高次方程式

1. 
   $$\begin{align} &x^3=27\\ \Leftrightarrow~&x^3-27=0\\ \Leftrightarrow~&(x-3)(x^2+3x+9)=0\\ \Leftrightarrow~&x-3=0,~x^2-3x+9=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=3,~\dfrac{3\pm3\sqrt{3}i}{2}} \end{align}$$
2. 
   $$\begin{align} &x^3=-8\\ \Leftrightarrow~&x^3+8=0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x^2-2x+4)=0\\ \Leftrightarrow~&x+2=0,~x^2-2x+4=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=-2,~1\pm\sqrt{3}i} \end{align}$$

1. $\omega$は$x^3 = 1$の解であるので明らか．

2. $x^3 = 1$を解くと

   $$\begin{align} &x^3=1\\ \Leftrightarrow~&x^3-1=0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x^2+x+1)=0\\ \Leftrightarrow~&x-1=0~,~~x^2+x+1=0\\ \Leftrightarrow~&x=1~,~~\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \end{align}$$

   このうち，$\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$または$\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$が$\omega$であるが，これらはどちらも，方程式$x^2 + x + 1 = 0$の解であるので，$\omega^2 + \omega + 1 = 0$である．

3. $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}と\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$は共役の関係にあり

   $$\begin{align} &\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2\\ &=\dfrac{1-2\sqrt{3}i-3}{4}\\ &=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\\ &\left(\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2\\ &=\dfrac{1+2\sqrt{3}i-3}{4}\\ &=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{align}$$

   より，$\overline{\omega}=\omega^2$が成り立つ．

1. 
   $$\begin{align} &x^4-13x^2+9=0\\ \Leftrightarrow~&x^2=\dfrac{13\pm\sqrt{133}}{2}\\ \Leftrightarrow~&x=\pm\sqrt{\dfrac{13\pm\sqrt{133}}{2}} \end{align}$$
2. 
   $$\begin{align} &x^4-2x^2-3=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+1)(x^2-3)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+1=0,~x^2-3=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\pm{i},~\pm\sqrt{3}} \end{align}$$
3. 
   $$\begin{align} &x^4+x^2-20=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+5)(x^2-4)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+5=0,~x^2-4=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\pm\sqrt{5}{i},~\pm 2} \end{align}$$
4. 
   $$\begin{align} &(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+3=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+2x+1)(x^2+2x+3)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+2x+1=0,~x^2+2x+3=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=-1,~-1\pm\sqrt{2}i} \end{align}$$

1. $f(x) = x^3 + 3x^2 − 4$とおく．

   $$\begin{align} f(1)=1+3-4=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつのがわかる.　　　　　　　$\blacktriangleleft$先に$f ( − 2) = 0$を見つけてもよい

   よって，$f(x) = 0$は

   $$\begin{align} &(x-1)(x^2+4x+4)=0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x+2)^2=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=1,~-2} \end{align}$$ 　　$\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

2. $f(x) = 2x^3 − 7x^2 + 9$とおく．

   $$\begin{align} f(-1)=-2-7+9=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$f(x)$は$x + 1$を因数にもつのがわかる．$\blacktriangleleft$先に$f (3) = 0$や$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=0$を見つけてもよい

   よって，$f(x) = 0$は

   $$\begin{align} &(x+1)(2x^2-9x+9)=0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(2x-3)(x-3)=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=-1,~\dfrac{2}{3},~3} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

3. $f(x) = x^4 − 8x^3 + 7x^2 + 6x – 8$とおく．

   $$\begin{align} f(1)=1-6+7+6-8=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつのがわかる． 　$\blacktriangleleft$先に$f ( − 1) = 0$や$f (2) = 0$などを見つけてもよい

   よって

   $$\begin{align} f(x)=(x-1)(x^3-5x^2+2x+8) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

   さらに，$g(x) = x^3 − 5x^2 + 2x + 8$とおくと

   $$\begin{align} g(-1)=-1-5-2+8=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$g(x)$は$x + 1$を因数にもつのがわかる． $\blacktriangleleft$先に$g(2) = 0$や$g(4) = 0$などを見つけてもよい

   よって

   $$\begin{align} g(x)&=(x+1)(x^2-6x+8)\\ &=(x+1)(x-2)(x-4) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

