微積分学の基本定理

簡単のため以下では

1. $f(t)\geqq0$
2. $a\leqq{x}$
3. $h\gt0$

STEP1：$\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt$ を $x$ の関数 $S(x)$ と考える

まず、定積分 $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt$ について考える。

$a$ から$x$ までの積分

この値は、右図のように $a\leqq{t}\leqq{x}$ の区間で $y=f(t)$ と $t$ 軸が囲む面積を表すので、$a$ を定数、$x$ を変数と考えると、この値は $x$ の関数となっている（ $x$ が決まれば面積が決まる）。

そこで \[\int_{a}^{x}f(t)dt=S(x)\] と表すことにする。

STEP2：$S(x+h)-S(x)$ の図形的意味を考える

このような $S(x)$ を導入すると \begin{align} S(x+h)&=\int_{a}^{x+h}f(t)dt\\ &=（右図の網掛け部の面積）\\ S(x)&=\int_{a}^{x}f(t)dx\\ &=（右図の斜線部の面積） \end{align} であるから、その差は \begin{align} &S(x+h)-S(x)\\ =&（太線で囲まれた部分の面積） \end{align} となる。

STEP3：面積で評価する

ここで、下図のように $x\leqq{t}\leqq{x+h}$ における $f(t)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とすると（$x$ を定数とみれば、$m$ や $M$ は $h$ の関数である）、面積を比較することにより \begin{align} m\times{h}&\leqq{S(x+h)-S(x)}\\ &\leqq{M\times{h}}\tag{1}\label{bisekibungakunokihonteritoha1} \end{align} が成り立つ（下の図参照）。

STEP4：$h\to0$ の極限を考える

$\eqref{bisekibungakunokihonteritoha1}$ の辺々を $h$ で割ると \[m\leqq\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}\leqq{M}\tag{2}\label{bisekibungakunokihonteritoha2}\] ここで $h\to0$ という極限を考えると、区間 $x\leqq{t}\leqq{x+h}$ の幅はどんどん狭くなっていき

• 最小値 $m\to{f(x)}$
• 最大値 $M\to{f(x)}$

いま、$\eqref{bisekibungakunokihonteritoha3}$ の左辺は関数 $S(x)$ の導関数 $\dfrac{d}{dx}S(x)$ の定義式そのものであるので、$\eqref{bisekibungakunokihonteritoha3}$ は $\dfrac{d}{dx}S(x)=f(x)$、つまり \[\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\] を表している。

微分すると $f(x)$ になる関数を、$f(x)$ の原始関数 (primitive function) という。つまり \[F'(x)=f(x)\] のとき、$F(x)$ を $f(x)$ の原始関数という。

原始関数は一通りには定まらない。たとえば、$x^3$、$x^3+2$、$x^3-\sqrt{5}$ などは微分すると、どれも $3x^2$ となるので、これらはすべて $3x^2$ の原始関数である。任意の定数 $A$ を $x$ で微分すると $0$ になるので、一般には $x^3+A$ で表されるものすべてが $3x^2$ の原始関数となる。

これから、次のことがいえる。

また、原始関数について次のことがいえる。

【証明】

1. $F(x)+G(x)$ を微分すると \begin{align} \left\{F(x)+G(x)\right\}'&=F'(x)+G'(x)\\ &=f(x)+g(x) \end{align} となり、$F(x)+G(x)$ は確かに $f(x)+g(x)$ の原始関数である。
2. $kF(x)$ を微分すると \begin{align} \left\{kF(x)\right\}'&=kF'(x)\\ &=kf(x) \end{align} となり、$kF(x)$ は確かに $kf(x)$ の原始関数である。

吹き出し原始関数とは何か

ii の式は、$\underbrace{\dfrac{1}{n+1}(ax+b)^{n+1}}_{\text{i}と似ている部分}\times\dfrac{1}{a}$ と覚えよう。

【証明】

1. $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+A$ を $x$ で微分すると \begin{align} &\left(\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+A\right)'\\ =&\dfrac{1}{n+1}\cdot(n+1)x^n\\ =&x^n \end{align} となるので、確かに $x^n$ の原始関数である。
2. $\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+A$ を $x$ で微分すると（←『微分の計算法則iv)』参照） \begin{align} &\left(\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+A\right)'\\ =&\dfrac{1}{a(n+1)}\cdot{a(n+1)(ax+b)^n}\\ =&(ax+b)^n \end{align} となるので、確かに $(ax+b)n$ の原始関数である。