多項式の除法

FTEXT数学Iでは、多項式の加法、減法、乗法について学んだ。ここでは、多項式の除法について学ぶ。多項式の除法は、普通の整数の除法(割り算)に相当するものであるが、似て非なるものなので注意して見ていこう。

多項式の除法の基本定理

整数の割り算（多項式の除法）

無題
無題 （注）

まず，小学校以来慣れ親しんできた，整数の除法(integer division)について復習する．

たとえば，右図のような計算により，$17$を$3$で割ると，商は$5$で余りは$2$とわかる．この関係を式で表すと

\begin{align} 17=3\times5+2 \end{align}

となる．

このとき，$17$を割られる数，$3$を割る数と呼ぶので，一般的には次のような関係が成り立つ．

（割られる数）$＝$（割る数）$\times$（商）$＋$（余り）

また，（割る数）$\gt$（余り）$\geqq 0$の関係がある．

整数の除法とは何か，つまり整数$a$を整数$b$で割ったときの商と余りを求めるとはどういうことなのかを きちんと定義すると

\begin{align} a=b\cdot Q+r~~(0\leqq{r}\lt Q) \end{align}

を満たす整数$Q$と$r$を求めることとなる. そして，この求まった値$Q$と$r$をそれぞれ，商と余りと呼ぶのである．

多項式の次数の表し方

まず，多項式の次数を表す記号を定義しておこう．

多項式の次数

多項式$f(x)$の次数を$deg \ f(x)$と表す．

たとえば，$f(x) = x3 − 4x2 + 5x − 1，$
$g(x) = 3x2 − 4x + 5$とするとき，$deg \ f(x) = 3，deg \ g(x) = 2$である．

多項式の除法について

整数の除法に続き，今度は多項式の除法(polynomial division)について考えてみる．

たとえば，「$x^3 – x^2 + 2x – 3$を$x^2 + 2x – 1$で割る」とは

\begin{align} &x^3-x^2+2x-3\\ =&(x^2+2x-1)Q(x)+r(x) \end{align}

と変形することであると定義する． ただし，このとき$Q(x)，r(x)$は共に$x$の多項式であり，$deg(x^2 + 2x − 1) \gt deg \ r(x)$であるとする． この結果の$Q(x)$と$r(x)$をそれぞれ， 多項式の除法における商(quotient)と 余り(remainder)と呼ぶ．

多項式の除法

多項式$f(x)，g(x)$において

\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad\left(\deg \ r(x) \lt \deg \ g(x)\right) \end{align}

と変形できたとき，$Q(x)$を商，$r(x)$を余りという．

特に，余り$r(x)$が$0$のとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れるという．

さきほどの例では，商$Q(x)$は$x – 3$，余り$r(x)$は$9x – 6$となる．つまり

\begin{align} &x^3-x^2+2x-3\\ =&(x^2+2x-1)\times(x-3)+(9x-6) \end{align}

となる．各自，以下の2点について確認しておこう．

  1. 上の式の右辺を展開すると左辺と等しいこと
  2. $x^2 + 2x – 1$の次数が余り$9x – 6$の次数より大きいこと

以下では，多項式の除法の計算方法についてみていく．

多項式の除法の計算方法

多項式の除法の計算方法

ここでは， $x^4 + 3x^3 – 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求める方法を 例として，具体的な計算方法を見ていく． 計算方法には次の2つの方法がある．

除法の計算方法～筆算形式～

$x^4 + 3x^3 − 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求めよ．

STEP1

まず，整数の割り算と同じように，下図のように書いておく．この例題では，割られる多項式には$x^2$の項はないが，その場合でも 適度にスペースを空け，計算できるようにしておく．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その１

STEP2

$x^2 − 3x + 1$に何をかけて引くと，$x^4 + 3x^3 − 4x + 2$の最高次の項$x^4$が消えるかを考える． この例題では$x^2$なので，$x^2$を下図のように書く．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その２

STEP3

下図のようにして，$x^2 − 3x + 1$に$x^2$をかけた式を$x^4 + 3x^3 − 4x + 2$から引く．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その３

STEP4

STEP2と同じように，$6x^3$が消えるように$x^2 − 3x + 1$に$6x$をかけて引く．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その４

STEP5

同じように，$17x^2$が消えるように$x^2 − 3x + 1$に$17$をかけて引く．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その５

STEP6

最下段の$41x – 15$の次数が，割る多項式$x^2 − 3x + 1$の次数より低いので，ここでやめる．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その６

この結果から \begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2+6x+17)(x^2-3x+1)+41x-15 \end{align} となることがわかり，商は$x^2 + 6x + 17$，余りは$41x – 15$とわかる．

吹き出し多項式の除法の計算方法

慣れてきたら$x^4$や$x^3$などを省略し，係数だけを並べて筆算するとよい． 上の計算では次のようになる．

多項式の除法の一意性の図

除法の計算方法～暗算形式～

$x^4 + 3x^3 − 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求めよ．

STEP1

まず，右辺を展開したときに$x^4$が現れるように，下のように書く．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2~~~~~~~~~~) \end{align}

STEP2

このままでは，右辺の$x^3$の係数は$ − 3$となり，左辺の$3$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 6x$を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x^3$の係数が$3$となり，左辺とあう．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x~~~~~) \end{align}

