複素数

いままでは数といえば実数を扱ってきたが、ここではより広い数概念である、複素数を学ぶ。複素数を利用することにより、今まで表せなかったものが数式で表せるようになる。たとえば、大学の物理学の範囲ではあるが、物体の回転や振動といった運動を記述する際に活躍する。以下では、複素数の基本について学んでいこう。

複素数とその演算

複素数の導入

無題
無題

1次方程式 $3x − 2 = 0$ は整数の範囲に解をもたないが，有理数の範囲では$x=\dfrac{2}{3}$ という解をもつ． また，2次方程式 $x^2 = 3$ は有理数の範囲に解をもたないが，実数の範囲では $x=\pm\sqrt{3}$ という解をもつ．

このように，数の考え方を広げることで，方程式が新しく解をもつ場合がある．

実数の2乗は負にはならないので，2次方程式 $x^2 = − 3$ は実数の範囲に解をもたない． では，どのように数の考え方を広げれば，この方程式も解をもつだろうか． 以下では，そのことについて考えていく．

複素数の定義

2乗すると $− 1$ となる数を新しく考え，それを記号 $i$ で表し， 虚数単位(imaginary unit)という．つまり

\begin{align} i^2=-1 \end{align}

である．実数は2乗しても負にはならないので， $i$ は実数ではない．

さらに， $a，b$ を実数として $a{\oplus}bi$ の形に表される数を考え， それを複素数(complex number)という． また， $a{\ominus}bi$ は $a{\oplus}(-b)i$ のことであると決めるので，やはり複素数である （ $\oplus$ や $\ominus$ は\FTEXTだけで使う表記であり，一般的な記号ではない．説明のため一時的にもちいるだけで，後に使わなくなる）．

たとえば

\begin{align} 2{\oplus}3i~,~~\sqrt{2}{\ominus}4i~,~~-\dfrac{2}{3}{\oplus}\sqrt{5}i \end{align}

などは，どれも複素数である．

複素数 $a{\oplus}bi$ において， $a$ を実部(real part)， $b$ を虚部(imaginary part)という．

複素数

次の複素数の実部，虚部をいえ．

  1. $ \sqrt{2}{\oplus}3i$
  2. $ 1{\oplus}2i$
  3. $ 0{\oplus}0i $
  4. $5{\ominus}\sqrt{7}i $

  1. 実部は$\boldsymbol{\sqrt{2}}$，虚部は$\boldsymbol{3} $
  2. 実部は$\boldsymbol{1}$，虚部は$\boldsymbol{2}$
  3. 実部は$\boldsymbol{0}$，虚部は$\boldsymbol{0}$
  4. 実部は$\boldsymbol{5}$，虚部は$\boldsymbol{-\sqrt{7}}$

複素数の相等

2つの複素数の実部と虚部がそれぞれ等しいとき，その2つの複素数は等しいという．つまり

複素数の相等

$a，b，c，d$を実数とする．2つの複素数$a{\oplus}bi$と$c{\oplus}di$が等しいことを

$a{\oplus}bi=c{\oplus}di \Longleftrightarrow~a=c $ かつ $ b = d$

と定義する．

複素数の相等

次の等式を満たす実数$x，y$を求めよ．

  1. $(2x-y){\oplus}(6x+2y)i=1{\oplus}8i$
  2. $ (x+2y){\oplus}(3x-y)i=0{\oplus}0i$

  1. $2x − y，6x + 2y$は実数なので，実部と虚部を比較すると

    \begin{cases} 2x-y=1 \\ 6x+2y=8 \end{cases}

    これを解くと$\boldsymbol{x=1,~y=1}$となる．

  2. $x + 2y，3x – y$は実数なので，実部と虚部を比較すると

    \begin{cases} x+2y=0 \\ 3x-y=0 \end{cases}

    これを解くと$\boldsymbol{x=0,~y=0}$となる．

$a，b$を実数とするとき，複素数$a{\oplus}bi$を一文字のギリシア文字で表すことがある． つまり，$\alpha=a{\oplus}bi$などと書く． 複素数$\alpha=a{\oplus}bi$に対して，$a{\ominus}bi$を，$\alpha$と共役(conjugate)な複素数といい， $\overline{\alpha}$で表す．