   より，$f(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 4)$である．

   以上より，$f (x) = 0$の解は，$\boldsymbol{x=-1,~1,~2,~4}$となる．

4. $f (x) = x^4 − 8x^3 − 2x^2 + 72x − 63$とおく．

   $$\begin{align} f(1)=1-8-2+72-63=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$f (x)$は$x – 1$を因数にもつのがわかる．$\blacktriangleleft$先に$f(3) = 0$や$f ( − 3) = 0$などを見つけてもよい

   よって

   $$\begin{align} f(x)=(x-1)(x^3-7x^2-9x+63) \end{align}$$ 　　　$\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

   さらに，$g(x) = x^3 − 7x^2 − 9x + 63$とおくと

   $$\begin{align} g(3)=27-63-27+63=0 \end{align}$$

   であるから，因数定理より$g(x)$は$x – 3$を因数にもつのがわかる$\blacktriangleleft$先に$g( − 3) = 0$や$g(7) = 0$などを見つけてもよい．

   よって

   $$\begin{align} g(x)&=(x-3)(x^2-4x-21)\\ &=(x-3)(x+3)(x-7) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
   

   より，$f(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 3)(x − 7)$である．

   以上より，$f (x) = 0$の解は，$x=1,~3,~-3,~7$となる．

$3x^3 − (3 + a)x^2 + a$
$= (x − 1)(3x^2 − ax − a)$であるので，$f (x) = 3x^2 − ax – a$とおくと，

3次方程式が重解をもつためには，$f (x) = 0$が$x = 1$に解をもつか，$f (x) = 0$が重解をもてばよい．

1)$f (x) = 0$が$x = 1$に解をもつとき

$f (1) = 0$より

このとき，$f(x)=3x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$であるから，3次方程式の解は

2)$f (x) = 0$が重解をもつとき

判別式を考えて

となる．

$a = 0$のとき

であるので，3次方程式の解は$\boldsymbol{x=1,~x=0}$である．

$a = − 12$のとき

であるので，3次方程式の解は$\boldsymbol{x=1,~x=-2}$である．

1. 
   $$\begin{align} &x^3\geqq27\\ \Leftrightarrow~&x^3-27\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-3)(x^2+3x+9)\geqq0 \end{align}$$ $\blacktriangleleft a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$を使った

   いま，$x^2+3x+9=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}>0$なので， $(x-3)(x^2+3x+9)\geqq0$となるのは，$x-3\geqq0$，つまり$\boldsymbol{x\geqq3}$である．

2. 
   $$\begin{align} &x^3<-8\\ \Leftrightarrow~&x^3+8<0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x^2-2x+4)<0 \end{align}$$ $\blacktriangleleft a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$を使った

   いま，$x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+3>0$なので，$(x + 2)(x2 − 2x + 4) < 0$となるのは，$x + 2 < 0$，つまり$\boldsymbol{x<-2}$である．

3. 
   $$\begin{align} &x^3-9x<0\\ \Leftrightarrow~&x(x^2-9)<0\\ \Leftrightarrow~&(x+3)x(x-3)<0 \end{align}$$

   いま，$(x + 3)x(x − 3)$の符号は$x$ の値に応じて，以下のようにまとめることができる．

   $x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
   $x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
   $(x+3)x(x-3)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$3$	$+$

   これより，$(x + 3)x(x − 3) < 0$を満たすのは，$\boldsymbol{x\lt -3~,~~0\lt x\lt 3}$である．

   【別解：3次関数のグラフを使う方法】　　　$\blacktriangleleft$この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ

   

   $f(x) = x3 − 9x < 0$とおくと

   $$\begin{align} f(x)&=x(x^2-9)=(x+3)x(x-3) \end{align}$$

   より$y = f (x)$のグラフは図となるので，$f (x) < 0$を満たすのは，$\boldsymbol{x \lt -3~,~~0 \lt x \lt 3}$である．

4. 
   $$\begin{align} &x^3-x^2\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x^2(x-1)\geqq0 \end{align}$$

   いま，$x^2(x − 1)$の符号は$x$ の値に応じて，以下のようにまとめることができる．

   $x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
   $x^2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
   $x^2(x-3)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

   これより，$x^2(x-1)\geqq0$を満たすのは，$\boldsymbol{x=0~,~~1\leqq x}$である．

   【別解：3次関数のグラフを使う方法】　　　$\blacktriangleleft$この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ

   $f(x) = x^3 – x^2 < 0$とおくと

   $$\begin{align} f(x)&=x^2(x-1) \end{align}$$

   より$y = f (x)$のグラフは図となるので，$f(x)\geqq0$を満たすのは，$\boldsymbol{x=0~,~~1\leqq x}$である．

   

1. $f(x)=x^3+3x^2-4$ とおく。 $$f(1)=1+3-4=0$$

   $\blacktriangleleft$ 先に $f(-2)=0$ を見つけてもよい
   であるから、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ を因数にもつのがわかる。
   組立除法をつかうなら
   
   よって、$f(x)\gt0$ は $$\begin{align} &(x-1)(x^2+4x+4)\gt0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x+2)^2\gt0 \end{align}$$ いま、$(x-1)(x+2)^2$ の符号は $x$ の値に応じて、以下のようにまとめることができる。

   $x$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
   $x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
   $(x+2)^2$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $(x-1)(x+2)^2$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

   これより、$(x-1)x^2\gt0$ を満たすのは、$\boldsymbol{1\lt{x}}$ である。

   $\blacktriangleleft$ この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ

   【別解：3次関数のグラフを使う方法】

   

   $f(x)=x^3+3x^2-4$ とおくと $$f(x)=(x-1)(x+2)^2$$ より $y=f(x)$ のグラフは図となるので、$f(x)\gt0$ を満たすのは、$\boldsymbol{1\lt{x}}$ である。

2. $f(x)=2x^3-7x^2+9$ とおく。 $$f(-1)=-2-7+9=0$$

   $\blacktriangleleft$ 先に $f(3)=0$ や $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=0$ を見つけてもよい
   であるから、因数定理より $f(x)$ は $x+1$ を因数にもつのがわかる。
   組立除法をつかうなら
   
   よって、$f(x)\leqq0$ は $$\begin{align} &(x+1)(2x^2-9x+9)\leqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(2x-3)(x-3)\leqq0 \end{align}$$ いま、$(x+1)(2x-3)(x-3)$ の符号は$x$ の値に応じて、以下のようにまとめることができる。

   $x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$\dfrac{3}{2}$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
   $x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $2x-3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
   $f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

   これより、$(x+1)(2x-3)(x-3)\leqq0$ を満たすのは、$\boldsymbol{x\leqq-1,~\dfrac{3}{2}\leqq{x}\leqq3}$ である。

   $\blacktriangleleft$ この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ

   【別解：3次関数のグラフを使う方法】

   

   $f(x)=2x^3-7x^2+9$ とおくと $$f(x)=(x+1)(2x-3)(x-3)$$ より $y=f(x)$ のグラフは図となるので、$f(x)\leqq0$ を満たすのは、$\boldsymbol{x\leqq-1,~\dfrac{3}{2}\leqq{x}\leqq3}$ である。

3. $f(x)=x^4-6x^3+7x^2+6x-8$ とおく。 $$f(1)=1-6+7+6-8=0$$

   $\blacktriangleleft$ 先に $f(-1)=0$ や $f(2)=0$ などを見つけてもよい
   であるから、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ を因数にもつのがわかる。
   組立除法をつかうなら
   

   よって $$\begin{align} &f(x)=(x-1)(x^3-5x^2+2x+8) \end{align}$$ さらに、$g(x)=x^3-5x^2+2x+8$ とおくと $$g(-1)=-1-5-2+8=0$$

   $\blacktriangleleft$ 先に $g(2)=0$ や $g(4)=0$ などを見つけてもよい
   であるから、因数定理より $g(x)$ は $x+1$ を因数にもつのがわかる。
   組立除法をつかうなら
   

   よって $$\begin{align} g(x)&=(x+1)(x^2-6x+8)\\ &=(x+1)(x-2)(x-4) \end{align}$$ である。以上から、$f(x)\lt0$ は $$\begin{align} &(x-1)(x^3-5x^2+2x+8)<0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)<0 \end{align}$$ いま、$(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ の符号は $x$ の値に応じて、以下のようにまとめることができる。

   $x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
   $x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $x-2$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x-4$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
   $f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

   これより、$(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)\lt0$ を満たすのは、$\boldsymbol{-1\lt{x}\lt1,~2\lt{x}\lt4}$ である。

