領域
領域とは何か
無題
無題
次の2つの条件$A,~B$を考えよう．
条件$A$原点$O$からの距離が$1$である点$P(x,~y)$
条件$B$原点$O$からの距離が$1$以下である点$P(x,~y)$
まず，条件$A$を満たす点$P$の集合は，上図の円周となり， これは条件$A$を満たす点$P$の軌跡といっていた．
次に，条件$B$を満たす点$P$の集合は，下図のように平面的な広がりをもつ． このようなときは，もはや軌跡とはいわず， 条件$B$を満たす点$P$の領域 (domain)という． 領域とそうでない部分を決めるさかい目$(x^2 + y^2 = 1)$を境界 (boundary)という．
円周を境界とする領域
次の不等式の表す領域を図示せよ．
- $x^2+y^2\leqq 4$
- $x^2+y^2> 4$
- $x^2+2x+y^2-4y< 0$
無題
無題
無題
- 中心が原点で半径が$4$の円の境界と内側を表す．
- 中心が原点で半径が$4$の円の外側を表す．
- 中心が$(-1,~2)$で半径が$\sqrt{5}$の円の内側を表す．
$y$と$f(x)$の大小関係がつくる領域
点$P(x,~y)$が次の不等式を満たすとき，点$P$が満たす領域を図示せよ．
- $y<2x+3$
- $y\geqq 2x+3$
- $y\leqq x^2$
- $y> x^2$
1.2.は直線$y=2x+3$が，
3.4.は放物線$y=x^2$が境界になる．
$y$と$f(x)$による大小関係をまとめると，次の図のようになる．
いろいろな領域
2つの不等式を同時に満たす領域を，それぞれ図示せよ．
i) \begin{cases} y\lt x+2\\ y\lt 2x-1 \end{cases} ii) \begin{cases} y\lt x^2 +1\\ x+y-3\gt 0 \end{cases} iii) \begin{cases} x^2+y^2 \leqq 5\\ 0 \leqq x-y+1 \end{cases}領域$x^2 \leqq y\leqq -3x+4$を図示せよ．
不等式$(x − y)(x + y − 2) > 0$を満たす$(x,~y)$を座標平面上に図示せよ．
(i)境界は2直線$y=x+2,~y=2x-1$であり，2直線の交点は$(3,~5)$と求められる．
←連立方程式
\begin{cases} y=x+2\\ y=2x-1 \end{cases}を解いた． $y = x + 2$を$y = 2x – 1$に代入して
$x+2=2x_1 ~~~\therefore~~~x=3$
となり，これを$y = x + 2$に代入すればよい．
求める領域は
直線$y = x + 2$より下部
直線$y = 2x – 1$より下部
であり境界を含まない．よって，図のようになる．
(ii)境界は放物線$y = x^2 + 1$と直線$x + y − 3 = 0$であり， 交点は$(-2,~5),~(1,~2)$と求められる．
←連立方程式
\begin{cases} y=x^2+1\\ x+y-3=0 \end{cases}を解いた． $x + y − 3 = 0$に$y = x^2 + 1$を代入して
\begin{align} &x+(x^2+1) -3=0 \\ \Leftrightarrow~&x^2+x_2=0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x_1)=0 \end{align}より$x=-2,~1$となるので， それぞれ$y = x_2 + 1$に代入すればよい．
$x + y − 3 > 0$は$y > − x + 3$と変形できるので， 求める領域は
放物線$y = x_2 + 1$より下部
直線$y = − x + 3$より上部
であり境界を含まない．よって，図のようになる．
(iii)境界は円$x^2 + y^2 = 5$，直線$x − y + 1 = 0$であり，交点は $(1,~2),~(-2,-1)$と求められる．
←連立方程式
\begin{cases} x^2 +y^2=5\\ x-y+1=0 \end{cases}を解いた．$ x = y – 1$を$x^2 + y^2 = 5$に代入して
\begin{align} &(y-1)^2 + y^2=5\\ \Leftrightarrow~&2y^2 -2y -4=0\\ \Leftrightarrow~&(y-2)(y+1)=0 \end{align}から$y = 2, − 1$となり，これを$y = x – 1$に代入すればよい．
$0 \leqq x-y+1$は$y\leqq x+1$と変形できるので，求める領域は
円$x^2 + y^2 = 5$の内側
直線$y = x + 1$より下部
であり境界を含む．よって，図のようになる．
求める領域は$ x^2\leqq y$かつ$y\leqq -3x+4 $を満たせばよい．つまり
放物線$y = x^2$より下部
直線$y = − 3x + 4$より上部
であり境界を含む．
境界は 放物線$y = x^2$と直線$y = − 3x + 4$であり， 交点は$(1,~1),~(-4,~16)$となる．
連立方程式
\begin{cases} y=x^2\\ y=-3x+4 \end{cases}を解けばよい．$y$を消去して$x^2 = − 3x + 4$，これを解いて$x=-4,~1$．
よって，図のようになる．
不等式$(x − y)(x + y − 2) > 0$が成り立つには
←2つの式を掛けて正になるための必要十分条件は，どちらも正か，どちらも負になることである
\begin{cases} x-y>0\\ x+y-2>0 \end{cases}または
\begin{cases} x-y<0\\ x+y-2<0 \end{cases}が成立することである．それぞれ変形すると
\begin{cases} y\lt x\\ y\gt -x+2 \end{cases}または
\begin{cases} y>x\\ y<-x+2 \end{cases}が成立すればよいと分かり，
←それぞれ図示すれば，次の2つのどちらかを満たす領域が求めるものと分かる
どちらの領域も $y = x$と$y = − x + 2$を境界とし， その交点は$(1,~1)$となる．
よって求める領域は図のように図示できる．
領域を利用した証明
FTEXT 数学Aの論理と集合で学んだように，一般に2つの条件$p,q$について， 条件$p$の真理集合(条件$p$を満たすもの全体の集合)を$P$，条件$q$の真理集合を$Q$とすると
「$p~\Rightarrow~q$が真である」$\Longrightarrow~P\subseteqq Q$
であった．
条件$p,q$が$x,y$の不等式で表される場合に，このことをもちいて， $p~\Rightarrow~q$が真であることを証明してみよう．
領域を利用した証明
$(x-1)^2+y^2 \leqq 5$ならば$x^2 +(y+2)^2 \leqq 20$であることを証明せよ．
無題
連立方程式
\begin{cases} (x_1)^2+y^2=5\\ x^2+(y+2)^2=20 \end{cases}を解く． 上の式を$\tag{1}\label{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou1}$，下の式を$\tag{2}\label{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou2}$とすると$x = 6 − 2y$なので，これを$\eqref{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou1}$に代入すると
\begin{align} &(6-2y-1)^2+y^2=5\\ \Leftrightarrow~ &25-20y+4y^2+y^2=5\\ \Leftrightarrow~ &(y-2)^2=0\\ \Leftrightarrow~ &y=2 \end{align}$y = 2$を$x = 6 − 2y$に代入すると$x = 2$であり，解が1つに定まるので，2円は$(2,2)$でお互いに接している． これをもとにそれぞれの領域を描くと，図のようになる．
$(x-1)^2+y^2\leqq 5$を満たす領域は全て$x^2+(y+2)^2\leqq20$を満たす領域に含まれるので， 題意は証明された．