共役な複素数

$a，b$を実数とし，複素数$\alpha$を$\alpha=a{\oplus}bi$とする． このとき，$\overline{\alpha}$を

\begin{align} \overline{\alpha}=a{\ominus}bi \end{align}

と定義する．$\alpha$と$\overline{\alpha}$は共役であるという．

複素数の加法と減法

次に複素数どうしの加法と減法について定義する．

複素数の加法・減法

$a，b，c，d$を実数とする． 2つの複素数$a{\oplus}biとc{\oplus}di$の和を

\begin{align} (a{\oplus}bi)+(c{\oplus}di)=(a+c){\oplus}(b+d)i \end{align}

差を

\begin{align} (a{\oplus}bi)-(c{\oplus}di)=(a-c){\oplus}(b-d)i \end{align}

と定義する．

吹き出し複素数の加法と減法

2つの複素数の加法では，実部を足し合わせたものを新しい実部に，虚部を足し合わせたものを新しい虚部にもつ 複素数を作ることである，と覚えればよい．減法も同様に覚えられる．

複素数の加法と減法

次の計算をせよ．

  1. $(1{\oplus}2i)+(3{\oplus}i) $
  2. $ (3{\ominus}2i)-(4{\ominus}i)$
  3. $\left(\dfrac{1}{2}{\oplus}\dfrac{1}{3}i\right)+\left(1{\oplus}\dfrac{2}{3}i\right) $
  4. $\left(1{\oplus}\sqrt{2}i\right)-\left(\sqrt{3}{\oplus}2\sqrt{2}i\right) $

  1. $ (1+3){\oplus}(2+1)i=\boldsymbol{4{\oplus}3i}$
  2. $(3-4){\oplus}(-2+1)i=\boldsymbol{-1{\ominus}i} $
  3. $\left(\dfrac{1}{2}+1\right){\oplus}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\right)i =\boldsymbol{\dfrac{3}{2}{\oplus}i}$
  4. $(1-\sqrt{3}){\oplus}(\sqrt{2}-2\sqrt{2})i $
    $=\boldsymbol{(1-\sqrt{3}){\ominus}\sqrt{2}i} $

複素数の乗法

次に複素数どうしの乗法について定義する．

複素数の乗法

$a，b，c，d$を実数とする． 2つの複素数$a{\oplus}bi$と$c{\oplus}di$の積を

\begin{align} (a{\oplus}bi)(c{\oplus}di)=(ac-bd){\oplus}(ad+bc)i \end{align}

と定義する．

この計算結果を暗記しようとすると難しい． そこで，$(a{\oplus}bi)(c{\oplus}di)$の計算の${\oplus}$を $+$ とみなして， 普通の文字式の計算と同じように展開していくと覚えやすい．

その際，$i^2$がでてきたら $− 1$に変えていけばよい．

\[(a{\oplus}bi)(c{\oplus}di)\] \[=ac+(ad+bc)i+bdi^2\] ←普通の文字式のように展開した \[=ac+(ad+bc)i-bd\] ←$i^2$を$-1$に変えた \[=(ac-bd){\oplus}(ad+bc)i\] ←実部と虚部にまとめた

この計算のやり方は，現時点ではただの記憶法にすぎないが，後に正当化される．

複素数の乗法～その１～

次の計算をせよ．

  1. $(1{\oplus}2i)(4{\oplus}i) $
  2. $(1{\ominus}2i)(3{\ominus}i) $
  3. $ \left(\dfrac{1}{2}{\ominus}i\right)\left(1{\oplus}\dfrac{1}{3}i\right) $
  4. $\left(\sqrt{3}{\oplus}i\right)\left(\sqrt{3}{\ominus}i\right) $

  1. 展開して計算していくと

    \begin{align} &(1{\oplus}2i)(4{\oplus}i)\\ &=4+(1+8)i+2i^2\\ &=4+9i-2\\ &=\boldsymbol{2{\oplus}9i} \end{align}

  2. 展開して計算していくと

    \begin{align} &(1{\ominus}2i)(3{\ominus}i)\\ &=3+(-1-6)i+2i^2\\ &=3-7i-2\\ &=\boldsymbol{1{\ominus}7i} \end{align}

  3. 展開して計算していくと

    \begin{align} &\left(\dfrac{1}{2}{\ominus}i\right)\left(1{\oplus}\dfrac{1}{3}i\right)\\ &=\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{6}-1\right)i-\dfrac{1}{3}i^2\\ &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6}i+\dfrac{1}{3}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{5}{6}{\ominus}\dfrac{5}{6}i} \end{align}

