線の集まりか。
直線 $y - 3 = k(x + 2)$ （ $k$ はすべての実数）はどのような直線の集まりか。

解答を見る

傾きが $2$ である直線の集まり

になる.

$(0, - 3)$ を通り $y$ 軸に平行でない直線の集まり

になる.

$( - 2, 3)$ 通り $y$ 軸に平行でない直線の集まり

になる

問題4直線の集まりとして式をみる-その2-

$k$ を実数とする。直線 $l :kx + x + y + 3k = 0$ について、以下の問いに答えよ。

$k$ の値に関わらず $l$ が通る点 $A$ の座標を求めよ。
$k$ が任意の値を取るとき、直線 $l$ はどのような直線の集まりになるか。

解答を見る

$k$ についての降べきの順にまとめると

$kx+x+y+3k=0$ $\Leftrightarrow k(x+3)+x+y=0$

$k$ の値に関わらずこの等式が成り立つには、 $(x, y)$ が連立方程式 $x+3=0 x+y=0$ を満たせばよい。これを解いて、 $(x, y) = ( - 3, 3)$ であるので、 $A( - 3, 3)$

また、 $l$ の方程式は $(k+1)x+y+3k=0$ と変形でき、 $y$ の係数は $0$ でないので、 $l$ が $y$ 軸に平行になることはない。さらに $l$ の傾きは $-(k+1)$ であり、 $k$ が実数全体を動くとき $-(k+1)$ も実数全体を動くので、 $l$ は

$A( - 3, 3)$ を通り $y$ 軸に平行でない直線の集まり

になる。

直線の平行と垂直

直線の平行と垂直について

中学で学んだように、2本の直線が平行であるとは傾きが一致することであった。

では、2本の直線 $y = m1x + n1,y = m2x + n2$ が直交するときはどうだろうか。このとき、図のように、直線を平行移動しても交点の作る角は変わらないので、原点を通る2直線 $y = m1x,y = m2x$ が直交していることが分かる。

図のように、 $x$ 座標が1の点を、それぞれの直線上にとる。このとき、 $∠AOH=90°-∠BOH=∠OBH$ であるので、 2つの直角三角形 $△AOH$ と $△OBH$ は相似である。よって

$AH :HO=OH:HB \Leftrightarrow m1 : 1 = 1:(-m2) \Leftrightarrow m1 m2 =- 1$

が成り立つ。これは、逆も成立する。

座標平面上に、原点を通る点線の2直線 y=m_1x, y=m_2x と、それぞれに平行な実線の2直線 y=m_1x+n_1, y=m_2x+n_2 が描かれており、実線の2直線は垂直に交わっている。座標平面上に原点Oを通る2直線 y=m_1x と y=m_2x がある。x=1 上の点 A(1, m_1) と点 B(1, m_2) を結ぶ線分が、x軸上の点 H(1, 0) でx軸と直交している。

定理3直線の平行と垂直

2直線 $y = m1x + n1 ,y = m2x + n2$ $（）（m1\neq0, m2\neq0）$ について

「互いに平行」 $\Leftrightarrow m1=m2$

「互いに直交」 $\Leftrightarrow m1m2=-1$

である。

問題5与えられた点を通り与えられた直線に直交する直線の方程式

$( - 1, 2)$ を通り直線 $y = 3$ に直交する直線を図示し、方程式を求めよ。
$(3, 2)$ を通り直線 $y = 3x - 4$ に直交する直線の方程式を求めよ。
$(1, - 2)$ を通り直線 $x - 2y + 3 = 0$ に直交する直線の方程式を求めよ。

解答を見る

図のようになるので、求める方程式は

$x=-1$
傾き $3$ の直線に直交するのは傾き $-1/3$ の直線なので

$y-2=-1/3(x-3)$

1点と傾きが与えられた直線の方程式
直線 $x - 2y + 3 = 0$ は $y=1/2 x +3/2$ と変形でき、傾きは $1/2$ 。これと直交する直線の傾きは $- 2$ なので