STEP3

しかし，このままでは，右辺の$x^2$の係数は$ − 17$となり，左辺の$0$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 17$を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x^2$の係数が$0$となり，左辺とあう．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17) \end{align}

STEP4

しかし，このままでは，右辺の$x$の係数は $− 45$となり，左辺の$ − 4$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために$ + 41x$を右のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x$の係数が$ − 4$となり，左辺とあう．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17)+41x \end{align}

STEP5

最後に，右辺の定数項$17$と左辺の定数項$2$を合わせるため，右のように$ − 15$を書く． こうすれば，右辺を展開したときの定数項が$17$となり，左辺とあう．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17)\\ &+41x-15 \end{align}

この結果から，商は$x^2 + 6x + 17$，余りは$41x – 15$とわかる．

吹き出し多項式の除法の計算方法

以上2つの方法を見てきたが，慣れると『暗算形式』の方が『筆算形式』より素早く計算できる． 多項式の係数に分数が含まれる場合など，暗算での計算が難しくなる場合には『筆算形式』を使うとよい．

多項式の除法～その１～

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを求めよ．

  1. $x^2 + 2x + 1，x – 1$
  2. $x^3 + 3，x + 1 $
  3. $x^3 + x^2 + 4x + 3，x^2 − x + 1$
  4. $ x^4 + 2x^3 − 3x^2 + 5x + 6，x^2 + x − 1 $

  1. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

    \begin{align} x^2+2x+1=(x-1)(x+3)+4 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

    多項式の除法～その１～の解答の図その１

  2. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

    \begin{align} x^3+3=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

    多項式の除法～その１～の解答の図その２

  3. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

    \begin{align} &x^3+x^2+4x+3\\ =&(x^2-x+1)(x+2)+5x+1 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x+2}$，余りは$\boldsymbol{5x+1}$である．

    多項式の除法～その１～の解答の図その３

  4. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

    \begin{align} & x^4+2x^3-3x^2+5x+6\\ =&(x^2+x-3)(x^2+x-1)+9x+3 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x-3}$，余りは$\boldsymbol{9x+3}$である．

    多項式の除法～その１～の解答の図その４

多項式の除法～その２～

  1. $ x^2 + 2x – 3$で割ると，商が$x + 1$，余りが$x + 2$になる多項式を求めよ.

  2. $2x^3 − 3x^2 + 2x + 4$を割ると，商が$2x + 1$，余りが$2x + 3$になる多項式を求めよ．

  1. 求める多項式を$f(x)$とすると，商が$x + 1$，余りが$x + 2$であるから

    \begin{align} f(x) &=(x+1)(x^2+2x-3)+x+2 \\ &=x^3+3x^2-x-3+x+2\\ &=\boldsymbol{x^3+3x^2-1} \end{align}
  2. 多項式の除法～その２～の解答の図

    求める多項式を$f(x)$とおくと

    \begin{align} &2x^3-3x^2+2x+4\\ &=f(x)(2x+1)+2x+3\\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)=2x^3-3x^2+1 \\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)\\ &=(2x+1)(x^2-2x+1)\\ \therefore~&f(x)=x^2-2x+1 \end{align}

    であるから，求める多項式は$\boldsymbol{x^2-2x+1}$である．

多項式の除法の一意性

（注）

ここまで計算してきた経験から，多項式の除法では，商や余りが必ず存在し，さらにそれらが一通りに定まることは明らかであろう．

一般に，ある定義で定められたものがただ一通りに定まることを一意性(uniqueness)という ．次に，多項式の除法の一意性について，まとめておこう．

多項式の除法の一意性

多項式$f(x)，g(x)$において

\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad(\deg r(x) \lt \deg g(x)) \end{align}

を満たす多項式$Q(x)，r(x)$が

ただ一通りに

存在する．

【証明：背理法】

多項式$f(x)$と$g(x)$について

$f(x)=g(x)Q_1(x)+r_1(x)$
$\deg r_1(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{1}\label{takousikinozyohounoitiisei1}$

$f(x)=g(x)Q_2(x)+r_2(x)$
$\deg r_2(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{2}\label{takousikinozyohounoitiisei2}$

と2通りに表されたとする．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei1}-\eqref{takousikinozyohounoitiisei2}$より

\begin{align} &0=g(x)Q_1(x)+r_1(x)\\ &-g(x)Q_2(x)-r_2(x)\\ \Leftrightarrow~&g(x)\left\{Q_1(x)-Q_2(x)\right\}\\ &=r_2(x)-r_1(x) \end{align} $\tag{3}\label{takousikinozyohounoitiisei3}$

となる．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei3}$において，$Q_1(x) – Q_2(x)$が$0$ではないとすると，左辺の次数が右辺の次数より大きくなってしまう． よって，$Q_1(x) – Q_2(x)$は$0$，つまり$Q_1(x) = Q_2(x)$である．

また，このとき③の左辺は$0$となるので

\begin{align} &0=r_2(x)-r_1(x)\\ \Leftrightarrow~&r_1(x)=r_2(x) \end{align}

以上より，商と余りが一致することが示されたので，多項式の除法の商と余りは一通りに定まることが証明された．

1次の多項式の除法の計算方法

1次の多項式の除法の計算方法

多項式の除法において，特に1次式で割る場合には，前節で紹介した2つの方法以外にも， 覚えておきたい計算方法が2つある．

組立除法

ここでは，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で割ったときの商と余りを求めることを例として， 具体的な計算方法を見ていく．

