多項式の除法の基本定理
整数の割り算（多項式の除法）
まず，小学校以来慣れ親しんできた，整数の除法(integer division)について復習する．
たとえば，右図のような計算により，$17$を$3$で割ると，商は$5$で余りは$2$とわかる．この関係を式で表すと
\begin{align} 17=3\times5+2 \end{align}となる．
このとき，$17$を割られる数，$3$を割る数と呼ぶので，一般的には次のような関係が成り立つ．
（割られる数）$＝$（割る数）$\times$（商）$＋$（余り）
また，（割る数）$\gt$（余り）$\geqq 0$の関係がある．
整数の除法とは何か，つまり整数$a$を整数$b$で割ったときの商と余りを求めるとはどういうことなのかを きちんと定義すると
\begin{align} a=b\cdot Q+r~~(0\leqq{r}\lt Q) \end{align}を満たす整数$Q$と$r$を求めることとなる. そして，この求まった値$Q$と$r$をそれぞれ，商と余りと呼ぶのである．
多項式の次数の表し方
まず，多項式の次数を表す記号を定義しておこう．
多項式の次数
多項式$f(x)$の次数を$deg \ f(x)$と表す．
たとえば，$f(x) = x3 − 4x2 + 5x − 1，$
$g(x) = 3x2 − 4x + 5$とするとき，$deg \ f(x) = 3，deg \ g(x) = 2$である．
多項式の除法について
整数の除法に続き，今度は多項式の除法(polynomial division)について考えてみる．
たとえば，「$x^3 – x^2 + 2x – 3$を$x^2 + 2x – 1$で割る」とは
\begin{align} &x^3-x^2+2x-3\\ =&(x^2+2x-1)Q(x)+r(x) \end{align}と変形することであると定義する． ただし，このとき$Q(x)，r(x)$は共に$x$の多項式であり，$deg(x^2 + 2x − 1) \gt deg \ r(x)$であるとする． この結果の$Q(x)$と$r(x)$をそれぞれ， 多項式の除法における商(quotient)と 余り(remainder)と呼ぶ．
多項式の除法
多項式$f(x)，g(x)$において
\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad\left(\deg \ r(x) \lt \deg \ g(x)\right) \end{align}と変形できたとき，$Q(x)$を商，$r(x)$を余りという．
特に，余り$r(x)$が$0$のとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れるという．
さきほどの例では，商$Q(x)$は$x – 3$，余り$r(x)$は$9x – 6$となる．つまり
\begin{align} &x^3-x^2+2x-3\\ =&(x^2+2x-1)\times(x-3)+(9x-6) \end{align}となる．各自，以下の2点について確認しておこう．
- 上の式の右辺を展開すると左辺と等しいこと
- $x^2 + 2x – 1$の次数が余り$9x – 6$の次数より大きいこと
以下では，多項式の除法の計算方法についてみていく．