剰余の定理と因数定理

剰余の定理

（注）

多項式$f(x)$の$x$に数$a$を代入したときの$f(x)$の値を$f(a)$と書く ．

たとえば，$f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1$とすると

\begin{align} &f(1)=1^3+2\cdot2^2+3\cdot1+1=7\\ &f(0)=0^3+2\cdot0^2+3\cdot0+1=1\\ &f(2)=2^3+2\cdot2^2+3\cdot2+1=23 \end{align}

である．

剰余の定理のための補題

$f(x) = x^4 − 3x^2 + 5x – 8$とする．

  1. $f(x)$を$x – 2$で割ったときの余りを求めよ．
  2. $ f(2)$の値を計算せよ．

無題
無題

  1. 割り算を実行すると

    \begin{align} f(x)=(x-2)(x^3+2x^2+x+7)+6 \end{align}　　　　$\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図

    となるので，余りは$\boldsymbol{6}$である．

  2. $ f(2)=2^4-3\cdot2^2+5\cdot2-8=\boldsymbol{6} $

上の例題では，$f(x)$を$x – 2$で割ったときの余りと，$f(2)$の値が等しくなっているが， これは，偶然に一致したわけではなく，次の理由による．

多項式$f(x)$を1次式$x – a$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり

\begin{align} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align}

が成り立つ．この式に$x = a$を代入すると

\begin{align} f(a)=(a-a)Q(a)+r=r \end{align}

となり，$f(a)$が$f(x)$を$x – a$で割ったときの余り$r$と等しいことがわかる．

剰余の定理

多項式$f(x)$を$x – a$で割ったときの余りは$f(a)$である．

剰余の定理の確認問題

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの余りだけ求めよ（商は求めなくてよい）．

  1. $x^2+2x+1，x-1 $
  2. $x^3+3，x+1$
  3. $ x^3-4x^2-2x+5，x-2 $
  4. $x^3-2x^2-x+6，x-3 $

  1. 剰余の定理より，$f(1)=\boldsymbol{4}$

  2. 剰余の定理より，$f(-1)=\boldsymbol{2}$

  3. 剰余の定理より，$f(2)=\boldsymbol{-7} $

  4. 剰余の定理より，$f(3)=\boldsymbol{12}$

吹き出し剰余の定理

余りを求めるだけならば剰余の定理が大変な威力を発揮する．

暗記剰余の定理の拡張

多項式$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの余りは$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$であることを証明せよ．

$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり，次の関係式が成り立つ．

\begin{align} f(x)=(ax+b)Q(x)+r \end{align}

この式の$x$に$-\dfrac{b}{a}$を代入すると

\begin{align} &f\left(-\dfrac{b}{a}\right) \\ =&\left\{a\cdot\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b\right\}Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+r\\ =&(-b+b)Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+r\\ =&r \end{align}

となり，$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$と余り$r$が等しいことが分かる．

剰余の定理の拡張

多項式$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの余りは$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$となる．

剰余の定理の利用

次の各問に答えよ．

  1. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$2$余り，$x – 2$で割ると$3$余る．$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)$で割ったときの余りを求めよ．

  2. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$3$余り，$(x − 2)(x − 3)$で割ると$3x – 2$余る． $f(x)$を$(x − 1)(x − 2)(x − 3)$で割ったときの余りを求めよ．

  3. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$2$余り，$(x − 2)^2$で割ると$3x – 2$余る．$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)^2$で割ったときの余りを求めよ.

  1. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-1)Q_1(x)+2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 2$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とすると

    \begin{align} f(x) &=(x-1)\left\{Q_2(x)(x-2)+a\right\}+2 \\ &=(x-1)(x-2)Q_2(x)\\ &\qquad\qquad\qquad+ax+2-a \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 2) + a$である

    ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(2)=2a+2-a=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(2) = 3$を使った

    となる．よって，求める余りは$\boldsymbol{x+1}$である．

    【解2：余りの多項式をおく】$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)$で割ったときの，商を$Q_3(x)$，余りを$ax + b$とすると

    \begin{align} f(x)=(x-1)(x-2)Q_3(x)+ax+b \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    である．ここで，剰余の定理より

    $\left(f(1)=\right)a+b=2　　　　\blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    $\left(f(2)=\right)2a+b=3　　　\blacktriangleleft f(2) = 3$を使った

    これを解くと$a = 1，b = 1$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x+1}$である．

  2. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$(x − 2)(x − 3)$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)(x-3)Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とすると

    \begin{align} f(x) &=(x-2)(x-3)\left\{Q_2(x)(x-1)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left. +a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)(x-3)Q_2(x)\\ &\qquad+a(x-2)(x-3)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$である.