ここではまず，組立除法(synthetic division)という計算方法について学ぶ．

$a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$を$x – \alpha $で割ったときの，商を$b_0x^2 + b_1x + b_2$，余りを$R$とすると

\begin{align} &a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\\ =&(x-\alpha)(b_0x^2+b_1x+b_2)+R \end{align}

と表せるが，右辺を展開して整理すると

組立除法の図その１
\begin{align} &a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\\ =&b_0x^3+(b_1-\alpha b_0)x^2\\ &+(b_2-\alpha b_1)x+R-\alpha b_2 \end{align}

となるので，両辺の係数を比較することにより

\begin{align} &a_0=b_0~,~~a_1=b_1-\alpha b_0~,~~\\ &a_2=b_2-\alpha b_1~,~~a_3=R-\alpha b_2 \end{align}

が成り立つ．

これから，$b_0，b_1，b_2，b_3，R$を解くことにより，商の係数や余りは

\begin{align} &b_0=a_0~,~~b_1=a_1+\alpha b_0~,~~\\ &b_2=a_2+\alpha b_1~,~~R=a_3+\alpha b_2 \end{align}

と計算できる．

この計算の手順は，右上の図のように考えればよい．

組立除法の図その２

たとえば，$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$を$x – 2$で割ったときには，右図のような計算結果になるので

商は$x^2 − 2x − 2 $余り1

と求まる．

例題(組立除法)

$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で割ったときの商と余りを組立除法で計算せよ．

組立除法を実行すると

例題(組立除法)の解答の図

となるので，商は$\boldsymbol{x^2+4x+11}$，余りは$\boldsymbol{23}$となる．

$x-a$で展開するということ

たとえば，多項式$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$は

\begin{align} &x^3-4x^2+2x+5\\ =&(x-1)^3-(x-1)^2-3(x-1)+8 \end{align}

のように表すことができる（右辺を展開して左辺と等しくなることを確かめてみよ）． このような変形を行ったとき，右辺のような形の式のことを$x – 1$で展開された式という．

このように変形するには，次の手順を踏めばよい．

STEP1

まず，$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$の各項から，無理やり$(x − 1)$をくくる． このとき，$x = (x − 1) + 1$とみるのがポイントである．

\begin{align} & x^3-4x^2+2x+5\\ =&\left\{(x-1)+1\right\}^3-4\left\{(x-1)+1\right\}^2\\ &+2\left\{(x-1)+1\right\}+5 \end{align}

STEP2

次に，$(x − 1)$のかたまりを崩さないように，展開していく．

\begin{align} &\left\{(x-1)+1\right\}^3-4\left\{(x-1)+1\right\}^2\\ &+2\left\{(x-1)+1\right\}+5\\ &=\left\{(x-1)^3+3(x-1)^2\right.\\ &\qquad\left. +3(x-1)+1\right\}\\ &\qquad-4\left\{(x-1)^2+2(x-1)+1\right\}\\ &\qquad+2\left\{(x-1)+1\right\}+5 \end{align}

STEP3

最後に，同類項どうしで整理する．

\begin{align} &\left\{(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1\right\}\\ &\qquad-4\left\{(x-1)^2+2(x-1)+1\right\}\\ &\qquad+2\left\{(x-1)+1\right\}+5\\ &=(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1\\ &\qquad-4(x-1)^2-8(x-1)\\ &\qquad-4+2(x-1)+2+5\\ &=(x-1)^3-(x-1)^2-3(x-1)+8 \end{align}

このような変形を利用して，1次式の割り算を考えることもできる．

例題($x-a$で展開するということ)

$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で割ったときの商と余りを，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で展開することにより求めよ．

まず，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で展開する．

\begin{align} & x^3+2x^2+3x+1 \\ =&\left\{(x-2)+2\right\}^3+2\left\{(x-2)+2\right\}^2\\ &+3\left\{(x-2)+2\right\}+1\\ =&\left\{(x-2)^3+6(x-2)^2+12(x-2)+8\right\}\\ &\quad+2\left\{(x-2)^2+4(x-2)+4\right\}\\ &+3\left\{(x-2)+2\right\}+1\\ =&(x-2)^3+6(x-2)^2\\ &+12(x-2)+8+2(x-2)^2\\ & +8(x-2)+8+3(x-2)+6+1\\ =&(x-2)^3+8(x-2)^2+23(x-2)+23 \end{align}

次に，この式を$(x − 2)$でくくると

\begin{align} & (x-2)^3+8(x-2)^2+23(x-2)+23\\ &=(x-2)\left\{(x-2)^2+8(x-2)+23\right\}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+23 \end{align}

最後に，中括弧の中を展開すると

\begin{align} & (x-2)\left\{(x-2)^2+8(x-2)+23\right\}+23\\ &=(x-2)(x^2-4x+4+8x-16+23)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+23\\ &=(x-2)(x^2+8x+11)+23 \end{align}

となるので，結局

\begin{align} &x^3+2x^2+3x+1 \\ =&\overbrace{(x-2)}^{A}\overbrace{(x^2+8x+11)}^{B}+\overbrace{23}^{C} \end{align}

と変形できる．

多項式の除法の一意性 より，（$A$の次数）$\gt$（$C$の次数）を満たす関係は一通りに定まるので， 商は$\boldsymbol{x^2+8x+11}$で，余りは$\boldsymbol{23}$となる．

