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円と直線の交点

円と直線の交点について，グラフの交点の座標と連立方程式の実数解は一致する．

円と直線の共有点の座標

座標平面上に円C:x2+y2=5があるとき，以下の問いに答えよ．

  1. 直線l1:x+y=3と円Cの共有点があれば，すべて求めよ．

  2. 直線l2:x+y=4と円Cの共有点があれば，すべて求めよ．

  1. 直線l1と円Cの共有点は，連立方程式

    {x+y=3x2+y2=5

    の解に一致する．上の式を，下の式をとするとき，(1)よりy = 3 – xであるので， これを\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou2}に代入すれば

    \begin{align} &x^2+(3-x)^2=5\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -6x+9=5\\ \Leftrightarrow~&x^2 -3x+2=0 \end{align}

    これを解いてx=1,~2． \eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}より，求める共有点の座標は\boldsymbol{(2,~1),~(1,~2)}．

    ←\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}に代入してyを解く．x=1のときy=2，x=2のときy=1となる．

  2. 直線l_2と円Cの共有点は，連立方程式

    \begin{cases} x+y=4\\ x^2+y^2=5 \end{cases}

    の解に一致する．上の式を\tag{3}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou3}，下の式を\tag{4}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou4}とするとき， \eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}よりy = 4 – xであるので， これを\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}に代入すれば

    \begin{align} &x^2+(4-x)^2=5~~\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -8x+11=0 \end{align} \tag{5}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou5}

    となる．2次方程式\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}の判別式をDとすると

    \dfrac{D}{4}=4^2 -2\cdot 11=-6<0

    であるので，\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}は実数解を持たない． つまり，

    l_2とCは共有点を持たない．

    ←\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}は実数解を持たないことは，連立方程式\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}，\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}は実数解を持たないことになるため．