$y-(-2)=-2(x-1) \Leftrightarrow y=-2x$

座標平面上に、y軸上の3を通る水平な直線y=3と、x軸上の-1を通る垂直な破線x=-1が描かれ、その破線上に点(-1, 2)が取られている。

直線に対して対称な点

直線に対して対称な点について

与えられた直線 $l$ に対し、点 $A$ と対称な点を $P$ とすると、以下のことが成り立つ。

直線 $AP$ は直線 $l$ と垂直である。
線分 $AP$ の中点は直線 $l$ 上にある。

直線lと、直線lを挟んで位置する点Aおよび点Pを結ぶ点線が交わっている。交点には垂直記号があり、直線lから点Aまでの長さと点Pまでの長さが等しいことを示す記号が付与されている。

暗記1直線に対して対称な点

直線 $l :x - 2y + 3 = 0$ に対し、 $A(1, - 2)$ と対称な点 $P$ を求めよ。
直線 $m :x = - 2$ に対し、 $A(1, - 2)$ と対称な点 $Q$ を求めよ。

解答を見る

右欄外のような図を描き、 $P(s, t)$ とおく。線分 $AP$ の中点 $((s+1)/2,(t-2)/2)$ は

座標平面上の内分点

直線 $l$ 上にあるので

$(s+1)/2 - 2・(t-2)/2 +3=0 \Leftrightarrow (s+1)-2(t-2)+6=0 \Leftrightarrow s=2t-11$ $①$

$l$ の方程式は $y=1/2 x +3/2$ と変形できるので、 $l$ の傾きは $1/2$ である。直線 $AP$ の傾きは $(t-(-2))/(s-1)$ であり、 $l$ と $AP$ は直交するので

直線の平行と垂直

$12 ・ (t-(-2))/(s-1)=-1 \Leftrightarrow t+2=-2(s-1) \Leftrightarrow t=-2s$ $②$

$①$ に $②$ を代入して $s=2(-2s)-11 \Leftrightarrow s=-11/5$ これを $②$ に代入して $t=22/5$ 、よって $P (-11/5, 22/5)$
図を描いて、 $A$ と $Q$ は $y$ 座標が等しいと分かる。 $A$ と直線 $m$ の距離は $3$ であるから、線分 $AQ$ の長さは $6$ であるので、

$Q( - 5, - 2)$

である。

$△Q(s, - 2)$ とおき、線分 $AQ$ の中点の $x$ 座標 $(s+1)/2$ は、中点が直線 $m$ 上にあることから $- 2$ なので

$(s+1)/2=-2 \Leftrightarrow s=-5$

と求めてもよい。

点と直線の距離

点と直線の距離について

直線 $l$ の方程式を $ax + by + c = 0$ 、その直線上にない1点 $A$ を $(x1, y1)$ とする。

$a\neq 0$ かつ $b\neq 0$ のとき、直線 $l$ の傾きは- $a/b$ であるので、 $A$ を通り $l$ に垂直な直線の方程式は

$y-y1=b/a (x-x1) \Leftrightarrow -bx +ay+(bx1-ay1)=0$
$①$

と書ける。 $l$ の方程式と $①$ の交点 $H$ の座標は、連立方程式 $ax+by+c=0 -bx +ay+(bx1-ay1)=0$
を解けばよい。これを解いて

$H((-ac+b²x1-aby1)/(a²+b²), (-bc-abx1+a²y1)/(a²+b²))$

よって $A, H$ の距離 $h$ について

$h² =(x1-(-ac+b²x1-aby1)/(a²+b²))² + (y1-(-bc-abx1+a²y1)/(a²+b²))² =1/(a² +b²)² {(a² x1 + b² x1 . +ac - b²x1 +aby1)² .+(a² y1 +b² y1 +bc +abx1 -a²y1)²} =1/(a² +b²)²{a²(ax1 +c +by1)² . . + b²(by1 +c +ax1)²} =1/(a² +b²)²(a² + b²)(ax1 +c +by1)² =(ax1 +by1+c)²/(a² +b²)$

よって $h=vmatrixax1 +by1 +cvmatrix\sqrt(a² +b²)$ を得る。これは、 $a = 0$ のときも $b = 0$ のときも成立する.