    である．ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(1)=a(-1)(-2)+3-2=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(1) = 3$を使った

    となる．よって，求める余りは$(x-2)(x-3)+3x-2=\boldsymbol{x^2-2x+4}$である．

    【解2:余りの多項式をおく】$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)(x − 3)$で割ったときの，商を$Q_3(x)$，余りを$ax^2 + bx + c$とすると

    \begin{align} &f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q_4(x)\\ &\qquad+ax^2+bx+c \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    ここで，剰余の定理より$f(1) = 3，f(2) = 4，f(3) = 7$なので

    $\left(f(1)=\right)a+b+c=3　　　\blacktriangleleft f(1) = 3$を使った

    $\left(f(2)=\right)4a+2b+c=4　　\blacktriangleleft f(2) = 4$を使った

    $\left(f(3)=\right)9a+3b+c=7　　\blacktriangleleft f(3) = 7$を使った

    これを解くと$a = 1，b = − 2，c = 4$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x^2-2x+4}$である．

  3. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$(x − 2)^2$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とおくと，

    \begin{align} f(x) &=(x-2)^2\left\{Q_2(x)(x-1)+a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)^2Q_2(x)\\ &\qquad\qquad+a(x-2)^2+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$である

    ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(1)=a(-1)^2+3-2=2 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    であるから，求める余りは$(x-2)^2+3x-2=\boldsymbol{x^2-x+2}$である．

    【解2：余りの多項式をおく（微分法を使う）】

    $f(x)$を$(x − 2)^2$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．この式を$x$で微分すると

    \begin{align} &f'(x) \\ =&(x-2)Q_1(x)+(x-2)^2{Q_1}'(x)+3 \\ =&(x-2)\left\{Q_1(x)+(x-2){Q_1}'(x)\right\}+3 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$微分の計算法則の関数の積の微分法を使った

    $Q_1(x) + (x − 2)Q_1'(x)$は多項式なので，これを$Q_2(x)$とおくと

    $f'(x)=(x-2)Q_2(x)+3$

    $\therefore~ f'(2)=3$

    $\tag{1}\label{zyouyonoteirinoriyou}$

    いま，$f(x)$を$(x − 1)(x − 2)^2$でわったときの商を$Q_3(x)$，余りを$ax^2 + bx + c$とおくと，

    $f(x)=(x-1)(x-2)^2Q_3(x)$
    $+ax^2+bx+c$

    $f'(x)=((x-2)$を因数に持つ多項式$)+2ax+b$

    であるから

    \begin{align} f'(2)=4a+b=3 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{zyouyonoteirinoriyou}$を使った

    さらに，剰余の定理より

    $f(1)=a+b+c=2 \blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    $f(2)=4a+2b+c=4 \blacktriangleleft f(2) = 4$を使った

    これを解くと$a = 1，b = − 1，c = 2$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x^2-x+2}$である．

因数定理

多項式$f(x)$を1次式$x – a$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり

\begin{align} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align}

が成り立つ．この式に$x = a$を代入すると

\begin{align} f(a)=(a-a)Q(a)+r=r \end{align}

となり，$f(a) = r$がわかり，これが剰余の定理だった．

特に，$f(x)$が$x – a$で割り切れる，つまり$\left(r=\right)~f(a)=0$のとき

\begin{align} f(x)=(x-a)Q(x) \end{align}

と表すことができる． さらにいいかえるならば，$x – a$は$f(x)$の因数になっている．

因数定理

$f (x)$を多項式とすると

「$x – a$が$f (x)$の因数である」$\Longleftrightarrow$「$f (a) = 0$」

この因数定理（factor theorem）を利用して，多項式の因数分解をすることができる． 次の例題で具体的にみていこう．

因数定理による因数分解-その1-

因数定理を利用して，次の式を因数分解せよ．

  1. $x^3+3x^2-4$
  2. $2x^3-7x^2+9$
  3. $x^4-6x^3+7x^2+6x-8$
  4. $x^4-8x^3-2x^2+72x-63$

$f(1)$や$f( − 1)$などを計算してみて$0$になるものをみつける．

  1. $f(x) = x3 + 3x2 – 4$とおく．

    \begin{align} f(1)=1+3-4=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f( − 2) = 0$を見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} f(x)&=(x-1)(x^2+4x+4)\\ &=\boldsymbol{(x-1)(x+2)^2} \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その１

  2. $f(x) = 2x3 − 7x2 + 9$とおく．

    \begin{align} f(-1)=-2-7+9=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$f(x)$は$x + 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f(3) = 0$や$f(\dfrac{3}{2})=0$を見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} f(x)&=(x+1)(2x^2-9x+9)\\ &=\boldsymbol{(x+1)(2x-3)(x-3)} \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その２

  3. $f(x) = x4 − 8x3 + 7x2 + 6x – 8$とおく．

    \begin{align} f(1)=1-6+7+6-8=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f( − 1) = 0$や$f(2) = 0$などを見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} f(x)=(x-1)(x^3-5x^2+2x+8) \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その３

