多項式の除法

STEP1

まず，整数の割り算と同じように，下図のように書いておく．この例題では，割られる多項式には$x^2$の項はないが，その場合でも 適度にスペースを空け，計算できるようにしておく．

STEP2

$x^2 − 3x + 1$に何をかけて引くと，$x^4 + 3x^3 − 4x + 2$の最高次の項$x^4$が消えるかを考える． この例題では$x^2$なので，$x^2$を下図のように書く．

STEP3

下図のようにして，$x^2 − 3x + 1$に$x^2$をかけた式を$x^4 + 3x^3 − 4x + 2$から引く．

STEP4

STEP2と同じように，$6x^3$が消えるように$x^2 − 3x + 1$に$6x$をかけて引く．

STEP5

同じように，$17x^2$が消えるように$x^2 − 3x + 1$に$17$をかけて引く．

STEP6

最下段の$41x – 15$の次数が，割る多項式$x^2 − 3x + 1$の次数より低いので，ここでやめる．

この結果から $$\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2+6x+17)(x^2-3x+1)+41x-15 \end{align}$$ となることがわかり，商は$x^2 + 6x + 17$，余りは$41x – 15$とわかる．

STEP1

まず，右辺を展開したときに$x^4$が現れるように，下のように書く．

STEP2

このままでは，右辺の$x^3$の係数は$− 3$となり，左辺の$3$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 6x$を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x^3$の係数が$3$となり，左辺とあう．

STEP3

しかし，このままでは，右辺の$x^2$の係数は$− 17$となり，左辺の$0$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 17$を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x^2$の係数が$0$となり，左辺とあう．

STEP4

しかし，このままでは，右辺の$x$の係数は $− 45$となり，左辺の$− 4$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために$+ 41x$を右のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x$の係数が$− 4$となり，左辺とあう．

STEP5

最後に，右辺の定数項$17$と左辺の定数項$2$を合わせるため，右のように$− 15$を書く． こうすれば，右辺を展開したときの定数項が$17$となり，左辺とあう．

この結果から，商は$x^2 + 6x + 17$，余りは$41x – 15$とわかる．

1. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

   $$\begin{align} x^2+2x+1=(x-1)(x+3)+4 \end{align}$$

   となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

   

2. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

   $$\begin{align} x^3+3=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}$$

   となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

   

3. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

   $$\begin{align} &x^3+x^2+4x+3\\ =&(x^2-x+1)(x+2)+5x+1 \end{align}$$

   となるので，商は$\boldsymbol{x+2}$，余りは$\boldsymbol{5x+1}$である．

   

4. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

   $$\begin{align} & x^4+2x^3-3x^2+5x+6\\ =&(x^2+x-3)(x^2+x-1)+9x+3 \end{align}$$

   となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x-3}$，余りは$\boldsymbol{9x+3}$である．

   

1. 求める多項式を$f(x)$とすると，商が$x + 1$，余りが$x + 2$であるから

   $$\begin{align} f(x) &=(x+1)(x^2+2x-3)+x+2 \\ &=x^3+3x^2-x-3+x+2\\ &=\boldsymbol{x^3+3x^2-1} \end{align}$$
2. 

   求める多項式を$f(x)$とおくと

   $$\begin{align} &2x^3-3x^2+2x+4\\ &=f(x)(2x+1)+2x+3\\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)=2x^3-3x^2+1 \\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)\\ &=(2x+1)(x^2-2x+1)\\ \therefore~&f(x)=x^2-2x+1 \end{align}$$

   であるから，求める多項式は$\boldsymbol{x^2-2x+1}$である．

組立除法を実行すると

となるので，商は$\boldsymbol{x^2+4x+11}$，余りは$\boldsymbol{23}$となる．

まず，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で展開する．

次に，この式を$(x − 2)$でくくると

最後に，中括弧の中を展開すると

となるので，結局

と変形できる．

多項式の除法の一意性 より，（$A$の次数）$\gt$（$C$の次数）を満たす関係は一通りに定まるので， 商は$\boldsymbol{x^2+8x+11}$で，余りは$\boldsymbol{23}$となる．