定理4点と直線の距離

直線 $ax + by + c = 0$ と点 $(x1, y1)$ の距離 $h$ は

$h=vmatrixax1 +by1 +cvmatrix\sqrt(a² +b²)$

で求められる。

直線 ax+by+c=0 とその外にある点 (x1, y1) が描かれ、点 (x1, y1) から直線へ下ろした垂線の長さが h と示されている。

問題6点と直線の距離-その1-

それぞれ与えられた直線 $l$ と一点 $A$ について、直線 $l$ と点 $A$ の距離を求めよ。

$： l ：2x - y + 4 = 0, A(2, - 1)$
$： l ：3x - 4y - 2 = 0, A(0, 0)$
$： l ：3x - 4y - 2 = 0, A( - 4, - 4)$
$： l ： - 3x + 2y + 1 = 0, A(2, 2)$

解答を見る

$vmatrix2・ 2 - (-1) +4vmatrix\sqrt(2² + (-1)²)=vmatrix9vmatrix\sqrt5 =9\sqrt5/5$
$vmatrix3・ 0 - 4 ・ 0 -2vmatrix\sqrt(3² + (-4)²)=vmatrix-2vmatrix\sqrt25 =25$
$vmatrix3・ (-4) - 4 ・ (-4) -2vmatrix\sqrt(3² + (-4)²)=vmatrix2vmatrix\sqrt25 =25$
$vmatrix-3・ 2 + 2 ・ 2 +1vmatrix\sqrt((-3)² + 2²)=vmatrix-1vmatrix\sqrt13 =\sqrt13/13$

問題7点と直線の距離-その2-

直線 $： l ：3x - 4y - k = 0$ と $A(2, 1)$ の距離が $3$ であるとき、 $k$ の値を求めよ。
直線 $： l ：2kx + y - 2 = 0$ と $A(2, 1)$ の距離が $1$ であるとき、 $k$ の値を求めよ。

解答を見る

直線 $l$ と $A$ の距離は $vmatrix3・ 2 -4 ・ 1 -kvmatrix\sqrt(3²+4²)$ であるので

$vmatrix3・ 2 -4 ・ 1 -kvmatrix\sqrt(3²+4²)=3 \Leftrightarrow vmatrix2-kvmatrix5=3 \Leftrightarrow vmatrix2-kvmatrix=15$

$2-k=\pm 15$ を解いて、 $k=17,-13$ を得る.

直線 $l$ と $A$ の距離は $vmatrix(2k)・ 2 + 1 -2vmatrix\sqrt((2k)²+1²)$ であるので

$vmatrix(2k)・ 2 + 1 -2vmatrix\sqrt((2k)²+1²)=1 \Leftrightarrow vmatrix4k-1vmatrix\sqrt(4k² +1)=1 \Leftrightarrow vmatrix4k-1vmatrix=\sqrt(4k²+1)$

両辺とも正なので、両辺2乗して

$vmatrix4k-1vmatrix² =(4k-1)²,$ $vmatrix4k-1vmatrix=4k-1$ のときも、 $vmatrix4k-1vmatrix=-(4k-1)$ のときも、 2乗すれば $(4k-1)²$ になる。

$\Leftrightarrow (4k-1)²=4k² +1 \Leftrightarrow 12k² -8k=0 ∴k=0, 23$

問題8三角形の面積-その1-

原点を $O$ とし、 $A(a1, a2)$ 、 $B(b1, b2)$ とする。ただし、 $a1\neq b1$ とする。

原点から直線 $AB$ へ引いた垂線の長さ $h$ を求めよ。
線分 $AB$ の長さを求め、 $△OAB$ の面積を求めよ。

解答を見る

原点 $O$ と直線 $AB$ の間の距離が $h$ と一致する。

直線 $AB$ は、 $A$ を通り傾き $(b2-a2)/(b1-a1)$ の直線であるので、その方程式は

$y-a2 =(b2-a2)/(b1-a1)(x-a1) \Leftrightarrow (b1-a1)y - (b1 -a1)a2 =(b2-a2)x - (b2 -a2)a1 \Leftrightarrow -(b2 -a2)x +(b1-a1)y -a2b1 + a1b2=0$