   

   【別解：4次関数のグラフを使う方法】

   $f(x)=x^4-6x^3+7x^2+6x-8$ とおくと $$f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$$ より $y=f(x)$ のグラフは図となるので、$f(x)\lt0$ を満たすのは、$\boldsymbol{-1\lt{x}\lt1,~2\lt{x}\lt4}$ である。

4. $f(x)=x^4-8x^3-2x^2+72x-63$ とおく。 $$f(1)=1-8-2+72-63=0$$

   $\blacktriangleleft$ 先に $f(3)=0$ や $f(-3)=0$ などを見つけてもよい
   であるから、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ を因数にもつのがわかる。
   組立除法をつかうなら
   

   よって $$f(x)=(x-1)(x^3-7x^2-9x+63)$$ さらに、$g(x)=x^3-7x^2-9x+63$ とおくと $$g(3)=27-63-27+63=0$$

   $\blacktriangleleft$ 先に $g(-3)=0$ や $g(7)=0$ などを見つけてもよい。
   であるから、因数定理より $g(x)$ は $x-3$ を因数にもつのがわかる。
   組立除法をつかうなら
   

   よって、 $$\begin{align} g(x)&=(x-3)(x^2-4x-21)\\ &=(x-3)(x+3)(x-7) \end{align}$$ である。以上から $f(x)\geqq0$ は $$\begin{align} &(x-1)(x^3-7x^2-9x+63)\geqq 0\\ \Leftrightarrow~&(x+3)(x-1)(x-3)(x-7)\geqq0 \end{align}$$ いま、$(x+3)(x-1)(x-3)(x-7)$ の符号は $x$ の値に応じて、以下のようにまとめることができる。

   $x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$	$7$	$\cdots$
   $x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x-7$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
   $f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

   これより、$(x+3)(x-1)(x-3)(x-7)\geqq0$ を満たすのは、$\boldsymbol{x\leqq-3,~1\leqq{x}\leqq3,~7\leqq{x}}$ である。

   

   【別解：4次関数のグラフを使う方法】

   $f(x)=x^4-8x^3-2x^2+72x-63$ とおくと $$f(x)=(x+3)(x-1)(x-3)(x-7)$$ より $y=f(x)$ のグラフは図となるので、$f(x)\geqq0$ を満たすのは、$\boldsymbol{x\leqq-3,~1\leqq{x}\leqq3,~7\leqq{x}}$ である。

1. 2次方程式の解と係数の関係から

   $$\begin{align} &\alpha+\beta=\boldsymbol{5}\\ &\alpha\beta=\boldsymbol{7} \end{align}$$

2. 式全体を$3$で割り，$x^2+\dfrac{8}{3}x-2=0$．2次方程式の解と係数の関係から

   $$\begin{align} &\alpha+\beta=\boldsymbol{-\dfrac{8}{3}}\\ &\alpha\beta=\boldsymbol{-2} \end{align}$$

2次方程式の解と係数の関係より

$\tag{1}\label{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$

である．

1. $$\begin{align} &\alpha^2+\beta^2\\ &=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\end{align}$$ $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 $$\begin{align} =3^2-2\cdot\dfrac{7}{2}\\ =9-7=\boldsymbol{2} \end{align}$$ $\blacktriangleleft\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った
2. $$\begin{align} &(\alpha-2)(\beta-2) \\ &=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 $$\begin{align} &=\dfrac{7}{2}-2\cdot 3+4\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った

   【別解】 $2x^2 − 6x + 7 = 2(x − \alpha)(x − \beta)$の両辺に$x = 2$を代入すると

   $$\begin{align} &3=2(2-\alpha)(2-\beta)\\ \Leftrightarrow~&(\alpha-2)(\beta-2)=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}} \end{align}$$
3. $$\begin{align} &\dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}\\ &=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2\beta^2}\end{align}$$ 　　　$\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 $$\begin{align}&=\dfrac{2}{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{8}{49}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った
4. $$\begin{align} &\alpha^3+\beta^3\\ &=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 $$\begin{align} &=3\left(2-\dfrac{7}{2}\right) \\ &=\boldsymbol{-\dfrac{9}{2}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った
5. $$\begin{align} &\alpha^4+\beta^4\\ &=(\alpha^2+\beta^2)^2-2\alpha^2\beta^2 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 $$\begin{align} &=2^2-2\left(\dfrac{7}{2}\right)^2\\ &=\boldsymbol{-\dfrac{41}{2}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った
6. $$\begin{align} &\alpha^5+\beta^5\\ &=(\alpha^3+\beta^3)(\alpha^2+\beta^2)-\alpha^2\beta^2(\alpha+\beta) \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 $$\begin{align} &=\left(-\dfrac{9}{2}\right)\cdot 2-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2\cdot 3 \\ &=\boldsymbol{-\dfrac{183}{4}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$1.，4.と$\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った