多項式の除法(再)

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを 組立除法と$x – \alpha$で展開する方法の2通りで求めよ．

  1. $ x^2 + 2x + 1，x − 1 $
  2. $ x^3 + 3，x + 1 $
  3. $ x^3 − 4x^2 − 2x + 5，x − 2 $
  4. $ x^3 − 2x^2 − x + 6，x − 3 $

  1. 【解1：組立除法】

    組立除法を行うと

    多項式の除法(再)の解答の図その１

    となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

    【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

    \begin{align} & x^2+2x+1\\ &=\left\{(x-1)+1\right\}^2+2\left\{(x-1)+1\right\}+1\\ &=(x-1)^2+4(x-1)+4\\ &=(x-1)(x-1+4)+4\\ &=(x-1)(x+3)+4 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

  2. 【解1：組立除法】

    組立除法を行うと

    多項式の除法(再)の解答の図その２

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

    【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

    \begin{align} &x^3+3\\ &=\left\{(x+1)-1\right\}^3+3\\ &=(x+1)^3+3(x+1)^2(-1)\\ &\qquad+3(x+1)-1+3\\ &=(x+1)(x^2+2x+1-3x-3+3)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+2\\ &=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

  3. 【解1：組立除法】

    組立除法を行うと

    多項式の除法(再)の解答の図その３

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-2x-6}$，余りは$\boldsymbol{-7}$である．

    【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

    \begin{align} & x^3-4x^2-2x+5\\ &=\!\left\{(x-2)+2\right\}^3\!-\!4\!\left\{(x-2)+2\right\}^2\\ &\qquad-2\!\left\{(x-2)+2\right\}\!+5\\ &=(x-2)\left\{(x-2)^2+2(x-2)-6\right\}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-7\\ &=(x-2)(x^2-2x-6)-7 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-2x-6}$，余りは$\boldsymbol{-7}$である．

  4. 【解1：組立除法】

    組立除法を行うと

    多項式の除法(再)の解答の図その４

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x+2}$，余りは$\boldsymbol{12}$である

    【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

    \begin{align} & x^3-2x^2-x+6\\ &=\!\left\{(x-3)+3\right\}^3\!-2\!\left\{(x-3)+3\right\}^2\\ &\qquad-\left\{(x-3)+3\right\}+6\\ &=\ (x-3)^3+9(x-3)^2+27(x-3)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+27\\ &\quad-2(x-3)^3-6(x-3)\\ &\quad-18-(x-3)-3+6\\ &=(x-3)(x^2+x+2)+12 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x+2}$，余りは$\boldsymbol{12}$である．

剰余の定理と因数定理

剰余の定理

（注）

多項式$f(x)$の$x$に数$a$を代入したときの$f(x)$の値を$f(a)$と書く ．

たとえば，$f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1$とすると

\begin{align} &f(1)=1^3+2\cdot2^2+3\cdot1+1=7\\ &f(0)=0^3+2\cdot0^2+3\cdot0+1=1\\ &f(2)=2^3+2\cdot2^2+3\cdot2+1=23 \end{align}

である．

剰余の定理のための補題

$f(x) = x^4 − 3x^2 + 5x – 8$とする．

  1. $f(x)$を$x – 2$で割ったときの余りを求めよ．
  2. $ f(2)$の値を計算せよ．

無題
無題

  1. 割り算を実行すると

    \begin{align} f(x)=(x-2)(x^3+2x^2+x+7)+6 \end{align}　　　　$\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図

    となるので，余りは$\boldsymbol{6}$である．

  2. $ f(2)=2^4-3\cdot2^2+5\cdot2-8=\boldsymbol{6} $

上の例題では，$f(x)$を$x – 2$で割ったときの余りと，$f(2)$の値が等しくなっているが， これは，偶然に一致したわけではなく，次の理由による．

多項式$f(x)$を1次式$x – a$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり

\begin{align} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align}

が成り立つ．この式に$x = a$を代入すると

\begin{align} f(a)=(a-a)Q(a)+r=r \end{align}

となり，$f(a)$が$f(x)$を$x – a$で割ったときの余り$r$と等しいことがわかる．

剰余の定理

多項式$f(x)$を$x – a$で割ったときの余りは$f(a)$である．

剰余の定理の確認問題

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの余りだけ求めよ（商は求めなくてよい）．

  1. $x^2+2x+1，x-1 $
  2. $x^3+3，x+1$
  3. $ x^3-4x^2-2x+5，x-2 $
  4. $x^3-2x^2-x+6，x-3 $

  1. 剰余の定理より，$f(1)=\boldsymbol{4}$

  2. 剰余の定理より，$f(-1)=\boldsymbol{2}$

  3. 剰余の定理より，$f(2)=\boldsymbol{-7} $

  4. 剰余の定理より，$f(3)=\boldsymbol{12}$

吹き出し剰余の定理

余りを求めるだけならば剰余の定理が大変な威力を発揮する．

暗記剰余の定理の拡張

多項式$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの余りは$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$であることを証明せよ．

$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり，次の関係式が成り立つ．

\begin{align} f(x)=(ax+b)Q(x)+r \end{align}

この式の$x$に$-\dfrac{b}{a}$を代入すると

\begin{align} &f\left(-\dfrac{b}{a}\right) \\ =&\left\{a\cdot\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b\right\}Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+r\\ =&(-b+b)Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+r\\ =&r \end{align}

となり，$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$と余り$r$が等しいことが分かる．

剰余の定理の拡張

多項式$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの余りは$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$となる．

剰余の定理の利用

次の各問に答えよ．

  1. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$2$余り，$x – 2$で割ると$3$余る．$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)$で割ったときの余りを求めよ．

  2. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$3$余り，$(x − 2)(x − 3)$で割ると$3x – 2$余る． $f(x)$を$(x − 1)(x − 2)(x − 3)$で割ったときの余りを求めよ．

  3. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$2$余り，$(x − 2)^2$で割ると$3x – 2$余る．$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)^2$で割ったときの余りを求めよ.

