$x-a$で展開するということ
たとえば，多項式$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$は
\begin{align} &x^3-4x^2+2x+5\\ =&(x-1)^3-(x-1)^2-3(x-1)+8 \end{align}のように表すことができる（右辺を展開して左辺と等しくなることを確かめてみよ）． このような変形を行ったとき，右辺のような形の式のことを$x – 1$で展開された式という．
このように変形するには，次の手順を踏めばよい．
STEP1
まず，$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$の各項から，無理やり$(x − 1)$をくくる． このとき，$x = (x − 1) + 1$とみるのがポイントである．
\begin{align} & x^3-4x^2+2x+5\\ =&\left\{(x-1)+1\right\}^3-4\left\{(x-1)+1\right\}^2\\ &+2\left\{(x-1)+1\right\}+5 \end{align}STEP2
次に，$(x − 1)$のかたまりを崩さないように，展開していく．
\begin{align} &\left\{(x-1)+1\right\}^3-4\left\{(x-1)+1\right\}^2\\ &+2\left\{(x-1)+1\right\}+5\\ &=\left\{(x-1)^3+3(x-1)^2\right.\\ &\qquad\left. +3(x-1)+1\right\}\\ &\qquad-4\left\{(x-1)^2+2(x-1)+1\right\}\\ &\qquad+2\left\{(x-1)+1\right\}+5 \end{align}STEP3
最後に，同類項どうしで整理する．
\begin{align} &\left\{(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1\right\}\\ &\qquad-4\left\{(x-1)^2+2(x-1)+1\right\}\\ &\qquad+2\left\{(x-1)+1\right\}+5\\ &=(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1\\ &\qquad-4(x-1)^2-8(x-1)\\ &\qquad-4+2(x-1)+2+5\\ &=(x-1)^3-(x-1)^2-3(x-1)+8 \end{align}このような変形を利用して，1次式の割り算を考えることもできる．
例題($x-a$で展開するということ)
$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で割ったときの商と余りを，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で展開することにより求めよ．
まず，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で展開する．
\begin{align} & x^3+2x^2+3x+1 \\ =&\left\{(x-2)+2\right\}^3+2\left\{(x-2)+2\right\}^2\\ &+3\left\{(x-2)+2\right\}+1\\ =&\left\{(x-2)^3+6(x-2)^2+12(x-2)+8\right\}\\ &\quad+2\left\{(x-2)^2+4(x-2)+4\right\}\\ &+3\left\{(x-2)+2\right\}+1\\ =&(x-2)^3+6(x-2)^2\\ &+12(x-2)+8+2(x-2)^2\\ & +8(x-2)+8+3(x-2)+6+1\\ =&(x-2)^3+8(x-2)^2+23(x-2)+23 \end{align}次に，この式を$(x − 2)$でくくると
\begin{align} & (x-2)^3+8(x-2)^2+23(x-2)+23\\ &=(x-2)\left\{(x-2)^2+8(x-2)+23\right\}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+23 \end{align}最後に，中括弧の中を展開すると
\begin{align} & (x-2)\left\{(x-2)^2+8(x-2)+23\right\}+23\\ &=(x-2)(x^2-4x+4+8x-16+23)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+23\\ &=(x-2)(x^2+8x+11)+23 \end{align}となるので，結局
\begin{align} &x^3+2x^2+3x+1 \\ =&\overbrace{(x-2)}^{A}\overbrace{(x^2+8x+11)}^{B}+\overbrace{23}^{C} \end{align}と変形できる．
多項式の除法の一意性 より，（$A$の次数）$\gt$（$C$の次数）を満たす関係は一通りに定まるので， 商は$\boldsymbol{x^2+8x+11}$で，余りは$\boldsymbol{23}$となる．
多項式の除法(再)
次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを 組立除法と$x – \alpha$で展開する方法の2通りで求めよ．
- $ x^2 + 2x + 1，x − 1 $
- $ x^3 + 3，x + 1 $
- $ x^3 − 4x^2 − 2x + 5，x − 2 $
- $ x^3 − 2x^2 − x + 6，x − 3 $
【解1：組立除法】
組立除法を行うと
となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．
【解2：$x − \alpha$で展開する方法】
\begin{align} & x^2+2x+1\\ &=\left\{(x-1)+1\right\}^2+2\left\{(x-1)+1\right\}+1\\ &=(x-1)^2+4(x-1)+4\\ &=(x-1)(x-1+4)+4\\ &=(x-1)(x+3)+4 \end{align}となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．
【解1：組立除法】
組立除法を行うと
となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．
【解2：$x − \alpha$で展開する方法】
\begin{align} &x^3+3\\ &=\left\{(x+1)-1\right\}^3+3\\ &=(x+1)^3+3(x+1)^2(-1)\\ &\qquad+3(x+1)-1+3\\ &=(x+1)(x^2+2x+1-3x-3+3)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+2\\ &=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．
【解1：組立除法】
組立除法を行うと
となるので，商は$\boldsymbol{x^2-2x-6}$，余りは$\boldsymbol{-7}$である．
【解2：$x − \alpha$で展開する方法】
\begin{align} & x^3-4x^2-2x+5\\ &=\!\left\{(x-2)+2\right\}^3\!-\!4\!\left\{(x-2)+2\right\}^2\\ &\qquad-2\!\left\{(x-2)+2\right\}\!+5\\ &=(x-2)\left\{(x-2)^2+2(x-2)-6\right\}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-7\\ &=(x-2)(x^2-2x-6)-7 \end{align}となるので，商は$\boldsymbol{x^2-2x-6}$，余りは$\boldsymbol{-7}$である．
【解1：組立除法】
組立除法を行うと
となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x+2}$，余りは$\boldsymbol{12}$である
【解2：$x − \alpha$で展開する方法】
\begin{align} & x^3-2x^2-x+6\\ &=\!\left\{(x-3)+3\right\}^3\!-2\!\left\{(x-3)+3\right\}^2\\ &\qquad-\left\{(x-3)+3\right\}+6\\ &=\ (x-3)^3+9(x-3)^2+27(x-3)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+27\\ &\quad-2(x-3)^3-6(x-3)\\ &\quad-18-(x-3)-3+6\\ &=(x-3)(x^2+x+2)+12 \end{align}となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x+2}$，余りは$\boldsymbol{12}$である．