1. 【解1：組立除法】

   組立除法を行うと

   

   となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

   【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

   $$\begin{align} & x^2+2x+1\\ &=\left\{(x-1)+1\right\}^2+2\left\{(x-1)+1\right\}+1\\ &=(x-1)^2+4(x-1)+4\\ &=(x-1)(x-1+4)+4\\ &=(x-1)(x+3)+4 \end{align}$$

   となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

2. 【解1：組立除法】

   組立除法を行うと

   

   となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

   【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

   $$\begin{align} &x^3+3\\ &=\left\{(x+1)-1\right\}^3+3\\ &=(x+1)^3+3(x+1)^2(-1)\\ &\qquad+3(x+1)-1+3\\ &=(x+1)(x^2+2x+1-3x-3+3)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+2\\ &=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}$$

   となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

3. 【解1：組立除法】

   組立除法を行うと

   

   となるので，商は$\boldsymbol{x^2-2x-6}$，余りは$\boldsymbol{-7}$である．

   【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

   $$\begin{align} & x^3-4x^2-2x+5\\ &=\!\left\{(x-2)+2\right\}^3\!-\!4\!\left\{(x-2)+2\right\}^2\\ &\qquad-2\!\left\{(x-2)+2\right\}\!+5\\ &=(x-2)\left\{(x-2)^2+2(x-2)-6\right\}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-7\\ &=(x-2)(x^2-2x-6)-7 \end{align}$$

   となるので，商は$\boldsymbol{x^2-2x-6}$，余りは$\boldsymbol{-7}$である．

4. 【解1：組立除法】

   組立除法を行うと

   

   となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x+2}$，余りは$\boldsymbol{12}$である

   【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

   $$\begin{align} & x^3-2x^2-x+6\\ &=\!\left\{(x-3)+3\right\}^3\!-2\!\left\{(x-3)+3\right\}^2\\ &\qquad-\left\{(x-3)+3\right\}+6\\ &=\ (x-3)^3+9(x-3)^2+27(x-3)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+27\\ &\quad-2(x-3)^3-6(x-3)\\ &\quad-18-(x-3)-3+6\\ &=(x-3)(x^2+x+2)+12 \end{align}$$

   となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x+2}$，余りは$\boldsymbol{12}$である．

無題

1. 割り算を実行すると

   $$\begin{align} f(x)=(x-2)(x^3+2x^2+x+7)+6 \end{align}$$ 　　　　$\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図

   となるので，余りは$\boldsymbol{6}$である．

2. $f(2)=2^4-3\cdot2^2+5\cdot2-8=\boldsymbol{6}$

1. 剰余の定理より，$f(1)=\boldsymbol{4}$

2. 剰余の定理より，$f(-1)=\boldsymbol{2}$

3. 剰余の定理より，$f(2)=\boldsymbol{-7}$

4. 剰余の定理より，$f(3)=\boldsymbol{12}$

$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり，次の関係式が成り立つ．

この式の$x$に$-\dfrac{b}{a}$を代入すると

となり，$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$と余り$r$が等しいことが分かる．

1. 【解1：除法の式を変形して解く】

   $f(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$2$だから

   $$\begin{align} f(x)=(x-1)Q_1(x)+2 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

   とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 2$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とすると

   $$\begin{align} f(x) &=(x-1)\left\{Q_2(x)(x-2)+a\right\}+2 \\ &=(x-1)(x-2)Q_2(x)\\ &\qquad\qquad\qquad+ax+2-a \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 2) + a$である

   ここで，剰余の定理より

   $$\begin{align} &f(2)=2a+2-a=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft f(2) = 3$を使った

   となる．よって，求める余りは$\boldsymbol{x+1}$である．

   【解2：余りの多項式をおく】$f(x)$を$(x − 1)(x − 2)$で割ったときの，商を$Q_3(x)$，余りを$ax + b$とすると

   $$\begin{align} f(x)=(x-1)(x-2)Q_3(x)+ax+b \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

   である．ここで，剰余の定理より

   $\left(f(1)=\right)a+b=2　　　　\blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

   $\left(f(2)=\right)2a+b=3　　　\blacktriangleleft f(2) = 3$を使った

   これを解くと$a = 1，b = 1$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x+1}$である．

2. 【解1：除法の式を変形して解く】

   $f(x)$を$(x − 2)(x − 3)$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

   $$\begin{align} f(x)=(x-2)(x-3)Q_1(x)+3x-2 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

   とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とすると

   $$\begin{align} f(x) &=(x-2)(x-3)\left\{Q_2(x)(x-1)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left. +a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)(x-3)Q_2(x)\\ &\qquad+a(x-2)(x-3)+3x-2 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$である.