  4. 展開して計算していくと

    \begin{align} &\left(\sqrt{3}{\oplus}i\right)\left(\sqrt{3}{\ominus}i\right)\\ &=3+(-\sqrt{3}+\sqrt{3})i-i^2\\ &=3+0i+1\\ &=\boldsymbol{4{\oplus}0i} \end{align}

複素数の乗法～その２～

複素数$\alpha$において，$\alpha\overline{\alpha}$の虚部は$0$になることを証明せよ．

$\alpha=a{\oplus}bi$とおくと，$\overline{\alpha}=a{\ominus}bi$であるから \begin{align} \alpha\overline{\alpha}&=(a{\oplus}bi)(a{\ominus}bi)\\ &=a^2+(-ab+ab)i-b^2i^2\\ &=(a^2+b^2){\oplus}0i \end{align}

複素数の除法

次に複素数どうしの除法について定義する．

複素数の除法

$a，b，c，d$を実数とする． 2つの複素数$a{\oplus}bi$と$c{\oplus}di$の商を

\begin{align} \dfrac{a{\oplus}bi}{c{\oplus}di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}{\oplus}\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i \end{align}

と定義する．だたし，$c\neq0$または$d\neq0$とする．

乗法の場合と同じように，この計算結果も暗記するのは難しい． そこで，$\dfrac{a{\oplus}bi}{c{\oplus}di}$の計算の${\oplus}$を，やはり $+$ とみなして，文字式と同様の計算をすると覚えやすい．

次の計算にあるように，計算の初めに分母に共役な複素数$c{\ominus}di$を，分母と分子にかけ，分母を実数に変えるのがポイントである．

\[\frac{a{\oplus}bi}{c{\oplus}di}\qquad\quad\] \[=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\] ←分母と分子に$c-di$をかけた

\[=\frac{ac+(-ad+bc)i-bdi^2}{c^2+(-cd+cd)i-d^2i^2}\] ←普通の文字式のように展開した \[=\frac{ac+(-ad+bc)i+bd}{c^2+d^2}\] ←$i^2$を$-1$に変えた \[=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\] ←$i$をくくってまとめた \[=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}{\oplus}\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\] ←$i$を含む項と含まない項に分けた

この計算のやり方も，現時点ではやはり記憶法にすぎないが，後に正当化される．

複素数の除法

次の計算をせよ．

  1. $\dfrac{1{\oplus}i}{3{\oplus}2i} $
  2. $ \dfrac{1{\ominus}2i}{2{\ominus}i} $
  3. $\dfrac{3{\oplus}i}{3{\ominus}i}$
  4. $\dfrac{\sqrt{2}{\ominus}\sqrt{3}i}{\sqrt{2}{\oplus}\sqrt{3}i}$

  1. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

    \begin{align} &\dfrac{1{\oplus}i}{3{\oplus}2i}=\dfrac{(1+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}\\ &=\dfrac{3+(-2+3)i-2i^2}{9+(-6+6)i-4i^2}=\dfrac{3+i+2}{9+4}\\ &=\dfrac{5+i}{13}=\boldsymbol{\dfrac{5}{13}{\oplus}\dfrac{1}{13}i} \end{align}

  2. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

    \begin{align} &\dfrac{1{\ominus}2i}{2{\ominus}i}=\dfrac{(1-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\ &=\dfrac{2+(1-4)i-2i^2}{4+(2-2)i-i^2}=\dfrac{2-3i+2}{4+1}\\ &=\dfrac{4-3i}{5}=\boldsymbol{\dfrac{4}{5}{\ominus}\dfrac{3}{5}i} \end{align}

  3. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

    \begin{align} &\dfrac{3{\oplus}i}{3{\ominus}i}=\dfrac{(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}\\ &=\dfrac{9+(3+3)i+i^2}{9+(3-3)i-i^2}=\dfrac{9+6i-1}{9+1}\\ &=\dfrac{8+6i}{10}=\boldsymbol{\dfrac{4}{5}{\oplus}\dfrac{3}{5}i} \end{align}

