組立除法

ここでは，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で割ったときの商と余りを求めることを例として， 具体的な計算方法を見ていく．

ここではまず，組立除法(synthetic division)という計算方法について学ぶ．

$a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$を$x – \alpha $で割ったときの，商を$b_0x^2 + b_1x + b_2$，余りを$R$とすると

\begin{align} &a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\\ =&(x-\alpha)(b_0x^2+b_1x+b_2)+R \end{align}

と表せるが，右辺を展開して整理すると

\begin{align} &a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\\ =&b_0x^3+(b_1-\alpha b_0)x^2\\ &+(b_2-\alpha b_1)x+R-\alpha b_2 \end{align}

となるので，両辺の係数を比較することにより

\begin{align} &a_0=b_0~,~~a_1=b_1-\alpha b_0~,~~\\ &a_2=b_2-\alpha b_1~,~~a_3=R-\alpha b_2 \end{align}

が成り立つ．

これから，$b_0，b_1，b_2，b_3，R$を解くことにより，商の係数や余りは

\begin{align} &b_0=a_0~,~~b_1=a_1+\alpha b_0~,~~\\ &b_2=a_2+\alpha b_1~,~~R=a_3+\alpha b_2 \end{align}

と計算できる．

この計算の手順は，右上の図のように考えればよい．

たとえば，$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$を$x – 2$で割ったときには，右図のような計算結果になるので

商は$x^2 − 2x − 2 $余り1

と求まる．