    さらに，$g(x) = x3 − 5x2 + 2x + 8$とおくと

    \begin{align} g(-1)=-1-5-2+8=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$g(x)$は$x + 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$g(2) = 0$や$g(4) = 0$などを見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} g(x)&=(x+1)(x^2-6x+8)\\ &=(x+1)(x-2)(x-4) \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その４

    より，$f(x)=\boldsymbol{(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)}$．

  4. $f(x) = x4 − 8x3 − 2x2 + 72x – 63$とおく．

    \begin{align} f(1)=1-8-2+72-63=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$f(x)$は$x – 1$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$f(3) = 0$や$f( − 3) = 0$などを見つけてもよい

    よって説明文

    \begin{align} f(x)=(x-1)(x^3-7x^2-9x+63) \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その５

    さらに，$g(x) = x3 − 7x2 − 9x + 63$とおくと

    \begin{align} g(3)=27-63-27+63=0 \end{align}

    であるから，因数定理より$g(x)$は$x – 3$を因数にもつ． $\blacktriangleleft$先に$g( − 3) = 0$や$g(7) = 0$などを見つけてもよい．

    よって説明文

    \begin{align} g(x)&=(x-3)(x^2-4x-21)\\ &=(x-3)(x+3)(x-7) \end{align} $\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図
    因数定理による因数分解-その1-の解答その６

    より，$f(x)=\boldsymbol{(x-1)(x-3)(x+3)(x-7)}$である．

多項式$f(x)$を因数定理を利用して因数分解するとき，$f(a) = 0$となる$a$を見つけることが大切である． この$a$を見つける手段として，次の定理を知っておくとよい．

多項式の因数を見つけるための定理

係数$a_0,~a_1,~\cdots,~a_n$がすべて整数である多項式

\begin{align} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \end{align}

に対し，既約分数$\dfrac{p}{q}$が，$f\left(\dfrac{p}{q}\right)=0$を満たすとき

$p$は$a_0$の約数，$q$は$a_n$の約数

である（ただし，約数には負の数も含めるとする）．

この定理の証明は多項式の因数を見つけるための定理を参照のこと．

吹き出し因数定理

$\dfrac{p}{q}$は$\pm$（定数項の約数） $/$ （最高次の係数の約数）と覚えるとよい．

たとえば，$f(x) = 2x^3 − 5x^2 + 7x – 6$の因数分解について考えてみると，最高次の係数の約数には $1~,~~2$があり，定数項の約数には$1~,~~2,~~3,~~6 $があるので，$f(a) = 0$となる$a$の候補は

\begin{align} \dfrac{1}{1}~,~~\dfrac{2}{1}~,~~\dfrac{3}{1}~,~~\dfrac{6}{1}~,~~\dfrac{1}{2}~,~~\dfrac{2}{2}~,~~\dfrac{3}{2}~,~~\dfrac{6}{2} \end{align}

と，これらにマイナスをつけた数がある．

これらを順に

\begin{align} &f(1)=2-5+7-6\neq0\\ &f(2)=2\cdot2^3-5\cdot2^2+7\cdot2-6\neq0\\ &\qquad\qquad\vdots \end{align}

などと調べていくと，$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=0$となるので

\begin{align} f(x)=(2x-3)(x^2-x+2) \end{align}

と因数分解できる．

因数定理による因数分解-その2-

次の多項式を因数分解せよ

  1. $3x^3-4x^2+4x-1$
  2. $24x^3-22x^2+x+2$

  1. $f(x) = 3x^3 − 4x^2 + 4x – 1$とおくと $\blacktriangleleft f(a) = 0$となる$a$の候補は$\pm\dfrac{1}{1}~,~\pm\dfrac{1}{3}$がある

    \begin{align} f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0 \end{align}

    であるから

    \begin{align} f(x)=\boldsymbol{(3x-1)(x^2-x+1)} \end{align} $\blacktriangleleft x^2 − x + 1$は判別式の値が負となるので，これ以上因数分解できない

    となる．

  2. $f(x) = 24x^3 − 22x^2 + x + 2$とおくと

    $\blacktriangle f(a) = 0$となる$a$の候補は $\pm\dfrac{1}{1}~,~\pm\dfrac{1}{2}~,~\pm\dfrac{1}{3}~,~\pm\dfrac{1}{4}~,$

    $~\pm\dfrac{1}{6}~,~\pm\dfrac{1}{8}~,~\pm\dfrac{1}{12}~,~\pm\dfrac{1}{24}~, ~\pm\dfrac{2}{3} $がある

    \begin{align} f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \end{align}

    であるから

    \begin{align} f(x)=(2x-1)(12x^2-5x-2) \end{align}

    となる．また，$12x^2 − 5x − 2 = (3x − 2)(4x + 1)$と因数分解できるので

    \begin{align} f(x)=\boldsymbol{(2x-1)(3x-2)(4x+1)} \end{align}

    となる．