  4. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

    \begin{align} &\dfrac{\sqrt{2}{\ominus}\sqrt{3}i}{\sqrt{2}{\oplus}\sqrt{3}i}=\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{3}i)(\sqrt{2}-\sqrt{3}i)}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}i)(\sqrt{2}-\sqrt{3}i)}\\ &=\dfrac{2+(-\sqrt{6}-\sqrt{6})i+3i^2}{2+(-\sqrt{6}+\sqrt{6})i-3i^2}\\ &=\dfrac{2-2\sqrt{6}-3}{2+3}\\ &=\dfrac{-1-2\sqrt{6}i}{5}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}{\ominus}\dfrac{2\sqrt{6}}{5}i} \end{align}

$\oplus$と$+$を同一視する

（注）

複素数$a{\oplus}bi$は，虚部が$0$，すなわち$b = 0$のとき，$a{\oplus}0i$となるが，これを単に$a$と書き，実数$a$のことだと考える． また，実部が$0$，すなわち$a = 0$のとき，$0{\oplus}bi$となるが，これを単に$bi$と書く． 特に，$a = 0$かつ$b\neq0$のとき，$bi$を純虚数(pure imaginary)という.

このように決めると

\[a{\oplus}bi\qquad\] \[=(a+0){\oplus}(0+b)i\] ←$a{\oplus}bi$を２つの複素数の和で書き換えた \[=(a{\oplus}0i)+(0{\oplus}bi)\] ←$a{\oplus}0i$を$a,0{\oplus}bi$を$b$に書き換えた \[=a+bi\qquad\qquad\]

と表せるので，結局$a{\oplus}bi$は$a + bi$と表してかまわない，つまり${\oplus}$と $+$ は混同させてかまわないことになる．

これから以下では，${\oplus}$はすべて + と表記するようにする．${\ominus}$と$ −$ も同様である．

暗記複素数の実数条件と純虚数条件

$\alpha$を複素数とするとき，次のことを証明せよ．

  1. 「$\alpha$が実数である」 $\Longleftrightarrow~\alpha=\overline{\alpha} $

  2. 「$\alpha$が純虚数である」$\Longleftrightarrow~\alpha=-\overline{\alpha}$

  1. $\alpha = a + bi$とおくと，$\overline{\alpha}=a-bi$であるので

    \begin{align} &{\Leftrightarrow~}\alpha=\overline{\alpha}\\ &{\Leftrightarrow~}\alpha-\overline{\alpha}=0 \\ &{\Leftrightarrow~}(a+bi)-(a-bi)=0\\ &{\Leftrightarrow~}(a-a)+(b+b)i=0\\ &{\Leftrightarrow~}0+2bi=0\\ &{\Leftrightarrow~}2b=0\Leftrightarrow b=0 \end{align}

    以上から，$\alpha = a + 0i$つまり$\alpha$は実数である．

  2. $\alpha = a + bi$とおくと，$\overline{\alpha}=a-bi$であるので

    \begin{align} &{\Leftrightarrow~}\alpha=-\overline{\alpha}\\ &{\Leftrightarrow~}\alpha+\overline{\alpha}=0 \\ &{\Leftrightarrow~}(a+bi)+(a-bi)=0\\ &{\Leftrightarrow~}(a+a)+(b-b)i=0\\ &{\Leftrightarrow~}2a+0i=0\\ &{\Leftrightarrow~}2a=0\Leftrightarrow a=0 \end{align}

    以上から，$\alpha = 0 + bi$つまり$\alpha$は純虚数である．

複素数の実数条件と純虚数条件

複素数$\alpha$について，次のことがいえる．

「$\alpha$が実数である」$\Longleftrightarrow~\alpha=\overline{\alpha} $

「$\alpha$が純虚数である」$\Longleftrightarrow~\alpha=-\overline{\alpha} $

複素数の性質

暗記複素数の性質

複素数$\alpha，\beta$において

$\alpha\beta=0\Longleftrightarrow~\alpha=0$ または$ \beta = 0 $

を証明せよ．

$\Leftarrow$は明らかなので，以下では$\Rightarrow$を証明する．

$\alpha = a + bi，\beta = c + di$とおく．

$\alpha\beta = 0$の両辺に$\overline{\alpha}$をかけて

\begin{align} &\overline{\alpha}\alpha\beta=0\\ \therefore~&(a-bi)(a+bi)(c+di)=0\\ \Leftrightarrow~&(a^2+b^2)(c+di)=0\\ \Leftrightarrow~&(a^2+b^2)c+(a^2+b^2)di=0 \end{align}

