座標平面上の円を図形的に考える

図形に置き換えて考えると， 円と直線の関係は「直線と円の中心の距離」で決まる． この視点から考えると，次のように考えることができる．

暗記円と直線の共有点の個数

座標平面上の円$C:x^2+y^2=5$と直線$l:x+y=k$が，共有点を持つような実数$k$の範囲を求めたい． 以下の$\fbox{?}$に入る式・言葉・値を答えよ．

  1. 直線$l$と円$C$の共有点は，連立方程式$\fbox{A}$ の実数解に一致する．つまり，この連立方程式が$\fbox{B}$ような$k$の範囲を求めればよい．

    連立方程式$\fbox{A}$から$y$を消去し，$x$の2次方程式$\fbox{C}$を得る．

    この2次方程式が実数解を持つことから，不等式$\fbox{D}$を得る．

    これを解いて，求める$k$の範囲は$\fbox{E}$と分かる．

  2. 条件「直線$l:x+y=k$が円$C$と共有点を持つ」は

    条件「直線$l:x+y=k$と円$C$の中心の距離が，$\fbox{F}$以下である」

    と必要十分条件である．

    直線$l$と円$C$の中心$(0,~0)$の距離は $\fbox{G}$であるので不等式$\fbox{H}$を得る． これを解いて，求める$k$の範囲は$\fbox{E}$と分かる．

$\fbox{A}:$ \begin{cases} \boldsymbol{x+y=k}\\ \boldsymbol{x^2+y^2=5} \end{cases}

$\fbox{B}:$実数解を持つ

$\fbox{C}:~\boldsymbol{x^2+(k-x)^2=5}$
$\left(\Leftrightarrow~\boldsymbol{2x^2 -2kx+k^2-5=0}\right)$

←$\fbox{A}$より上の式を変形すると，$y = k – x$なので， それを下の式に代入すればよい

$\fbox{D}:\dfrac{D}{4}=\boldsymbol{k^2 -2(k^2-5)\geqq 0 }$
$\left(\Leftrightarrow~\boldsymbol{-k^2+10\geqq 0}\right)$

←実数解を持つ~$\Leftrightarrow$~(判別式)$\geqq 0 \ \ \ D=(2k)^2 -4\cdot 2\cdot (k^2-5)\geqq 0$でもよい

$\fbox{E}:\boldsymbol{-\sqrt{10}\leqq k \leqq \sqrt{10}}$

$\fbox{F}:~\boldsymbol{\sqrt{5}}$(または円$C$の半径)

$\fbox{G}:\boldsymbol{\dfrac{|-k|}{\sqrt{1^2+1^2}}}\left(=\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{2}}}\right)$

←直線$x + y − k = 0$と点$(0,~0)$の距離を 点と直線の距離で計算

$\fbox{H}:\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{2}} \leqq \sqrt{5}} ~\left(\Leftrightarrow~ \boldsymbol{|k| \leqq\sqrt{10}}\right)$

「円と直線の共有点」について

円$(x-p)^2 + (y-q)^2=r^2$と直線$ax+by+c=0$を考えるとき

円$(x-p)^2 + (y-q)^2=r^2$と直線$ax+by+c=0$の共有点の個数

方程式$ax+by+c=0$と$(x-p)^2 + (y-q)^2=r^2$を連立して得られる2次方程式の判別式$D$

円の中心$(p,~q)$と直線$ax+by+c=0$の距離$d=\dfrac{|ap + bq +c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

について，次のようにまとめることができる．

円と直線の共有点の個数2個
円と直線の位置関係「円と直線の共有点」についての図その１
連立方程式の判別式$D$ $D \gt 0$
$(p,q)$と直線の距離$d$ $d \gt r $

円と直線の共有点の個数1個
円と直線の位置関係「円と直線の共有点」についての図その２
連立方程式の判別式$D$ $D = 0$
$(p,q)$と直線の距離$d$ $d = r $

円と直線の共有点の個数0個
円と直線の位置関係「円と直線の共有点」についての図その３
連立方程式の判別式$D$ $D \lt 0$
$(p,q)$と直線の距離$d$ $ d \lt r$

吹き出し座標平面上の円を図形的に考える

これは暗記するようなものではない． 必ず簡単なグラフを描いて考えよう．

円が切り取る線分の長さ

無題

無題

円$C:x^2+y^2=6$と直線$l:x+2y=k$が2点$A，B$で交わり，$AB = 2$であるとき， $k$の値を求めたい． 以下の$\fbox{?}$に入る式・言葉・値を答えよ．

図のように，円の中心を$O$とし，$O$から直線$x+2y=k$へ下ろした垂線の足を$H$とおく． このとき，$\text{OA}=\fbox{A},~\text{AH}=\fbox{B}$であるので，三平方の定理より，$ \text{OH}=\fbox{C}$．

ところで，$OH$の長さは，点$O$と直線$\fbox{D}$の距離に一致するので， 点と直線の距離より

\[\text{OH}=\fbox{E}\]

よって，方程式$\fbox{E}=\fbox{C}(=\text{OH}) $を解けば，$ k=\fbox{F}$と求められる．

$\fbox{A}:\boldsymbol{\sqrt{6}}$

$\fbox{B}:\dfrac{1}{2}\text{AB}=\boldsymbol{1}$

$\fbox{C}:\sqrt{(\sqrt{6})^2 -1^2}=\boldsymbol{\sqrt{5}}$

$\fbox{D}:$(直線)$\boldsymbol{x+2y=k}$

$\fbox{E}:\boldsymbol{\dfrac{|0 +2\cdot 0 -k|}{\sqrt{1^2+2^2}}}=\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{5}}}$

←直線$x + 2y − k = 0$と点$(0,~0)$の距離を点と直線の距離で計算

$\fbox{F}:\dfrac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} ~~~\Leftrightarrow ~~|k|=5$， つまり，$\boldsymbol{k=\pm 5}$．

吹き出し座標平面上の円を図形的に考える

上の例題は，$A，B$の座標を求めて$AB$の長さを$k$で表し， それが$2$になることから解くこともできるが， 計算が大変である． この例題のように，交点が複雑な形になる場合は， 問題を図形的に考えると計算が簡単に済む．