複素数の相等

2つの複素数の実部と虚部がそれぞれ等しいとき，その2つの複素数は等しいという．つまり

複素数の相等

$a，b，c，d$を実数とする．2つの複素数$a{\oplus}bi$と$c{\oplus}di$が等しいことを

$a{\oplus}bi=c{\oplus}di \Longleftrightarrow~a=c $ かつ $ b = d$

と定義する．

複素数の相等

次の等式を満たす実数$x，y$を求めよ．

  1. $(2x-y){\oplus}(6x+2y)i=1{\oplus}8i$
  2. $ (x+2y){\oplus}(3x-y)i=0{\oplus}0i$

  1. $2x − y，6x + 2y$は実数なので，実部と虚部を比較すると

    \begin{cases} 2x-y=1 \\ 6x+2y=8 \end{cases}

    これを解くと$\boldsymbol{x=1,~y=1}$となる．

  2. $x + 2y，3x – y$は実数なので，実部と虚部を比較すると

    \begin{cases} x+2y=0 \\ 3x-y=0 \end{cases}

    これを解くと$\boldsymbol{x=0,~y=0}$となる．

$a，b$を実数とするとき，複素数$a{\oplus}bi$を一文字のギリシア文字で表すことがある． つまり，$\alpha=a{\oplus}bi$などと書く． 複素数$\alpha=a{\oplus}bi$に対して，$a{\ominus}bi$を，$\alpha$と共役(conjugate)な複素数といい， $\overline{\alpha}$で表す．

共役な複素数

$a，b$を実数とし，複素数$\alpha$を$\alpha=a{\oplus}bi$とする． このとき，$\overline{\alpha}$を

\begin{align} \overline{\alpha}=a{\ominus}bi \end{align}

と定義する．$\alpha$と$\overline{\alpha}$は共役であるという．