$(\mathrm{i})$より

これを$(\mathrm{i}\mathrm{i})$に代入して

これより，$\alpha$は2次方程式$x^2 + ax + b = 0$の解であることがわかる．

また，このとき$x^2 + ax + b$の$x$に$\beta$を代入すると

$\blacktriangle (\mathrm{i}\mathrm{v})$より

となり，$\beta$も2次方程式$x^2 + ax + b = 0$の解であることがわかる．

1. 和が$3$，積が $− 10$となる2数は，2次方程式$t^2 − 3t − 10 = 0$の解である．

   $$\begin{align} &t^2-3t-10=0\\ \Leftrightarrow~&(t-5)(t+2)=0\\ \Leftrightarrow~&t=-2,~5 \end{align}$$

   より，$\boldsymbol{(x,~y)=(-2,~5),~(5,~-2)}$．

2. 和が$-\dfrac{5}{2}$，積が$-\dfrac{3}{2}$となる2数は，2次方程式$t^2+\dfrac{5}{2}t-\dfrac{3}{2}=0$の解である．

   $$\begin{align} &t^2+\dfrac{5}{2}t-\dfrac{3}{2}=0\\ \Leftrightarrow~&\left(t-\dfrac{1}{2}\right)(t+3)=0\\ \Leftrightarrow~&t=\dfrac{1}{2},~-3 \end{align}$$

   より，$\boldsymbol{(x,~y)=\left(\dfrac{1}{2},~-3\right),~\left(-3,~\dfrac{1}{2}\right)}$．

3. 連立方程式を変形していくと

   $$\begin{align} &\begin{cases} x+y=-2\\ x^2+y^2=20 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} x+y=-2\\ (x+y)^2-2xy=20 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} x+y=-2\\ (-2)^2-2xy=20 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} x+y=-2\\ xy=-8 \end{cases} \end{align}$$

   和が $− 2$，積が $− 8$となる2数は，2次方程式$t^2 + 2t − 8 = 0$の解である．

   $$\begin{align} &t^2+2t-8=0\\ \Leftrightarrow~&(t+4)(t-2)=0\\ \Leftrightarrow~&t=-4,~2 \end{align}$$

   より，$\boldsymbol{(x,~y)=(-4,~2),~(2,~-4)}$．

4. 連立方程式を変形していくと

   $$\begin{align} &\begin{cases} xy=1\\ x^2+y^2=1 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} xy=1\\ (x+y)^2-2xy=1 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} xy=1\\ (x+y)^2-2\cdot 1=1 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} xy=1\\ x+y=\pm\sqrt{3} \end{cases} \end{align}$$

   和が$\pm\sqrt{3}$，積が$1$となる2数は，2次方程式$t^2\mp\sqrt{3}t+1=0$の解である．

   $$\begin{align} &t^2-\sqrt{3}t+1=0\\ \Leftrightarrow~&t=\dfrac{\sqrt{3}\pm i}{2} \end{align}$$

   また

   $$\begin{align} &t^2+\sqrt{3}t+1=0\\ \Leftrightarrow~&t=\dfrac{-\sqrt{3}\pm i}{2} \end{align}$$

   より

   $$\begin{align} &\boldsymbol{(x,~y)=}\\ &\boldsymbol{\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{2},~\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}\right)},\\ &\boldsymbol{\left(\dfrac{\sqrt{3}-i}{2},~\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}\right)},~\\ &\boldsymbol{\left(\dfrac{-\sqrt{3}+i}{2},~\dfrac{-\sqrt{3}-i}{2}\right)},\\ &~\boldsymbol{\left(\dfrac{-\sqrt{3}-i}{2},~\dfrac{-\sqrt{3}+i}{2}\right)} \end{align}$$