よって

\begin{cases} (a^2+b^2)c=0\\ (a^2+b^2)d=0 \end{cases} (上の式を①，下の式を②とする．)

①となるのは，$a^2 + b^2 = 0$つまり$a = b = 0$，または$c = 0$のときである．

$a = b = 0$のときは，②も成立．

$c = 0$のときは，$d = 0$であれば②が成立．

以上より，($a = 0$かつ$b = 0$)または($c = 0$かつ$d = 0$)，つまり$\alpha = 0$または$\beta = 0$が示せた．

暗記共役な複素数の性質

$\alpha，\beta$を複素数とするとき，次の等式を証明せよ．

  1. $ \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
  2. $ \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta} $
  3. $ \overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta} $
  4. $ \overline{\dfrac{\alpha}{\beta}}=\dfrac{\overline{\alpha}} {\overline{\beta}} （ただし，\beta\neq0） $

    $\alpha = a + bi，\beta = c + di$とおく．

  1. （左辺）

    \begin{align} &=\overline{(a+bi)+(c+di)}\\ &=\overline{(a+c)+(b+d)i}\\ &=(a+c)-(b+d)i\end{align}

    （右辺）

    \begin{align} &=\overline{a+bi}+\overline{c+di}\\ &=(a-bi)+(c-di)\\ &=(a+c)-(b+d)i \end{align}

    以上より，（左辺）$=$（右辺）となる．

  2. （左辺）

    \begin{align} &=\overline{(a+bi)-(c+di)}\\ &=\overline{(a-c)+(b-d)i}\\ &=(a-c)-(b-d)i \end{align}

    （右辺）

    \begin{align} &=\overline{a+bi}-\overline{c+di}\\ &=(a-bi)-(c-di)\\ &=(a-c)-(b-d)i \end{align}

    以上より，（左辺）$=$（右辺）となる．

  3. （左辺）

    \begin{align} &=\overline{(a+bi)(c+di)}\\ &=\overline{ac+(ad+bc)i+bdi^2}\\ &=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\ &=(ac-bd)-(ad+bc)i \end{align}

    （右辺）

    \begin{align} &=\overline{a+bi}~\overline{c+di}\\ &=(a-bi)(c-di)\\ &=ac-(ad+bc)i+bdi^2\\ &=(ac-bd)-(ad+bc)i \end{align}

    以上より，（左辺）$=$（右辺）となる．

  4. （左辺）

    \begin{align} &=\overline{\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{ac-(ad-bc)i-bdi^2}{c^2+(-cd+cd)i-d^2i^2}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}-\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}\right)}\\ &=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}i \end{align}

    （右辺）

    \begin{align} &=\dfrac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}\\ &=\dfrac{a-bi}{c-di}\\ &=\dfrac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)}\\ &=\dfrac{ac+(ad-bc)i-bdi^2}{c^2+(cd-cd)i-d^2i^2}\\ &=\dfrac{(ac+bd)+(ad-bc)i}{c^2+d^2}\\ &=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}i \end{align}

    以上より，（左辺）=（右辺）となる．

負の数の平方根

数の範囲を，いままでみてきたような複素数にまで拡張すれば，負の数の平方根を求めることができる． 例として， $− 3$の平方根を求めてみよう．

$− 3$の平方根は，方程式$x^2 = − 3$の解である．$ i^2 = − 1$を利用して

\begin{align} &x^2=3i^2\\ \Leftrightarrow~&x^2-3i^2=0\\ \Leftrightarrow~&(x-\sqrt{3}i)(x+\sqrt{3}i)=0\\ \Leftrightarrow~&x=\sqrt{3}i,~-\sqrt{3}i \end{align}

