多変数関数の最大最小
条件を逆にたどる方法
ここでは，2変数関数$f(x,~y)$の最大値や最小値を求める2通りの方法についてみていこう．
条件に動点を含む場合の軌跡で学んだ，条件を逆にたどる方法は，軌跡を求めるだけでなく， 2変数関数の最大値や最小値を求めるときにも有効である． そのことを次の例題で確認しよう．
2変数関数の最大最小〜その1〜
$x,y$が次の4つの不等式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\begin{align} &x\geqq0~,~~y\geqq0~,~~\\ &x+2y\leqq8~,~~3x+2y\leqq12 \end{align}- 4つの不等式の表す領域$D$を図示せよ．
- $f(x,~y)=x+y$の最大値と最小値およびそのときの$x$と$y$の値を求めよ．
領域を図示すると次のようになる．
$x + y = k$ $\tag{1}\label{2hensuukansuunosaidaisaishousono1}$とおくと，これは傾きが$ – 1$，$y$切片が$k$の直線を表す．この直線$\eqref{2hensuukansuunosaidaisaishousono1}$が領域$D$と共有点をもつ ような$k$の値の最大値と最小値を求めればよい．
←なぜこのような操作を行うかについては下の本文参照
次の図より，$k$の値は$\eqref{2hensuukansuunosaidaisaishousono1}$が点$(2,~3)$を通るとき最大となり，原点$O$を通るとき最小となる．
よって，$f(x,~y)$は
$\boldsymbol{x=2},\boldsymbol{y=3}$のとき，最大値$\boldsymbol{5}$
$\boldsymbol{x=0},\boldsymbol{y=0}$のとき，最小値$\boldsymbol{0}$
上の例題での2変数関数$f(x,~y)$の値の決まり方は，問題文をそのままに読めば， まず不等式の領域$D$が決まり，その領域内の$(x,~y)$を代入して$f(x,~y)$が決まるという順序になっている． しかし，このような理解では，領域$D$内の無数の点に対して$f(x,~y)$を求めなければならなくなる．
そこで，条件に動点を含む場合の軌跡で学んだ方法と同じように，考え方の順序を逆にして， ある値$k$を考えてみて，$f(x,~y)$がその値をとるかどうか調べるという方法をとる．
たとえば，$f(x,~y)$が2をとるかどうかを調べてみよう． $f(x,~y)=3$が成り立つためには
\begin{align} x+y=2 \end{align}を満たさなくてはならない．この関係を満たす$x,y$は，直線$y = − x + 2$上にあるので，この直線が 領域$D$と共有点をもてば，その点の座標$(x,~y)$を$f(x,~y)$に代入することによって$f(x,~y)$は$2$をとる．
次の図は領域$D$と直線$y = − x + 2$を重ねたものである．この図の太線部分の$(x,~y)$を代入することにより$ f(x,~y)=2$となる．
このような作業を具体的な値ではなく，ある値$k$で行うことにより，直線$x + y = k$が 領域$D$と共有点をもつ範囲を調べることで，最大値や最小値を求めることができる．
1変数に帰着させる方法
2変数関数の最大値や最小値を求めるときには，まず片方の変数をとりあえず定数として固定し， 1変数の問題として最大値と最小値を求めておき，次に固定していた変数を動かし全体の最大値と最小値を求める， という方法もある．
それを次の例題で確認しよう．
2変数関数の最大最小〜その2〜
2変数関数
\begin{align} f(x,~y)=x^2-2xy+2y^2-2x+4y+7 \end{align}の最小値を求めよ．
まず，$k$を定数として$y = k$の場合について考える．
\begin{align} f(x,~k)&=x^2-2xk+2k^2-2x+4k+7\\ &=x^2-2(k+1)x+2k^2+4k+7\\ &=\left\{x-(k+1)\right\}^2-(k+1)^2\\ &\qquad\qquad\quad\qquad+2k^2+4k+7\\ &=\left\{x-(k+1)\right\}^2+k^2+2k+6\\ \end{align}となるから，$x=k+1$のとき，最小値$k^2+2k+6$をとる．
←「予選」
次に，$k$を変数$y$とするとき，$y^2 + 2y + 6 = (y + 1)^2 + 5$であるから $y=-1~(x=0)$で最小値$\boldsymbol{5}$となる．
←「決勝」
吹き出し1変数に帰着させる方法
$y$を定数と考えるということがわかっていれば，$y = k$と書き換える必要はなく
\begin{align} f(x,~y)&=x^2-2xy+2y^2-2x+4y+7\\ &=x^2-2(y+1)x+2y^2+4y+7\\ &=\left\{x-(y+1)\right\}^2\\ &\qquad-(y+1)^2+2y^2+4y+7\\ &=\left\{x-(y+1)\right\}^2+y^2+2y+6\\ &=\left\{x-(y+1)\right\}^2+(y+1)^2+5 \end{align}として最小値$5$を求めてもよい．