多項式の除法の計算方法

多項式の除法の計算方法

ここでは， $x^4 + 3x^3 – 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求める方法を 例として，具体的な計算方法を見ていく． 計算方法には次の2つの方法がある．

除法の計算方法～筆算形式～

$x^4 + 3x^3 − 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求めよ．

STEP1

まず，整数の割り算と同じように，下図のように書いておく．この例題では，割られる多項式には$x^2$の項はないが，その場合でも 適度にスペースを空け，計算できるようにしておく．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その１

STEP2

$x^2 − 3x + 1$に何をかけて引くと，$x^4 + 3x^3 − 4x + 2$の最高次の項$x^4$が消えるかを考える． この例題では$x^2$なので，$x^2$を下図のように書く．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その２

STEP3

下図のようにして，$x^2 − 3x + 1$に$x^2$をかけた式を$x^4 + 3x^3 − 4x + 2$から引く．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その３

STEP4

STEP2と同じように，$6x^3$が消えるように$x^2 − 3x + 1$に$6x$をかけて引く．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その４

STEP5

同じように，$17x^2$が消えるように$x^2 − 3x + 1$に$17$をかけて引く．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その５

STEP6

最下段の$41x – 15$の次数が，割る多項式$x^2 − 3x + 1$の次数より低いので，ここでやめる．

除法の計算方法～筆算形式～の解答の図その６

この結果から \begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2+6x+17)(x^2-3x+1)+41x-15 \end{align} となることがわかり，商は$x^2 + 6x + 17$，余りは$41x – 15$とわかる．

吹き出し多項式の除法の計算方法

慣れてきたら$x^4$や$x^3$などを省略し，係数だけを並べて筆算するとよい． 上の計算では次のようになる．

多項式の除法の一意性の図

除法の計算方法～暗算形式～

$x^4 + 3x^3 − 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求めよ．

STEP1

まず，右辺を展開したときに$x^4$が現れるように，下のように書く．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2~~~~~~~~~~) \end{align}

STEP2

このままでは，右辺の$x^3$の係数は$ − 3$となり，左辺の$3$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 6x$を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x^3$の係数が$3$となり，左辺とあう．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x~~~~~) \end{align}

STEP3

しかし，このままでは，右辺の$x^2$の係数は$ − 17$となり，左辺の$0$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 17$を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x^2$の係数が$0$となり，左辺とあう．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17) \end{align}

STEP4

しかし，このままでは，右辺の$x$の係数は $− 45$となり，左辺の$ − 4$と合わなくなるので，つじつまをあわせるために$ + 41x$を右のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに$x$の係数が$ − 4$となり，左辺とあう．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17)+41x \end{align}

STEP5

最後に，右辺の定数項$17$と左辺の定数項$2$を合わせるため，右のように$ − 15$を書く． こうすれば，右辺を展開したときの定数項が$17$となり，左辺とあう．

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17)\\ &+41x-15 \end{align}

この結果から，商は$x^2 + 6x + 17$，余りは$41x – 15$とわかる．

吹き出し多項式の除法の計算方法

以上2つの方法を見てきたが，慣れると『暗算形式』の方が『筆算形式』より素早く計算できる． 多項式の係数に分数が含まれる場合など，暗算での計算が難しくなる場合には『筆算形式』を使うとよい．

多項式の除法～その１～

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを求めよ．

  1. $x^2 + 2x + 1，x – 1$
  2. $x^3 + 3，x + 1 $
  3. $x^3 + x^2 + 4x + 3，x^2 − x + 1$
  4. $ x^4 + 2x^3 − 3x^2 + 5x + 6，x^2 + x − 1 $

  1. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

    \begin{align} x^2+2x+1=(x-1)(x+3)+4 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x+3}$，余りは$\boldsymbol{4}$である．

    多項式の除法～その１～の解答の図その１

  2. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

    \begin{align} x^3+3=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$，余りは$\boldsymbol{2}$である．

    多項式の除法～その１～の解答の図その２

  3. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

    \begin{align} &x^3+x^2+4x+3\\ =&(x^2-x+1)(x+2)+5x+1 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x+2}$，余りは$\boldsymbol{5x+1}$である．

    多項式の除法～その１～の解答の図その３

  4. 計算すると（筆算形式は下図を参照）

    \begin{align} & x^4+2x^3-3x^2+5x+6\\ =&(x^2+x-3)(x^2+x-1)+9x+3 \end{align}

    となるので，商は$\boldsymbol{x^2+x-3}$，余りは$\boldsymbol{9x+3}$である．

    多項式の除法～その１～の解答の図その４

多項式の除法～その２～

  1. $ x^2 + 2x – 3$で割ると，商が$x + 1$，余りが$x + 2$になる多項式を求めよ.

  2. $2x^3 − 3x^2 + 2x + 4$を割ると，商が$2x + 1$，余りが$2x + 3$になる多項式を求めよ．

  1. 求める多項式を$f(x)$とすると，商が$x + 1$，余りが$x + 2$であるから

    \begin{align} f(x) &=(x+1)(x^2+2x-3)+x+2 \\ &=x^3+3x^2-x-3+x+2\\ &=\boldsymbol{x^3+3x^2-1} \end{align}
  2. 多項式の除法～その２～の解答の図

    求める多項式を$f(x)$とおくと

    \begin{align} &2x^3-3x^2+2x+4\\ &=f(x)(2x+1)+2x+3\\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)=2x^3-3x^2+1 \\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)\\ &=(2x+1)(x^2-2x+1)\\ \therefore~&f(x)=x^2-2x+1 \end{align}

    であるから，求める多項式は$\boldsymbol{x^2-2x+1}$である．

多項式の除法の一意性

（注）

ここまで計算してきた経験から，多項式の除法では，商や余りが必ず存在し，さらにそれらが一通りに定まることは明らかであろう．

一般に，ある定義で定められたものがただ一通りに定まることを一意性(uniqueness)という ．次に，多項式の除法の一意性について，まとめておこう．

多項式の除法の一意性

多項式$f(x)，g(x)$において

\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad(\deg r(x) \lt \deg g(x)) \end{align}

を満たす多項式$Q(x)，r(x)$が

ただ一通りに

存在する．

【証明：背理法】

多項式$f(x)$と$g(x)$について

$f(x)=g(x)Q_1(x)+r_1(x)$
$\deg r_1(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{1}\label{takousikinozyohounoitiisei1}$

$f(x)=g(x)Q_2(x)+r_2(x)$
$\deg r_2(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{2}\label{takousikinozyohounoitiisei2}$

と2通りに表されたとする．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei1}-\eqref{takousikinozyohounoitiisei2}$より

\begin{align} &0=g(x)Q_1(x)+r_1(x)\\ &-g(x)Q_2(x)-r_2(x)\\ \Leftrightarrow~&g(x)\left\{Q_1(x)-Q_2(x)\right\}\\ &=r_2(x)-r_1(x) \end{align} $\tag{3}\label{takousikinozyohounoitiisei3}$

となる．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei3}$において，$Q_1(x) – Q_2(x)$が$0$ではないとすると，左辺の次数が右辺の次数より大きくなってしまう． よって，$Q_1(x) – Q_2(x)$は$0$，つまり$Q_1(x) = Q_2(x)$である．

また，このとき③の左辺は$0$となるので

\begin{align} &0=r_2(x)-r_1(x)\\ \Leftrightarrow~&r_1(x)=r_2(x) \end{align}

以上より，商と余りが一致することが示されたので，多項式の除法の商と余りは一通りに定まることが証明された．