微積分学の基本定理について

簡単のため以下では

1. $f(t)\geqq0$
2. $a\leqq{x}$
3. $h\gt0$

STEP1：$\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt$ を $x$ の関数 $S(x)$ と考える

まず、定積分 $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt$ について考える。

$a$ から$x$ までの積分

この値は、右図のように $a\leqq{t}\leqq{x}$ の区間で $y=f(t)$ と $t$ 軸が囲む面積を表すので、$a$ を定数、$x$ を変数と考えると、この値は $x$ の関数となっている（ $x$ が決まれば面積が決まる）。

そこで $$\int_{a}^{x}f(t)dt=S(x)$$ と表すことにする。

STEP2：$S(x+h)-S(x)$ の図形的意味を考える

このような $S(x)$ を導入すると $$\begin{align} S(x+h)&=\int_{a}^{x+h}f(t)dt\\ &=（右図の網掛け部の面積）\\ S(x)&=\int_{a}^{x}f(t)dx\\ &=（右図の斜線部の面積） \end{align}$$ であるから、その差は $$\begin{align} &S(x+h)-S(x)\\ =&（太線で囲まれた部分の面積） \end{align}$$ となる。

STEP3：面積で評価する

ここで、下図のように $x\leqq{t}\leqq{x+h}$ における $f(t)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とすると（$x$ を定数とみれば、$m$ や $M$ は $h$ の関数である）、面積を比較することにより $$\begin{align} m\times{h}&\leqq{S(x+h)-S(x)}\\ &\leqq{M\times{h}}\tag{1}\label{bisekibungakunokihonteritoha1} \end{align}$$ が成り立つ（下の図参照）。

STEP4：$h\to0$ の極限を考える

$\eqref{bisekibungakunokihonteritoha1}$ の辺々を $h$ で割ると $$m\leqq\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}\leqq{M}\tag{2}\label{bisekibungakunokihonteritoha2}$$ ここで $h\to0$ という極限を考えると、区間 $x\leqq{t}\leqq{x+h}$ の幅はどんどん狭くなっていき

• 最小値 $m\to{f(x)}$
• 最大値 $M\to{f(x)}$

いま、$\eqref{bisekibungakunokihonteritoha3}$ の左辺は関数 $S(x)$ の導関数 $\dfrac{d}{dx}S(x)$ の定義式そのものであるので、$\eqref{bisekibungakunokihonteritoha3}$ は $\dfrac{d}{dx}S(x)=f(x)$、つまり $$\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$ を表している。