1次の多項式の除法の計算方法

1次の多項式の除法の計算方法

多項式の除法において，特に1次式で割る場合には，前節で紹介した2つの方法以外にも， 覚えておきたい計算方法が2つある．

組立除法

ここでは，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で割ったときの商と余りを求めることを例として， 具体的な計算方法を見ていく．

ここではまず，組立除法(synthetic division)という計算方法について学ぶ．

$a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$を$x – \alpha $で割ったときの，商を$b_0x^2 + b_1x + b_2$，余りを$R$とすると

\begin{align} &a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\\ =&(x-\alpha)(b_0x^2+b_1x+b_2)+R \end{align}

と表せるが，右辺を展開して整理すると

組立除法の図その１
\begin{align} &a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\\ =&b_0x^3+(b_1-\alpha b_0)x^2\\ &+(b_2-\alpha b_1)x+R-\alpha b_2 \end{align}

となるので，両辺の係数を比較することにより

\begin{align} &a_0=b_0~,~~a_1=b_1-\alpha b_0~,~~\\ &a_2=b_2-\alpha b_1~,~~a_3=R-\alpha b_2 \end{align}

が成り立つ．

これから，$b_0，b_1，b_2，b_3，R$を解くことにより，商の係数や余りは

\begin{align} &b_0=a_0~,~~b_1=a_1+\alpha b_0~,~~\\ &b_2=a_2+\alpha b_1~,~~R=a_3+\alpha b_2 \end{align}

と計算できる．

この計算の手順は，右上の図のように考えればよい．

組立除法の図その２

たとえば，$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$を$x – 2$で割ったときには，右図のような計算結果になるので

商は$x^2 − 2x − 2 $余り1

と求まる．

例題(組立除法)

$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で割ったときの商と余りを組立除法で計算せよ．

組立除法を実行すると

例題(組立除法)の解答の図

となるので，商は$\boldsymbol{x^2+4x+11}$，余りは$\boldsymbol{23}$となる．

$x-a$で展開するということ

たとえば，多項式$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$は

\begin{align} &x^3-4x^2+2x+5\\ =&(x-1)^3-(x-1)^2-3(x-1)+8 \end{align}

のように表すことができる（右辺を展開して左辺と等しくなることを確かめてみよ）． このような変形を行ったとき，右辺のような形の式のことを$x – 1$で展開された式という．

このように変形するには，次の手順を踏めばよい．

STEP1

まず，$x^3 − 4x^2 + 2x + 5$の各項から，無理やり$(x − 1)$をくくる． このとき，$x = (x − 1) + 1$とみるのがポイントである．

\begin{align} & x^3-4x^2+2x+5\\ =&\left\{(x-1)+1\right\}^3-4\left\{(x-1)+1\right\}^2\\ &+2\left\{(x-1)+1\right\}+5 \end{align}

STEP2

次に，$(x − 1)$のかたまりを崩さないように，展開していく．

\begin{align} &\left\{(x-1)+1\right\}^3-4\left\{(x-1)+1\right\}^2\\ &+2\left\{(x-1)+1\right\}+5\\ &=\left\{(x-1)^3+3(x-1)^2\right.\\ &\qquad\left. +3(x-1)+1\right\}\\ &\qquad-4\left\{(x-1)^2+2(x-1)+1\right\}\\ &\qquad+2\left\{(x-1)+1\right\}+5 \end{align}

STEP3

最後に，同類項どうしで整理する．

\begin{align} &\left\{(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1\right\}\\ &\qquad-4\left\{(x-1)^2+2(x-1)+1\right\}\\ &\qquad+2\left\{(x-1)+1\right\}+5\\ &=(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1\\ &\qquad-4(x-1)^2-8(x-1)\\ &\qquad-4+2(x-1)+2+5\\ &=(x-1)^3-(x-1)^2-3(x-1)+8 \end{align}

このような変形を利用して，1次式の割り算を考えることもできる．

例題($x-a$で展開するということ)

$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で割ったときの商と余りを，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で展開することにより求めよ．