つまり， $− 3$の平方根は$\sqrt{3}i$と$-\sqrt{3}i$である． 一般には次のようにまとめられる．

負の数の平方根

$a > 0$のとき，$ − a$の平方根は，$\sqrt{a}i$と$−\sqrt{a}i$である．

特に， $− 1$の平方根は$i$と$ − i$である．

負の数の平方根

次の数の平方根を求めよ．

  1. $ − 36$
  2. $ − 20$
  3. $ -\dfrac{49}{81}$
  4. $ -\dfrac{5}{12}$

  1. $ \pm\sqrt{36}i=\boldsymbol{\pm6i} $
  2. $ \pm\sqrt{20}i=\boldsymbol{\pm2\sqrt{5}i}$
  3. $ \pm\sqrt{\dfrac{49}{81}}i=\boldsymbol{\pm\dfrac{7}{9}}i$
  4. $ \pm\sqrt{\dfrac{5}{12}}i=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}i=\boldsymbol{\pm\dfrac{\sqrt{15}}{6}i}$

負の数 $− a$の平方根のうち，$\sqrt{a}i$のことを$\sqrt{-a}$と表す．

負の数の平方根の表し方

$a > 0$のとき，$\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$とする．

負の数の平方根の計算

次の式を計算せよ．

  1. $ \sqrt{-9}+\sqrt{-1} $
  2. $ \sqrt{-48}-\sqrt{-75}$
  3. $ \sqrt{24}\sqrt{-18}$
  4. $ \sqrt{-2}\sqrt{-8}$
  5. $\dfrac{\sqrt{-15}}{\sqrt{108}}$
  6. $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{-10}}$

  1. $ \sqrt{-9}+\sqrt{-1}=3i+i=\boldsymbol{4i}$
  2. $ \sqrt{-48}-\sqrt{-75}=4\sqrt{3}i-5\sqrt{3}i$
    $\qquad\quad\qquad\qquad=\boldsymbol{-\sqrt{3}i} $
  3. $ \sqrt{24}\sqrt{-18}=2\sqrt{6}\times3\sqrt{2}i=\boldsymbol{12\sqrt{3}i} $
  4. $ \sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{2}i\times2\sqrt{2}i=4i^2=\boldsymbol{-4} $
  5. $ \dfrac{\sqrt{-15}}{\sqrt{108}}=\dfrac{\sqrt{15}}{6\sqrt{3}}i =\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5}}{6}i}$
  6. $ \dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{-10}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{10}i} =-\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{10}}i=\boldsymbol{-2\sqrt{2}i}$

吹き出し負の数の平方根

この例題の$4.$の計算で

\begin{align} \sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{(-2)\times(-8)}=\sqrt{16}=4 \end{align}

とすると間違いになる． このタイプの間違いを防ぐためには，$\sqrt{-a}$を見たら，まず始めに$\sqrt{a}i$の形に直して計算するとよい．

$a，b$が実数のとき \begin{align} \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}~~,~~~\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \end{align} は一般には成り立たない．このことを，次の例題で確認しておこう．

負の数の根号の計算

次の問いに答えよ．ただし，$a > 0$かつ$b > 0$のとき，$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$および $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$が成り立つことは使ってよい．

  1. $ a < 0$かつ$b < 0$のとき，$\sqrt{a}\sqrt{b}\neq\sqrt{ab}$であることを証明せよ．
  2. $ a > 0$かつ$b < 0$のとき，$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\neq\sqrt{\dfrac{a}{b}}$であることを証明せよ．

  1. (1)$ a < 0$かつ$b < 0$のとき

    （左辺）

    \begin{align} &=\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{-(-a)}\sqrt{-(-b)} \\ &=\sqrt{(-a)}i\sqrt{(-b)}i=\sqrt{(-a)(-b)}i^2 \\ &=-\sqrt{ab} \end{align}

    $\neq$（右辺）

  2. (2) $a > 0$かつ$b < 0$のとき

    （左辺）

    \begin{align} &=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{-(-b)}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}i}\\ &=-\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}}i=-\sqrt{-\dfrac{a}{b}}i\\ &=-\sqrt{-\left(-\dfrac{a}{b}\right)}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}} \end{align}

    $\neq$（右辺）

2次方程式の解の公式の拡張

2次方程式の解の公式の拡張について

実数$a，b，c$を係数にもつ2次方程式

\begin{align} ax^2+bx+c=0 \end{align}

$\tag{1}\label{2zihouteisikikainokousikinokakutyou}$

を解くことを考える． \FTEXT 数学Iで学んだときには，解を実数の範囲でしか考えていなかったが，ここではより広く複素数の範囲で 解を考えることにする．

$\eqref{2zihouteisikikainokousikinokakutyou}$を変形していくと

\begin{align} &ax^2+bx+c=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\\ \Leftrightarrow~&\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0\\ \Leftrightarrow~&\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \end{align}