  1. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-1)Q_1(x)+2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 2$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とすると

    \begin{align} f(x) &=(x-1)\left\{Q_2(x)(x-2)+a\right\}+2 \\ &=(x-1)(x-2)Q_2(x)\\ &\qquad\qquad\qquad+ax+2-a \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 2) + a$である

    ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(2)=2a+2-a=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(2) = 3$を使った

    となる．よって，求める余りは$\boldsymbol{x+1}$である．

    【解2：余りの多項式をおく】$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)$で割ったときの，商を$Q_3(x)$，余りを$ax + b$とすると

    \begin{align} f(x)=(x-1)(x-2)Q_3(x)+ax+b \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    である．ここで，剰余の定理より

    $\left(f(1)=\right)a+b=2　　　　\blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    $\left(f(2)=\right)2a+b=3　　　\blacktriangleleft f(2) = 3$を使った

    これを解くと$a = 1，b = 1$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x+1}$である．

  2. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$(x − 2)(x − 3)$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)(x-3)Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とすると

    \begin{align} f(x) &=(x-2)(x-3)\left\{Q_2(x)(x-1)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left. +a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)(x-3)Q_2(x)\\ &\qquad+a(x-2)(x-3)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$である.

    である．ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(1)=a(-1)(-2)+3-2=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(1) = 3$を使った

    となる．よって，求める余りは$(x-2)(x-3)+3x-2=\boldsymbol{x^2-2x+4}$である．

    【解2:余りの多項式をおく】$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)(x − 3)$で割ったときの，商を$Q_3(x)$，余りを$ax^2 + bx + c$とすると

    \begin{align} &f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q_4(x)\\ &\qquad+ax^2+bx+c \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    ここで，剰余の定理より$f(1) = 3，f(2) = 4，f(3) = 7$なので

    $\left(f(1)=\right)a+b+c=3　　　\blacktriangleleft f(1) = 3$を使った

    $\left(f(2)=\right)4a+2b+c=4　　\blacktriangleleft f(2) = 4$を使った

    $\left(f(3)=\right)9a+3b+c=7　　\blacktriangleleft f(3) = 7$を使った

    これを解くと$a = 1，b = − 2，c = 4$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x^2-2x+4}$である．

  3. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$(x − 2)^2$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とおくと，

    \begin{align} f(x) &=(x-2)^2\left\{Q_2(x)(x-1)+a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)^2Q_2(x)\\ &\qquad\qquad+a(x-2)^2+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$である

    ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(1)=a(-1)^2+3-2=2 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    であるから，求める余りは$(x-2)^2+3x-2=\boldsymbol{x^2-x+2}$である．

    【解2：余りの多項式をおく（微分法を使う）】

    $f(x)$を$(x − 2)^2$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．この式を$x$で微分すると

    \begin{align} &f'(x) \\ =&(x-2)Q_1(x)+(x-2)^2{Q_1}'(x)+3 \\ =&(x-2)\left\{Q_1(x)+(x-2){Q_1}'(x)\right\}+3 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$微分の計算法則の関数の積の微分法を使った

    $Q_1(x) + (x − 2)Q_1'(x)$は多項式なので，これを$Q_2(x)$とおくと

    $f'(x)=(x-2)Q_2(x)+3$

    $\therefore~ f'(2)=3$

    $\tag{1}\label{zyouyonoteirinoriyou}$

    いま，$f(x)$を$(x − 1)(x − 2)^2$でわったときの商を$Q_3(x)$，余りを$ax^2 + bx + c$とおくと，

    $f(x)=(x-1)(x-2)^2Q_3(x)$
    $+ax^2+bx+c$

    $f'(x)=((x-2)$を因数に持つ多項式$)+2ax+b$

    であるから

    \begin{align} f'(2)=4a+b=3 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{zyouyonoteirinoriyou}$を使った

    さらに，剰余の定理より

    $f(1)=a+b+c=2 \blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    $f(2)=4a+2b+c=4 \blacktriangleleft f(2) = 4$を使った

    これを解くと$a = 1，b = − 1，c = 2$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x^2-x+2}$である．

因数定理

多項式$f(x)$を1次式$x – a$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり

\begin{align} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align}

が成り立つ．この式に$x = a$を代入すると

\begin{align} f(a)=(a-a)Q(a)+r=r \end{align}

となり，$f(a) = r$がわかり，これが剰余の定理だった．

特に，$f(x)$が$x – a$で割り切れる，つまり$\left(r=\right)~f(a)=0$のとき

\begin{align} f(x)=(x-a)Q(x) \end{align}

と表すことができる． さらにいいかえるならば，$x – a$は$f(x)$の因数になっている．

因数定理

$f (x)$を多項式とすると

「$x – a$が$f (x)$の因数である」$\Longleftrightarrow$「$f (a) = 0$」

この因数定理（factor theorem）を利用して，多項式の因数分解をすることができる． 次の例題で具体的にみていこう．

因数定理による因数分解-その1-

因数定理を利用して，次の式を因数分解せよ．

  1. $x^3+3x^2-4$
  2. $2x^3-7x^2+9$
  3. $x^4-6x^3+7x^2+6x-8$
  4. $x^4-8x^3-2x^2+72x-63$