1. 3次方程式の解と係数の関係から

   $$\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=\boldsymbol{5}\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\boldsymbol{7}\\ &\alpha\beta\gamma=\boldsymbol{1} \end{align}$$

2. 式全体を$3$で割り，$x^3+\dfrac{8}{3}x^2-2x+\dfrac{5}{3}=0$．3次方程式の解と係数の関係から

   $$\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=\boldsymbol{-\dfrac{8}{3}}\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\boldsymbol{-2}\\ &\alpha\beta\gamma=\boldsymbol{-\dfrac{5}{3}} \end{align}$$

3次方程式の解と係数の関係より

である．

1. $$\begin{align} &\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\ &=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\ &=0^2-2\cdot(-3)\\ &=\boldsymbol{6} \end{align}$$ 　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った
2. $$\begin{align} &(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\\ &=\alpha\beta\gamma+\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha+\beta+\gamma+1\\ &=-5-3+0+1\\ &=\boldsymbol{-7} \end{align}$$ 　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った

   【別解】

   $x^3 − 3x + 5 = (x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)$の両辺に$x = − 1$を代入すると

   $$\begin{align} &7=(-1-\alpha)(-1-\beta)(-1-\gamma)\\ \Leftrightarrow~&(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=\boldsymbol{-7} \end{align}$$
3. $$\begin{align} &\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\\ &=\dfrac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\\ &=\dfrac{-3}{-5}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}} \end{align}$$ 　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った
4. $$\begin{align} &\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\ =&(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right. \\ &\Bigl. -(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\Bigr\}+3\alpha\beta\gamma\\ =&0\cdot\left\{6-(-3)\right\}+3\cdot(-5)\\ =&\boldsymbol{-15} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った

$\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$が$x = \alpha$という複素数解をもつとすると，

$\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$に$\alpha$を代入して

が成り立つ．

いま，$\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$の左辺に$x=\overline{\alpha}$を代入してみると

$a_3\overline{\alpha}^3+a_2\overline{\alpha}^2+a_1\overline{\alpha}+a_0$

$=a_3\overline{\alpha^3}+a_2\overline{\alpha^2}+a_1\overline{\alpha}+a_0 \blacktriangleleft$共役な複素数の性質

$=\overline{a_3}\ \overline{\alpha^3}+\overline{a_2}\ \overline{\alpha^2}+\overline{a_1}\ \overline{\alpha}+\overline{a_0} \blacktriangleleft$複素数の実数条件と純虚数条件

$=\overline{a_3\alpha^3}+\overline{a_2\alpha^2}+\overline{a_1\alpha}+\overline{a_0} \blacktriangleleft$共役な複素数の性質

$=\overline{a_3\alpha^3+a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0} \blacktriangleleft$共役な複素数の性質

$=0 \blacktriangleleft\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukainokaitou}$ より

となるので，$\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$は共役な複素数解$x=\overline{\alpha}$をもつのがわかる．

$\eqref{zissuukeisuunonzihouteisikikyouyakuhukusosuukai}$が$x=1+\sqrt{2}i$を解にもつとき，それと共役な

複素数$1-\sqrt{2}i$も解にもつ.　　　　　$\blacktriangleleft$実数係数の$n$次方程式の共役複素数解を使った

よって，$\eqref{zissuukeisuunonzihouteisikikyouyakuhukusosuukai}$は

で割り切れるから

とおける．右辺を展開すると

となるので，係数を比較すると

他の解は，$\boldsymbol{x=1-\sqrt{2}i,~-2}$．

【別解：『3次方程式の解と係数の関係』を使う】

$\eqref{zissuukeisuunonzihouteisikikyouyakuhukusosuukai}$が$x=1+\sqrt{2}i$を解にもつとき，それと共役な 複素数$1-\sqrt{2}i$も解にもつ. $\blacktriangleleft$実数係数の$n$次方程式の共役複素数解を使った

$\alpha=1+\sqrt{2}i,\beta=1-\sqrt{2}i$とおき，残りひとつの解を$\gamma$とすると3次方程式の解と係数の関係より

これを解くと，$\gamma=-2\,，\boldsymbol{a=0},\boldsymbol{b=-1}$となる．

他の解は，$\boldsymbol{x=1-\sqrt{2}i,~-2}$．