まず，$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$を$x – 2$で展開する．

\begin{align} & x^3+2x^2+3x+1 \\ =&\left\{(x-2)+2\right\}^3+2\left\{(x-2)+2\right\}^2\\ &+3\left\{(x-2)+2\right\}+1\\ =&\left\{(x-2)^3+6(x-2)^2+12(x-2)+8\right\}\\ &\quad+2\left\{(x-2)^2+4(x-2)+4\right\}\\ &+3\left\{(x-2)+2\right\}+1\\ =&(x-2)^3+6(x-2)^2\\ &+12(x-2)+8+2(x-2)^2\\ & +8(x-2)+8+3(x-2)+6+1\\ =&(x-2)^3+8(x-2)^2+23(x-2)+23 \end{align}

次に，この式を$(x − 2)$でくくると

\begin{align} & (x-2)^3+8(x-2)^2+23(x-2)+23\\ &=(x-2)\left\{(x-2)^2+8(x-2)+23\right\}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+23 \end{align}

最後に，中括弧の中を展開すると

\begin{align} & (x-2)\left\{(x-2)^2+8(x-2)+23\right\}+23\\ &=(x-2)(x^2-4x+4+8x-16+23)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+23\\ &=(x-2)(x^2+8x+11)+23 \end{align}

となるので，結局

\begin{align} &x^3+2x^2+3x+1 \\ =&\overbrace{(x-2)}^{A}\overbrace{(x^2+8x+11)}^{B}+\overbrace{23}^{C} \end{align}

と変形できる．

多項式の除法の一意性 より，（$A$の次数）$\gt$（$C$の次数）を満たす関係は一通りに定まるので， 商は$\boldsymbol{x^2+8x+11}$で，余りは$\boldsymbol{23}$となる．

多項式の除法(再)

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを 組立除法と$x – \alpha$で展開する方法の2通りで求めよ．

  1. $ x^2 + 2x + 1，x − 1 $
  2. $ x^3 + 3，x + 1 $
  3. $ x^3 − 4x^2 − 2x + 5，x − 2 $
  4. $ x^3 − 2x^2 − x + 6，x − 3 $

  1. 【解1：組立除法】

    組立除法を行うと

    多項式の除法(再)の解答の図その１

    となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

    【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

    \begin{align} & x^2+2x+1\\ &=\left\{(x-1)+1\right\}^2+2\left\{(x-1)+1\right\}+1\\ &=(x-1)^2+4(x-1)+4\\ &=(x-1)(x-1+4)+4\\ &=(x-1)(x+3)+4 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

  2. 【解1：組立除法】

    組立除法を行うと

    多項式の除法(再)の解答の図その２

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

    【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

    \begin{align} &x^3+3\\ &=\left\{(x+1)-1\right\}^3+3\\ &=(x+1)^3+3(x+1)^2(-1)\\ &\qquad+3(x+1)-1+3\\ &=(x+1)(x^2+2x+1-3x-3+3)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+2\\ &=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

  3. 【解1：組立除法】

    組立除法を行うと

    多項式の除法(再)の解答の図その３

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-2x-6}$，余りは$\boldsymbol{-7}$である．

    【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

    \begin{align} & x^3-4x^2-2x+5\\ &=\!\left\{(x-2)+2\right\}^3\!-\!4\!\left\{(x-2)+2\right\}^2\\ &\qquad-2\!\left\{(x-2)+2\right\}\!+5\\ &=(x-2)\left\{(x-2)^2+2(x-2)-6\right\}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-7\\ &=(x-2)(x^2-2x-6)-7 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-2x-6}$，余りは$\boldsymbol{-7}$である．

  4. 【解1：組立除法】

    組立除法を行うと

    多項式の除法(再)の解答の図その４

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x+2}$，余りは$\boldsymbol{12}$である

    【解2：$x − \alpha$で展開する方法】

    \begin{align} & x^3-2x^2-x+6\\ &=\!\left\{(x-3)+3\right\}^3\!-2\!\left\{(x-3)+3\right\}^2\\ &\qquad-\left\{(x-3)+3\right\}+6\\ &=\ (x-3)^3+9(x-3)^2+27(x-3)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+27\\ &\quad-2(x-3)^3-6(x-3)\\ &\quad-18-(x-3)-3+6\\ &=(x-3)(x^2+x+2)+12 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x+2}$，余りは$\boldsymbol{12}$である．