$f(1)$や$f( − 1)$などを計算してみて$0$になるものをみつける．

  1. $f(x) = x3 + 3x2 – 4$とおく．

    \begin{align} f(1)=1+3-4=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f( − 2) = 0$を見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} f(x)&=(x-1)(x^2+4x+4)\\ &=\boldsymbol{(x-1)(x+2)^2} \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その１

  2. $f(x) = 2x3 − 7x2 + 9$とおく．

    \begin{align} f(-1)=-2-7+9=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$f(x)$は$x + 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f(3) = 0$や$f(\dfrac{3}{2})=0$を見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} f(x)&=(x+1)(2x^2-9x+9)\\ &=\boldsymbol{(x+1)(2x-3)(x-3)} \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その２

  3. $f(x) = x4 − 8x3 + 7x2 + 6x – 8$とおく．

    \begin{align} f(1)=1-6+7+6-8=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f( − 1) = 0$や$f(2) = 0$などを見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} f(x)=(x-1)(x^3-5x^2+2x+8) \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その３

    さらに，$g(x) = x3 − 5x2 + 2x + 8$とおくと

    \begin{align} g(-1)=-1-5-2+8=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$g(x)$は$x + 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$g(2) = 0$や$g(4) = 0$などを見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} g(x)&=(x+1)(x^2-6x+8)\\ &=(x+1)(x-2)(x-4) \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その４

    より，$f(x)=\boldsymbol{(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)}$．

  4. $f(x) = x4 − 8x3 − 2x2 + 72x – 63$とおく．

    \begin{align} f(1)=1-8-2+72-63=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f(3) = 0$や$f( − 3) = 0$などを見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} f(x)=(x-1)(x^3-7x^2-9x+63) \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その５

    さらに，$g(x) = x3 − 7x2 − 9x + 63$とおくと

    \begin{align} g(3)=27-63-27+63=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$g(x)$は$x – 3$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$g( − 3) = 0$や$g(7) = 0$などを見つけてもよい．

    よって説明文

    \begin{align} g(x)&=(x-3)(x^2-4x-21)\\ &=(x-3)(x+3)(x-7) \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その６

    より，$f(x)=\boldsymbol{(x-1)(x-3)(x+3)(x-7)}$である．

多項式$f(x)$を因数定理を利用して因数分解するとき，$f(a) = 0$となる$a$を見つけることが大切である． この$a$を見つける手段として，次の定理を知っておくとよい．

多項式の因数を見つけるための定理

係数$a_0,~a_1,~\cdots,~a_n$がすべて整数である多項式

\begin{align} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \end{align}

に対し，既約分数$\dfrac{p}{q}$が，$f\left(\dfrac{p}{q}\right)=0$を満たすとき

$p$は$a_0$の約数，$q$は$a_n$の約数

である（ただし，約数には負の数も含めるとする）．

この定理の証明は多項式の因数を見つけるための定理を参照のこと．

吹き出し因数定理

$\dfrac{p}{q}$は$\pm$（定数項の約数） $/$ （最高次の係数の約数）と覚えるとよい．

たとえば，$f(x) = 2x^3 − 5x^2 + 7x – 6$の因数分解について考えてみると，最高次の係数の約数には $1~,~~2$があり，定数項の約数には$1~,~~2,~~3,~~6 $があるので，$f(a) = 0$となる$a$の候補は

\begin{align} \dfrac{1}{1}~,~~\dfrac{2}{1}~,~~\dfrac{3}{1}~,~~\dfrac{6}{1}~,~~\dfrac{1}{2}~,~~\dfrac{2}{2}~,~~\dfrac{3}{2}~,~~\dfrac{6}{2} \end{align}

と，これらにマイナスをつけた数がある．

これらを順に

\begin{align} &f(1)=2-5+7-6\neq0\\ &f(2)=2\cdot2^3-5\cdot2^2+7\cdot2-6\neq0\\ &\qquad\qquad\vdots \end{align}

などと調べていくと，$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=0$となるので

\begin{align} f(x)=(2x-3)(x^2-x+2) \end{align}

と因数分解できる．

因数定理による因数分解-その2-

次の多項式を因数分解せよ

  1. $3x^3-4x^2+4x-1$
  2. $24x^3-22x^2+x+2$

  1. $f(x) = 3x^3 − 4x^2 + 4x – 1$とおくと $\blacktriangleleft f(a) = 0$となる$a$の候補は$\pm\dfrac{1}{1}~,~\pm\dfrac{1}{3}$がある

    \begin{align} f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0 \end{align}

    であるから

    \begin{align} f(x)=\boldsymbol{(3x-1)(x^2-x+1)} \end{align} $\blacktriangleleft x^2 − x + 1$は判別式の値が負となるので，これ以上因数分解できない

    となる．

  2. $f(x) = 24x^3 − 22x^2 + x + 2$とおくと

    $\blacktriangle f(a) = 0$となる$a$の候補は $\pm\dfrac{1}{1}~,~\pm\dfrac{1}{2}~,~\pm\dfrac{1}{3}~,~\pm\dfrac{1}{4}~,$