   である．ここで，剰余の定理より

   $$\begin{align} &f(1)=a(-1)(-2)+3-2=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft f(1) = 3$を使った

   となる．よって，求める余りは$(x-2)(x-3)+3x-2=\boldsymbol{x^2-2x+4}$である．

   【解2:余りの多項式をおく】$f(x)$を$(x − 1)(x − 2)(x − 3)$で割ったときの，商を$Q_3(x)$，余りを$ax^2 + bx + c$とすると

   $$\begin{align} &f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q_4(x)\\ &\qquad+ax^2+bx+c \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

   ここで，剰余の定理より$f(1) = 3，f(2) = 4，f(3) = 7$なので

   $\left(f(1)=\right)a+b+c=3　　　\blacktriangleleft f(1) = 3$を使った

   $\left(f(2)=\right)4a+2b+c=4　　\blacktriangleleft f(2) = 4$を使った

   $\left(f(3)=\right)9a+3b+c=7　　\blacktriangleleft f(3) = 7$を使った

   これを解くと$a = 1，b = − 2，c = 4$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x^2-2x+4}$である．

3. 【解1：除法の式を変形して解く】

   $f(x)$を$(x − 2)^2$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

   $$\begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

   とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とおくと，

   $$\begin{align} f(x) &=(x-2)^2\left\{Q_2(x)(x-1)+a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)^2Q_2(x)\\ &\qquad\qquad+a(x-2)^2+3x-2 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$である

   ここで，剰余の定理より

   $$\begin{align} &f(1)=a(-1)^2+3-2=2 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

   であるから，求める余りは$(x-2)^2+3x-2=\boldsymbol{x^2-x+2}$である．

   【解2：余りの多項式をおく（微分法を使う）】

   $f(x)$を$(x − 2)^2$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

   $$\begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

   とおける．この式を$x$で微分すると

   $$\begin{align} &f'(x) \\ =&(x-2)Q_1(x)+(x-2)^2{Q_1}'(x)+3 \\ =&(x-2)\left\{Q_1(x)+(x-2){Q_1}'(x)\right\}+3 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft$微分の計算法則の関数の積の微分法を使った

   $Q_1(x) + (x − 2)Q_1'(x)$は多項式なので，これを$Q_2(x)$とおくと

   $f'(x)=(x-2)Q_2(x)+3$

   $\therefore~ f'(2)=3$

   $\tag{1}\label{zyouyonoteirinoriyou}$

   いま，$f(x)$を$(x − 1)(x − 2)^2$でわったときの商を$Q_3(x)$，余りを$ax^2 + bx + c$とおくと，

   $f(x)=(x-1)(x-2)^2Q_3(x)$
   $+ax^2+bx+c$

   $f'(x)=((x-2)$を因数に持つ多項式$)+2ax+b$

   であるから

   $$\begin{align} f'(2)=4a+b=3 \end{align}$$ 　　　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{zyouyonoteirinoriyou}$を使った

   さらに，剰余の定理より

   $f(1)=a+b+c=2 \blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

   $f(2)=4a+2b+c=4 \blacktriangleleft f(2) = 4$を使った

   これを解くと$a = 1，b = − 1，c = 2$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x^2-x+2}$である．

$f(1)$や$f( − 1)$などを計算してみて$0$になるものをみつける．

1. $f(x) = x3 + 3x2 – 4$とおく．

   $$\begin{align} f(1)=1+3-4=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f( − 2) = 0$を見つけてもよい

