平均の速度

速度の考え方

陸上競技の男子短距離走では、世界レベルの選手になると $100$ メートル(meter)を $10$ 秒(second)で走るので、速度を計算すると \[\dfrac{100~[\text{m}]}{10~[\text{s}]}=10~[\text{m/s}]\] となる。しかし、短距離の選手がスタートからゴールまで、ずっと $10~[\text{m/s}]$ の速度で走っているかというと、そうではない。実際には、スタートした瞬間からだんだんと速度を上げて最高速度に達し、それを維持しながら走りつづけるという走り方になっているようだ。以下では、このように速度の変化がともなう運動について考えてみよう。

平均の速度について

$x-t$ グラフ

$x-t$ グラフ

次の図は、横軸に時間 $(t)$、縦軸に位置 $(x)$ を とり、ある選手のスタートからゴールまでの時間と位置の関係をグラフで表したものであり、$x-t$ グラフという。

このグラフにおいて、さきほど計算した $10~[\text{m/s}]$ という速度は、縦軸の変化量 $100~[\text{m}]$ を横軸の変化量 $10~[\text{s}]$ で割ったものである。これは、図の点線で表した原点 $\text{O}$ と点 $\text{G}$ を結ぶ直線の傾きに等しい。

このように、$x-t$ グラフ上の2点を通る直線の傾きとして求まる速度のことを、その2点間の平均速度 (average velocity) といい $\bar{v}$ と表す。

$x-t$ グラフ

$x-t$ グラフ

ほかにも平均速度の例をいくつか考えてみよう。たとえば、スタートしてから $5$ 秒後の位置は図の点 $\text{I}$ の座標として表される。原点 $\text{O}$ と点 $\text{I}$ の間を通る直線の傾き、すなわちスタートから $5$ 秒後までの平均速度 $\bar{v}$ は \[\bar{v}=\dfrac{30~[\text{m}]}{5~[\text{s}]}=6~[\text{m/s}]\] となる。また、$5$ 秒後からゴールまでの平均速度 $\bar{v}$ は、図において点 $\text{I}$ と点 $\text{G}$ を通る直線の傾きとなり \[\bar{v}=\dfrac{100-30~[\text{m}]}{10-5~[\text{s}]}=14~[\text{m/s}]\] となる。

平均の速度

時刻が $t_1$ から $t_2$ に変化する間に、位置が $x_1$ から $x_2$ に変化する物体の平均速度 $\bar{v}$ は、時刻の変化量 $\Delta{t}=t_2-t_1$ と、位置の変化量 $\Delta{x}=x_2-x_1$ をもちいて \[\bar{v}=\dfrac{\Delta{x}}{\Delta{t}}\] と表すことができる。