    $~\pm\dfrac{1}{6}~,~\pm\dfrac{1}{8}~,~\pm\dfrac{1}{12}~,~\pm\dfrac{1}{24}~, ~\pm\dfrac{2}{3} $がある

    \begin{align} f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \end{align}

    であるから

    \begin{align} f(x)=(2x-1)(12x^2-5x-2) \end{align}

    となる．また，$12x^2 − 5x − 2 = (3x − 2)(4x + 1)$と因数分解できるので

    \begin{align} f(x)=\boldsymbol{(2x-1)(3x-2)(4x+1)} \end{align}

    となる．

多項式の約数と倍数

多項式の約数と倍数について

多項式の約数と倍数について

多項式$f(x)$が多項式$g(x)$で割り切れるとき，すなわち

\begin{align} f(x)=g(x)Q(x) \end{align}

となる多項式$Q(x)$が存在するとき

$f(x)$は$g(x)$の倍数(multiple),$g(x)$は$f(x)$の約数(divisor)

という

たとえば，$x^2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)$であるから，$x^2 − 4x + 3$は$x – 1$の倍数であり，$x – 1$は$x^2 − 4x + 3$の約数である

公約数・公倍数

いくつかの多項式に共通な約数を，それらの多項式の公約数(common divisor)といい， 公約数の中で次数の最も高いものを最大公約数(greatest common divisor)という．

また，いくつかの多項式に共通な倍数を，それらの多項式の公倍数(common multiple)といい， 公倍数の中で次数の最も低いものを最小公倍数(least common multiple)という．

最大公約数と最小公倍数

次の各組の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めよ． ただし，答えの式は展開しなくてもよい．

  1. $x^2-1~,~~x+1$
  2. $x^2-4x+4~,~~x^2-4$
  3. $x^2+2x-3~,~~x^2+x-6 $
  4. $x^3-27~,~~x^2-2x-3$

  1. $x^2 − 1 = (x + 1)(x − 1)$なので，最大公約数は$\boldsymbol{x+1}$，

    最小公倍数は$\boldsymbol{(x+1)(x-1)}$である．

  2. $x^2 − 4x + 4 = (x − 2)^2$，$x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2)$なので，最大公約数は$\boldsymbol{x+2}$， 最小公倍数は$\boldsymbol{(x+2)(x-2)^2}$である．

  3. $x^2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3)$，$x^2 − x + 6 = (x + 3)(x − 2)$なので， 最大公約数は$\boldsymbol{x+3}$，最小公倍数は$\boldsymbol{(x-1)(x+3)(x-2)}$である．

  4. $x^3 − 27 = (x − 3)(x^2 + 3x + 9)$，$x^2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)$なので， 最大公約数は$\boldsymbol{x-3}$， 最小公倍数は$\boldsymbol{(x-1)(x+3)(x^2+3x+9)}$である．

分数式の計算

分数式とは何か

$f(x)$を多項式，$g(x)$を定数でない多項式とするとき， $\dfrac{f(x)}{g(x)}$の形で表した式のことを分数式（fractional expression）という．

たとえば

\begin{align} \dfrac{2x-1}{x-1}~,~~\dfrac{3a}{x-4b}~,~~\dfrac{x-5}{x^2-2x+3} \end{align}

などは，どれも分数式である．

多項式と分数式を合わせて，有理式（rational expression）という．

分数式では，普通の分数と同じように，分母，分子に$0$以外の同じ式をかけてもよいし， 分母，分子に共通な因数で割ってもよい．

分数式の基本演算

分数式$\dfrac{f(x)}{g(x)}$に関して，次の式が成り立つ．

\begin{align} &\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)\times h(x)}{f(x)\times h(x)}~,\\ &\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)\div h(x)}{g(x)\div h(x)} \end{align}

ただし，$h(x)\neq0$とする．

これらの変形を行えば，普通の分数と同じように約分（reduction of fraction to its lower terms）や通分（reduction fractions to common denominator）ができる．

分数式の約分

次の分数式を約分せよ．

  1. $\dfrac{2x-2}{6}$
  2. $\dfrac{x^2-1}{x+1}$
  3. $\dfrac{x^2-x-12}{x^2+2x-3}$
  4. $\dfrac{x^2+x-2}{x^3-1}$

  1. 実際に約分をすると

    \begin{align} \dfrac{2x-2}{6}=\boldsymbol{\dfrac{x-1}{3}} \end{align}

  2. 分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=\boldsymbol{x-1} \end{align}

  3. 分母・分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2-x-12}{x^2+2x-3}=&\dfrac{(x+3)(x-4)}{(x-1)(x+3)}\\ =&\boldsymbol{\dfrac{x-4}{x-1}} \end{align}

  4. 分母・分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2+x-2}{x^3-1}&=\dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{x+2}{x^2+x+1}} \end{align}

分数式の分母と分子に共通な因数がないとき，この分数式は既約（irreducible）であるという．

分数式の乗法と除法

分数式の乗法と除法は，普通の分数の場合と同じように，次の規則にしたがって計算する．

分数の乗法・除法

\begin{align} \dfrac{f(x)}{g(x)}\times\dfrac{h(x)}{i(x)}&=\dfrac{f(x)\times h(x)}{f(x)\times i(x)}~,\\ \dfrac{f(x)}{g(x)}\div\dfrac{h(x)}{i(x)}&=\dfrac{f(x)}{g(x)}\times\dfrac{i(x)}{h(x)}\\ &=\dfrac{f(x)\times i(x)}{g(x)\times h(x)} \end{align}