   よって説明文

   $$\begin{align} f(x)&=(x-1)(x^2+4x+4)\\ &=\boldsymbol{(x-1)(x+2)^2} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

2. $f(x) = 2x3 − 7x2 + 9$とおく．

   $$\begin{align} f(-1)=-2-7+9=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$f(x)$は$x + 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f(3) = 0$や$f(\dfrac{3}{2})=0$を見つけてもよい

   よって説明文

   $$\begin{align} f(x)&=(x+1)(2x^2-9x+9)\\ &=\boldsymbol{(x+1)(2x-3)(x-3)} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

3. $f(x) = x4 − 8x3 + 7x2 + 6x – 8$とおく．

   $$\begin{align} f(1)=1-6+7+6-8=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f( − 1) = 0$や$f(2) = 0$などを見つけてもよい

   よって説明文

   $$\begin{align} f(x)=(x-1)(x^3-5x^2+2x+8) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

   さらに，$g(x) = x3 − 5x2 + 2x + 8$とおくと

   $$\begin{align} g(-1)=-1-5-2+8=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$g(x)$は$x + 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$g(2) = 0$や$g(4) = 0$などを見つけてもよい

   よって説明文

   $$\begin{align} g(x)&=(x+1)(x^2-6x+8)\\ &=(x+1)(x-2)(x-4) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

   より，$f(x)=\boldsymbol{(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)}$．

4. $f(x) = x4 − 8x3 − 2x2 + 72x – 63$とおく．

   $$\begin{align} f(1)=1-8-2+72-63=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f(3) = 0$や$f( − 3) = 0$などを見つけてもよい

   よって説明文

   $$\begin{align} f(x)=(x-1)(x^3-7x^2-9x+63) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

   さらに，$g(x) = x3 − 7x2 − 9x + 63$とおくと

   $$\begin{align} g(3)=27-63-27+63=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$g(x)$は$x – 3$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$g( − 3) = 0$や$g(7) = 0$などを見つけてもよい．

   よって説明文

   $$\begin{align} g(x)&=(x-3)(x^2-4x-21)\\ &=(x-3)(x+3)(x-7) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

   より，$f(x)=\boldsymbol{(x-1)(x-3)(x+3)(x-7)}$である．

1. $f(x) = 3x^3 − 4x^2 + 4x – 1$とおくと $\blacktriangleleft f(a) = 0$となる$a$の候補は$\pm\dfrac{1}{1}~,~\pm\dfrac{1}{3}$がある

   $$\begin{align} f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0 \end{align}$$

   であるから

   $$\begin{align} f(x)=\boldsymbol{(3x-1)(x^2-x+1)} \end{align}$$ $\blacktriangleleft x^2 − x + 1$は判別式の値が負となるので，これ以上因数分解できない

   となる．

2. $f(x) = 24x^3 − 22x^2 + x + 2$とおくと

   $\blacktriangle f(a) = 0$となる$a$の候補は $\pm\dfrac{1}{1}~,~\pm\dfrac{1}{2}~,~\pm\dfrac{1}{3}~,~\pm\dfrac{1}{4}~,$

   $~\pm\dfrac{1}{6}~,~\pm\dfrac{1}{8}~,~\pm\dfrac{1}{12}~,~\pm\dfrac{1}{24}~, ~\pm\dfrac{2}{3}$がある

   $$\begin{align} f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \end{align}$$

   であるから

   $$\begin{align} f(x)=(2x-1)(12x^2-5x-2) \end{align}$$

   となる．また，$12x^2 − 5x − 2 = (3x − 2)(4x + 1)$と因数分解できるので

   $$\begin{align} f(x)=\boldsymbol{(2x-1)(3x-2)(4x+1)} \end{align}$$

   となる．

1. $x^2 − 1 = (x + 1)(x − 1)$なので，最大公約数は$\boldsymbol{x+1}$，

   最小公倍数は$\boldsymbol{(x+1)(x-1)}$である．

2. $x^2 − 4x + 4 = (x − 2)^2$，$x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2)$なので，最大公約数は$\boldsymbol{x+2}$， 最小公倍数は$\boldsymbol{(x+2)(x-2)^2}$である．

