円と直線の交点

円と直線の交点について，グラフの交点の座標と連立方程式の実数解は一致する．

円と直線の共有点の座標

座標平面上に円$C:x^2+y^2=5$があるとき，以下の問いに答えよ．

  1. 直線$l_1:x+y=3$と円$C$の共有点があれば，すべて求めよ．

  2. 直線$l_2:x+y=4$と円$C$の共有点があれば，すべて求めよ．

  1. 直線$l_1$と円$C$の共有点は，連立方程式

    \begin{cases} x+y=3\\ x^2+y^2=5 \end{cases}

    の解に一致する．上の式を$\tag{1}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$，下の式を$\tag{2}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou2}$とするとき，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$より$y = 3 – x$であるので， これを$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou2}$に代入すれば

    \begin{align} &x^2+(3-x)^2=5\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -6x+9=5\\ \Leftrightarrow~&x^2 -3x+2=0 \end{align}

    これを解いて$x=1,~2$． $\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$より，求める共有点の座標は$\boldsymbol{(2,~1),~(1,~2)}$．

    ←$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$に代入して$y$を解く．$x=1$のとき$y=2，x=2$のとき$y=1$となる．

  2. 直線$l_2$と円$C$の共有点は，連立方程式

    \begin{cases} x+y=4\\ x^2+y^2=5 \end{cases}

    の解に一致する．上の式を$\tag{3}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$，下の式を$\tag{4}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$とするとき， $\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$より$y = 4 – x$であるので， これを$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$に代入すれば

    \begin{align} &x^2+(4-x)^2=5~~\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -8x+11=0 \end{align} $\tag{5}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$

    となる．2次方程式$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$の判別式を$D$とすると

    \[\dfrac{D}{4}=4^2 -2\cdot 11=-6<0\]

    であるので，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$は実数解を持たない． つまり，

    $l_2$と$C$は共有点を持たない．

    ←$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$は実数解を持たないことは，連立方程式$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$，$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$は実数解を持たないことになるため．