と表される。よって、求める垂線の長さ $h$ は次のようになる。

$h=1/\sqrt({-(b2 -a2)}²+(b1-a1)²) \times |-(b2 -a2) \times 0 +(b1-a1)\times 0 . . -a2b1 + a1b2|$

点と直線の距離

$=vmatrixa1b2 -a2b1vmatrix\sqrt((b1-a1)²+ (b2 -a2)²)$
$AB=\sqrt((b1-a1)²+ (b2 -a2)²)$

、 $△OAB=12 ・ AB ・ h$ より

2点間の距離

$△OAB =(1/2)\sqrt((b1-a1)²+ (b2 -a2)²) ・vmatrixa1b2 -a2b1vmatrix\sqrt((b1-a1)²+ (b2 -a2)²) =12vmatrixa1b2 -a2b1vmatrix$

上の結果は、 $a1 = b1$ のときにも成り立ち、次のようにまとめられる.

定理5三角形の面積-点と直線の距離-

3点 $O(0, 0), A(a1, a2), B(b1, b2)$ を頂点とする $△OAB$ の面積 $S$ は

$S=12vmatrixa1b2 -a2b1vmatrix$

である。

座標平面上に、原点Oと、第2象限にある点A(a1, a2)、第1象限にある点B(b1, b2)を頂点とする△OABが描かれ、その内部が灰色に塗られている。

問題9三角形の面積-その2-

$O(0, 0), A(2, 1), B( - 3, 2)$ のとき、 $△OAB$ の面積を求めよ。
$M(1, 2), A(3, 4), B(4, - 3)$ とする。 $M$ が原点 $O$ と一致するよう $△MAB$ を平行移動したとき、 $A, B$ の座標は $A', B'$ に移動したとする。 $A', B'$ の座標を求め、 $△OA'B'$ の面積を求めよ。また、 $△MAB$ の面積はいくらか。

解答を見る

$△OAB=1/2vmatrix2 ・ 2 -1・ (-3)vmatrix$ $=1/2vmatrix7vmatrix=7/2$

三角形の面積
$x$ 軸方向に $- 1, y$ 軸方向に $- 2$ 平行移動するので

$A(3, 4) \to A'(2, 2)$ $B(4,-3) \to B'(3,-5)$

よって、

$△OA'B'=1/2vmatrix2・(-5) - 2・ 3vmatrix$

$=1/2 vmatrix-16vmatrix=8$

また、 $△MAB$ を平行移動して $△OA'B'$ になったので、 $△MAB=△OA'B'=8$ 。

三角形の面積

最終更新: 2026-09-30

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質問の内容

数学II 第2章 図形と方程式 — 直線の方程式

直線の方程式について

通る1点と傾きが与えられた直線の方程式

定理1通る1点と傾きが与えられた直線の方程式

問題1直線の方程式-その1-

通る2点が与えられた直線の方程式

定理2通る2点が与えられた直線の方程式

問題2直線の方程式-その2-

直線の方程式の標準形

直線の集まりとして式をみる方法

問題3直線の集まりとして式をみる-その1-

問題4直線の集まりとして式をみる-その2-

直線の平行と垂直

直線の平行と垂直について

定理3直線の平行と垂直

問題5与えられた点を通り与えられた直線に直交する直線の方程式

直線に対して対称な点

直線に対して対称な点について

暗記1直線に対して対称な点

点と直線の距離

点と直線の距離について

定理4点と直線の距離

問題6点と直線の距離-その1-

問題7点と直線の距離-その2-

問題8三角形の面積-その1-

定理5三角形の面積-点と直線の距離-

問題9三角形の面積-その2-

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