複素数の範囲では負の数の平方根も求められるので，$b^2 − 4ac$の符号が何であっても

\begin{align} &x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}

と表せ，$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$となる．

2次方程式の解の公式の拡張

実数$a，b，c$を係数にもつ2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$の解は （$b^2 − 4ac$の値の符号が何であっても）

\begin{align} x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}

と表せる．

2次方程式の複素数の範囲での解

次の2次方程式を解け．

  1. $2x^2 + 5x + 1 = 0 $
  2. $3x^2 − 2x + 2 = 0 $
  3. $\sqrt{2}x^2+4x+3\sqrt{2}=0$
  4. $(\sqrt{3}-1)x^2-2x+3\sqrt{3}+3=0 $

  1. 2次方程式の解の公式より

    \begin{align} x&=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{-5\pm\sqrt{17}}{4}} \end{align}

  2. 2次方程式の解の公式より

    \begin{align} x&=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-3\cdot 2}}{3}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1\pm\sqrt{5}i}{3}} \end{align}

  3. 両辺に$\sqrt{2}$を掛けると

    \begin{align} &{\Leftrightarrow~}2x^2+4\sqrt{2}x+6=0\\ &{\Leftrightarrow~}x^2+2\sqrt{2}x+3=0 \end{align}

    であるから，2次方程式の解の公式より

    \begin{align} x&=\dfrac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2-1\cdot 3}}{1}\\ &=\boldsymbol{-\sqrt{2}\pm i} \end{align}

  4. 両辺に$\left(\sqrt{3}+1\right)$を掛けると

    \begin{align} &{\Leftrightarrow~}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)x^2\\ &-2\left(\sqrt{3}+1\right)x\\ &{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)x^2}\\ &+\left(3+3\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=0\\ &{\Leftrightarrow~}2x^2-2\left(\sqrt{3}+1\right)x\\ &+3\left(\sqrt{3}+1\right)^2=0 \end{align}

    であるから，2次方程式の解の公式より

    \begin{align} x=&\ \dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\\ &\pm\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2-2\cdot 3\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}{2}\\ =&\ \boldsymbol{\dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\left(1\pm\sqrt{5}i\right)} \end{align}

2次方程式の判別式

2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$について，\FTEXT 数学Iでは

  1. $ D = b^2 − 4ac \gt 0$のとき，2つの異なる解をもつ．
  2. $ D = b^2 − 4ac = 0$のとき，重解をもつ．
  3. $ D = b^2 − 4ac \lt 0$のとき，解は存在しない．

と学んだが，解を複素数の範囲まで拡張して考えるならば，次のようにまとめられる．

2次方程式の判別式

2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$の判別式$D = b^2 − 4ac$について

  1. $ D = b^2 − 4ac \gt 0$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
  2. $ D = b^2 − 4ac = 0$のとき，重解（実数解） をもつ．
  3. $ D = b^2 − 4ac \lt 0$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

となる．

解の判別

次の2次方程式の解を判別せよ．

  1. $x^2 − 4x + 2a + 1 = 0 $
  2. $ x^2 + (a − 1)x − a + 3 = 0 $

  1. 判別式を$D$とすると

    \begin{align} \dfrac{D}{4}=(-2)^2-(2a+1)=3-2a \end{align}
    1. $ \dfrac{D}{4} \gt 0$，すなわち$a\lt\dfrac{3}{2}$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
    2. $\dfrac{D}{4}=0$，すなわち$a=\dfrac{3}{2}$のとき，重解をもつ．
    3. $\dfrac{D}{4} \lt 0$，すなわち$a\gt\dfrac{3}{2}$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

  2. 判別式を$D$とすると

    \begin{align} D&=(a-1)^2-4(-a+3)\\ &=a^2+2a-11 \end{align}

    $y = a^2 + 2a – 11$のグラフは右図のようであるから

    1. $ D \gt 0$，すなわち$a\lt-1-2\sqrt{3}，-1+2\sqrt{3}\lt a$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
    2. $ D = 0$，すなわち$a=-1\pm 2\sqrt{3}$のとき，重解をもつ．
    3. $D \lt 0$，すなわち$-1-2\sqrt{3}\lt a\lt-1+2\sqrt{3}$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．