たとえば

\begin{align} &\dfrac{by^2}{ax^2}\div\dfrac{b^2y}{a^2x}=\dfrac{by^2}{ax^2}\times\dfrac{a^2x}{b^2y}\\ &=\dfrac{by^2\times a^2x}{ax^2\times b^2y}=\dfrac{ay}{bx}\\ &\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{x-2}{x(x+1)}\\ &=\dfrac{(x+1)\times(x-2)}{x\times x(x+1)}=\dfrac{x-2}{x^2} \end{align}

と計算することができる．

分数式の乗法と除法

次の式を計算せよ．

  1. $\dfrac{x-1}{x(x+2)}\times\dfrac{x(x+1)}{x-2}$
  2. $\dfrac{x+2}{x+4}\times\dfrac{x^2-8x+16}{x(x-4)} $
  3. $\dfrac{x-3}{x^2+x}\div \dfrac{x+2}{x}$
  4. $\dfrac{x^3-1}{x+2}\div \dfrac{x-1}{x+4}$

  1. $\dfrac{(x-1)\times x(x+1)}{x(x+2)(x-2)}=\boldsymbol{\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x+2)}}$

  2. $\dfrac{(x+2)(x-4)^2}{x(x+4)(x-4)}=\boldsymbol{\dfrac{(x+2)(x-4)}{x(x+4)}} $

  3. $\dfrac{(x-3)x}{x(x+2)(x+2)}=\boldsymbol{\dfrac{x-3}{(x+2)^2}} $

  4. $\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$
    $=\boldsymbol{\dfrac{(x^2+x+1)(x+4)}{x+2}}$

分数式の加法と減法

分数式の加法と減法は，普通の分数の場合と同じように，次の規則にしたがって計算する．

分数式の加法・減法

$\dfrac{f(x)}{g(x)}+\dfrac{h(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)+h(x)}{g(x)}~,$

$\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{h(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-h(x)}{g(x)}$

分母が異なる分数式どうしは，通分してから計算する．

たとえば

\begin{align} &\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{x+1}\\ =&\dfrac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)}+\dfrac{x-2}{(x-2)(x+1)}\\ =&\dfrac{2(x+1)+x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{3x}{(x-2)(x+1)} \end{align}

と計算することができる．

分数式の加法と減法

次の式を計算せよ．

  1. $\dfrac{2}{x^2+1}+\dfrac{x}{x^2+1}$
  2. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x^2-1} $
  3. $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{-x+5}{x+2}$
  4. $\dfrac{3}{x^2-x-2}+\dfrac{1}{x^2-5x+6}$

  1. $\dfrac{2+x}{x^2+1}=\boldsymbol{\dfrac{x+2}{x^2+1}} $

  2. $\dfrac{x-1}{x^2-1}+\dfrac{1}{x^2-1}=\boldsymbol{\dfrac{x}{x^2-1}} $

  3. $\dfrac{x-(-x+5)}{x+2}=\boldsymbol{\dfrac{2x-5}{x+2}} $

  4. $\dfrac{3}{(x-2)(x+1)}+\dfrac{1}{(x-2)(x-3)} $
    $=\dfrac{3(x-3)+x+1}{(x-2)(x+1)(x-3)}$
    $=\boldsymbol{\dfrac{4x-8}{x^3-4x^2+x+6}}$

分数式の恒等式

次の式が恒等式となるように，定数$a，b，c$の値を定めよ．

  1. $\dfrac{3x^2-x}{x^3-x^2-x+1}$
    $=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^2}$

  2. $\dfrac{1}{x^3+7x^2+14x+8}$
    $=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x+2}+\dfrac{c}{x+4}$

  1. 両辺に，$(x + 1)(x − 1)^2$を掛けると

    \begin{align} &3x^2-x\\ =&a(x-1)^2+b(x-1)(x+1)+c(x+1) \end{align}

    となる．

    両辺に$x = 1$を代入すると

    \begin{align} &3-1=c(1+1) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{c=1} \end{align}

    両辺に$x = − 1$を代入すると

    \begin{align} &3+1=a(-1-1)^2 \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{a=1} \end{align}

    両辺に$x = 0$を代入すると

    \begin{align} &0=a(0-1)^2+b(0+1)(0-1)\\ &\qquad\qquad+c(0+1) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{b=2} \end{align} $\blacktriangleleft a = 1，c = 1$を用いた

  2. 両辺に，$(x + 1)(x + 2)(x + 4)$を掛けると

    \begin{align} 1= &a(x+2)(x+4)+b(x+1)(x+4)\\ &+c(x+1)(x+2) \end{align}

    となる．

    両辺に$x = − 1$を代入すると

    \begin{align} &1=a(-1+2)(-1+4) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{a=\dfrac{1}{3}} \end{align}

    両辺に$x = − 2$を代入すると

    \begin{align} &1=b(-2+1)(-2+4) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{b=-\dfrac{1}{2}} \end{align}

    両辺に$x = − 4$を代入すると

    \begin{align} &1=c(-4+1)(-4+2) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{c=\dfrac{1}{6}} \end{align}