3. $x^2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3)$，$x^2 − x + 6 = (x + 3)(x − 2)$なので， 最大公約数は$\boldsymbol{x+3}$，最小公倍数は$\boldsymbol{(x-1)(x+3)(x-2)}$である．

4. $x^3 − 27 = (x − 3)(x^2 + 3x + 9)$，$x^2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)$なので， 最大公約数は$\boldsymbol{x-3}$， 最小公倍数は$\boldsymbol{(x-1)(x+3)(x^2+3x+9)}$である．

1. 実際に約分をすると

   $$\begin{align} \dfrac{2x-2}{6}=\boldsymbol{\dfrac{x-1}{3}} \end{align}$$

2. 分子を因数分解すると

   $$\begin{align} \dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=\boldsymbol{x-1} \end{align}$$

3. 分母・分子を因数分解すると

   $$\begin{align} \dfrac{x^2-x-12}{x^2+2x-3}=&\dfrac{(x+3)(x-4)}{(x-1)(x+3)}\\ =&\boldsymbol{\dfrac{x-4}{x-1}} \end{align}$$

4. 分母・分子を因数分解すると

   $$\begin{align} \dfrac{x^2+x-2}{x^3-1}&=\dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{x+2}{x^2+x+1}} \end{align}$$

1. $\dfrac{(x-1)\times x(x+1)}{x(x+2)(x-2)}=\boldsymbol{\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x+2)}}$

2. $\dfrac{(x+2)(x-4)^2}{x(x+4)(x-4)}=\boldsymbol{\dfrac{(x+2)(x-4)}{x(x+4)}}$

3. $\dfrac{(x-3)x}{x(x+2)(x+2)}=\boldsymbol{\dfrac{x-3}{(x+2)^2}}$

4. $\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$
   $=\boldsymbol{\dfrac{(x^2+x+1)(x+4)}{x+2}}$

1. $\dfrac{2+x}{x^2+1}=\boldsymbol{\dfrac{x+2}{x^2+1}}$

2. $\dfrac{x-1}{x^2-1}+\dfrac{1}{x^2-1}=\boldsymbol{\dfrac{x}{x^2-1}}$

3. $\dfrac{x-(-x+5)}{x+2}=\boldsymbol{\dfrac{2x-5}{x+2}}$

4. $\dfrac{3}{(x-2)(x+1)}+\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}$
   $=\dfrac{3(x-3)+x+1}{(x-2)(x+1)(x-3)}$
   $=\boldsymbol{\dfrac{4x-8}{x^3-4x^2+x+6}}$

1. 両辺に，$(x + 1)(x − 1)^2$を掛けると

   $$\begin{align} &3x^2-x\\ =&a(x-1)^2+b(x-1)(x+1)+c(x+1) \end{align}$$

   となる．

   両辺に$x = 1$を代入すると

   $$\begin{align} &3-1=c(1+1) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{c=1} \end{align}$$

   両辺に$x = − 1$を代入すると

   $$\begin{align} &3+1=a(-1-1)^2 \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{a=1} \end{align}$$

   両辺に$x = 0$を代入すると

   $$\begin{align} &0=a(0-1)^2+b(0+1)(0-1)\\ &\qquad\qquad+c(0+1) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{b=2} \end{align}$$ $\blacktriangleleft a = 1，c = 1$を用いた

2. 両辺に，$(x + 1)(x + 2)(x + 4)$を掛けると

   $$\begin{align} 1= &a(x+2)(x+4)+b(x+1)(x+4)\\ &+c(x+1)(x+2) \end{align}$$

   となる．

   両辺に$x = − 1$を代入すると

   $$\begin{align} &1=a(-1+2)(-1+4) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{a=\dfrac{1}{3}} \end{align}$$

   両辺に$x = − 2$を代入すると

   $$\begin{align} &1=b(-2+1)(-2+4) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{b=-\dfrac{1}{2}} \end{align}$$

   両辺に$x = − 4$を代入すると

   $$\begin{align} &1=c(-4+1)(-4+2) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{c=\dfrac{1}{6}} \end{align}$$